Інверсні тригонометричні функції (Лекція – Відео)

Інверсні тригонометричні функції (Лекція)

Тема: Інверсні тригонометричні функції

Резюме

На цій лекції я введу поняття інверсних тригонометричних функцій: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Це обернені функції до тригонометричних функцій.

Лекція складається з двох частин. У першій частині я показую, як швидко обчислити значення інверсних тригонометричних функцій, не вдаючись глибоко в тему (до цієї частини додається відео, фрагмент мого Курсу Інтегрального числення).

У другій частині я більш детально описую інверсні тригонометричні функції, показую їх графіки тощо.

Для розуміння лекції знадобляться:

• тригонометричні функції (середня школа)

Частина I

Інверсні тригонометричні функції – версія “ІНСТАНТ”

Інверсні тригонометричні функції простими словами – це обернені функції до тригонометричних функцій. Тобто arcsinx – це обернена функція до sinx.

Тобто, якщо ми знаємо, наприклад, що , це означає, що .

І так далі:

До того ж, у нас є кілька властивостей інверсних тригонометричних функцій, які дозволяють нам обчислювати їх значення навіть для негативних аргументів:

Тому ми можемо ще обчислити це:

Отже, маючи таблицю тригонометричних функцій, ми можемо легко визначити значення інверсних тригонометричних функцій, просто читаючи її “навпаки”.

Я пояснюю це детальніше у відео тут:

Таблиця основних значень тригонометричних функцій з відео – завантажити тут.

Частина II

Інверсні тригонометричні функції – повна версія

Вступ – чому частина I недостатня

Виглядає на те, що у частині I ми визначили кожну інверсну тригонометричну функцію як обернену до відповідної тригонометричної функції.

Давайте формалізуємо це трохи. Ми сказали, що, наприклад, функція приймає значення , коли функція від цього дорівнює .

Відповідно:

Тобто, якщо ми хочемо обчислити , ми задаємось питанням, косинус якого кута дає , ми розуміємо, що це кут і отримуємо результат: .

Чи це охоплює всі значення інверсних тригонометричних функцій?

Звичайно, НІ.

Давайте ще раз пройдемо весь процес міркування на конкретних числах (і, можливо, традиційно перейдемо до arcsinx):

Якщо ми хочемо обчислити , ми задаємось питанням, синус якого кута дає , ми розуміємо, що це кут і отримуємо результат: .

Де тут проблема? У виділеній частині:

Якщо ми хочемо обчислити , ми задаємось питанням, синус якого кута дає , ми розуміємо, що це кут і отримуємо результат: .

На жаль, не тільки синус дорівнює .

Згадаємо графік функції sinx (я на ньому відзначив значення ):

Ми бачимо і вже знаємо зі школи, що синус приймає значення не тільки для кута , але і для кутів:

Тобто

Згадаємо ще раз наш спосіб обчислення arcsin:

Якщо ми хочемо обчислити , ми задаємось питанням, синус якого кута дає , ми розуміємо, що це кут і отримуємо результат: .

Але тепер ми знаємо, що не тільки sin дорівнює , тож виходить:

Це означало б, що arcsinx взагалі не є функцією, тому що одному аргументу відповідає кілька значень!

Надати чітку відповідь на питання, скільки дорівнює arcsin чогось, тоді було б зовсім неможливо.

Легко також уявити, що подібна проблема стосується будь-якої з тригонометричних функцій.

Професійніше кажучи: ці функції не є ін’єктивними, отже, їхні обернені функції не існують. У кожній тригонометричній функції кожне значення досягається для нескінченної кількості аргументів (вони є періодичними, правда?), тому при спробі визначити їхні обернені функції ми отримаємо нескінченну кількість значень для кожного аргументу. А в функціях так бути не може.

Що робити?

Це досить просто, не кажучи вже про примітивність. Кожну з тригонометричних функцій можна ОТРІЗАТИ так, щоб результатом була ін’єктивна функція.

Отже, визначимо правильно всі 4 циклометричні функції:

arcsinx

Пригадаймо графік функції sinx:

Якщо ми домовимося обрізати його, наприклад, до інтервалу , отримаємо такий графік:

На жаль, це не те, що нам потрібно, тому що це все ще не графік ін’єктивної функції, і проблема з значенням все ще існує:

Тому ми домовляємося обрізати функцію sinx інакше, до аргументів :

Тепер це ін’єктивна функція і має обернену функцію arcsinx.

Графік функції arcsinx виглядатиме приблизно так:

Її областю визначення є інтервал не існує.

Точне визначення функції arcsinx таким чином:

.

arccosx

Функція cosx також не є ін’єктивною:

Щоб отримати ін’єктивну функцію, ми повинні обрізати її до інтервалу :

Таким чином, визначена функція вже є ін’єктивною і має обернену функцію arccosx.

Її графік буде приблизно таким:

І її точне визначення:

.

arctgx

Графік функції tgx виглядає так:

Це також не є ін’єктивною функцією! Ми можемо обрізати її наступним чином:

Отримавши таким чином ін’єктивну функцію.

Графік функції arctgx виглядає так:

Її точне визначення таке:

, для y\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right).

Ми також бачимо, що з графіку випливають деякі цікаві властивості, наприклад:

• область визначення функції arctgx – це весь набір дійсних чисел (ми можемо обчислити arctg з будь-якого числа)
• 
• 

arcctgx

З графіку функції ctgx:

Вирізаємо ін’єктивний шматок:

Графік функції arcctgx виглядає так:

Точне визначення arcctgx було б таким:

.

Ми бачимо, що:

• область визначення функції arcctgx – це весь набір дійсних чисел (ми можемо обчислити arcctg з будь-якого числа)
• 
• 

Примітка

У багатьох калькуляторах і загалом у математичних позначеннях (особливо західних) обернені тригонометричні функції позначаються не як “arcus”, а за допомогою показника -1. Наприклад, arcsinx записується як . Якщо ви знаєте, про що йдеться, то це не проблема. Однак можна зробити жахливу помилку і сплутати обернену функцію до sinx з функцією , яка є зовсім іншою функцією, ніж arcsinx.