Funkcje Cyklometryczne Wykład
Temat: Funkcje cyklometryczne
Streszczenie
Na wykładzie wprowadzę pojęcie funkcji cyklometrycznych: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Wykład składa się z dwóch części. W pierwszej pokazuję tylko jak szybciutko liczyć wartości funkcji cyklometrycznych, bez zbytniego wgłębiania się w temat (do tej części dołączony jest filmik Video, fragment mojego Kursu Całek Oznaczonych, Niewłaściwych i Zastosowań Całek ).
W drugiej opisuję funkcje cyklometryczne bardziej ściśle, pokazuję ich wykresy itd.
Do zrozumienia wykładu potrzebne będą:
- funkcje trygonometryczne (szkoła średnia)
Część I
Funkcje cyklometryczne – wersja “INSTANT”
Funkcje cyklometryczne “na chłopski rozum” to po prostu funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Czyli arcsinx to funkcja odwrotna do sinx.
Czyli jeśli np. wiemy, że , to znaczy, że .
I tak dalej:
Do tego mamy jeszcze parę własności funkcji cyklometrycznych, które pozwalają nam obliczać ich wartości także dla argumentów ujemnych:
Możemy sobie więc jeszcze policzyć do tego:
Mając więc tabelkę funkcji trygonometrycznych spokojnie wyznaczymy z niej wartości funkcji cyklometrycznych, odczytując ją po prostu “na odwrót”.
Objaśniam to dokładniej tu na filmiku:
Tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych z filmiku – pobierz tutaj .
Część II
Funkcje cyklometryczne – pełna wersja
Wstęp – dlaczego w sumie część I to za mało
Wygląda więc na to, że w części I zdefiniowaliśmy każdą funkcję cyklometryczną jako odwrotną do odpowiadającej jej trygonometrycznej.
Sformalizujmy to trochę. Powiedzieliśmy, że np. funkcja przyjmuje wartość , gdy funkcja
Odpowiednio:
Czyli jeśli chcemy obliczyć
Czy to już wyczerpuje nam temat wartości funkcji cyklometrycznych?
Oczywiście NIE.
Prześledźmy jeszcze raz całe rozumowanie na konkretnych liczbach (i przerzućmy się może tradycyjnie na arcsinx):
Jeśli chcemy obliczyć
Gdzie tu problem? W pogrubionym fragmencie:
Jeśli chcemy obliczyć
Niestety, nie tylko sinus
Przypomnijmy wykres funkcji sinx (zaznaczyłem na nim wartość
Widać i wiemy to już ze szkoły średniej, że sinus osiąga wartość
Czyli
Przypomnijmy więc jeszcze raz nasz sposób obliczania arcsin:
Jeśli chcemy obliczyć
No ale teraz wiemy już, że nie tylko sin
To oznaczało by, że arcsinx nie jest w ogóle funkcją, bo jednemu argumentowi przyporządkowanych jest kilka wartości!
Udzielenie jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, ile równy jest arcsin z czegoś było by wtedy zupełnie niemożliwe.
Łatwo też sobie wyobrazić, że podobny problem dotyczy KAŻDEJ z funkcji trygonometrycznych.
Nazywając rzecz bardziej fachowo: te funkcje nie są różnowartościowe, zatem funkcje odwrotne do nich nie istnieją. W każdej z funkcji trygonometrycznych każda ich wartość zostaje osiągnięta dla nieskończonej liczby argumentów (są one okresowe, prawda?), zatem przy próbie wyznaczenia ich funkcji odwrotnych otrzymamy nieskończoną liczbę wartości przyporządkowaną do każdego argumentu. A tak w funkcjach nie może być.
Co robić?
To dosyć proste, żeby nie powiedzieć: prostackie. Każdą z funkcji trygonometrycznych można OBCIĄĆ tak, aby w rezultacie otrzymać funkcję różnowartościową.
Do dzieła zatem, zdefiniujmy już prawidłowo wszystkie 4 funkcje cyklometryczne:
arcsinx
Przypomnijmy wykres funkcji sinx:
Jeśli umówimy się, że obetniemy go na przykład do przedziału do przedziału
Nie jest to niestety to, o co nam chodzi, ponieważ nie jest dalej wykres funkcji różnowartościowej i problem z wartością np.
Umawiamy się więc, że funkcję sinx przycinamy inaczej, do argumentów
Teraz jest to funkcja różnowartościowa i istnieje do niej funkcja odwrotna arcsinx.
Wykres funkcji arcsinx wyglądać będzie mniej więcej tak:
Jej dziedziną jest przedział
Ścisłe określenie funkcji arcsinx to zatem:
arccosx
Funkcja cosx również nie jest funkcją różnowartościową:
Aby otrzymać funkcję różnowartościową musimy go jednak przyciąć do przedziału
Tak określona funkcja jest już różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną arccosx.
Jej wykresem będzie mniej więcej:
A jej ścisłym określeniem:
arctgx
Wykres funkcji tgx wygląda tak:
Również nie jest funkcja różnowartościowa! Obciąć możemy go w następujący sposób:
Otrzymując w ten sposób funkcję różnowartościową.
Wykres funkcji arctgx wygląda tak:
A jej ścisłe określenie jest takie:
Zauważmy też, że z wykresu wynika kilka ciekawych własności, np:
- dziedziną funkcji arctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arctg policzymy z każdej liczby)
arcctgx
Z wykresu funkcji ctgx:
Wykrajamy różnowartościowy kawałek:
Wykres funkcji arcctgx wygląda tak:
Ścisłe określenie arcctgx było by takie:
Widać, że:
- dziedziną funkcji arcctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arcctg policzymy z każdej liczby)
Uwaga
W wielu kalkulatorach i w ogóle zapisach matematycznych (zwłaszcza zachodnich) funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie oznacza się jako “arcus”, tylko wykładnikiem potęgi -1. Na przykład arcsinx zapisuje się jako
Biedny arcus secans i arcus cosecans ;-;
Powiem w skrócie. Jesteś niesamowity!
Doskonałe wyjaśnienie! Nie wyobrażam sobie studiowania bez uzupełniania wiedzy na eTrapez 🙂
Uwielbiam matematykę, ale nie potrafię się jej uczyć sama i potrzebuję dokładnie tego, co tu znajduję. 🙂 Dziękuję!
Witam chciała bym sie dowiedziec o 5 własności funkcji arctgx . Pozdrawiam
Funkcja arctgx jest:
– rosnąca
– nieparzysta
– różnowartościowa
– ciągła
– różniczkowalna
– jej dziedziną jest \displaystyle Re , a przeciwdziedziną \displaystyle \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)
Przy rysunku arctg jest wpisany arcctg i jako nagłówek tez arcctg zamiast arctg
jak dla mnie kozak, czeto korzystam z Pana lekcji, dziękuje i pozdrawiam
ctg(-x) = – ctg x na filmiku jest błąd ;(
Zgadza się, w tabelce zamiast ctg(-x) = ctgxpowinno być ctg(-x) = – ctgx.
Przepraszam za swoją pomyłkę.
Czy przeciwdziedzina funkcji arcctg to nie zbiór (0;PI)? A nie [0,PI]?
Tak, oczywiście, przepraszam. Poprawiłem.
Czy wykres ctg na pewno jest poprawny? Funkcja ta przyjmuje dla 45 stopni jeden a ni minus jeden.
Nie był poprawny, przepraszam (szkoła średnia się kłania…)! Już poprawiłem.
Strasznie ubolewam nad faktem że nie mam szans na tak wyśmienitego prowadzącego na studiach jak Pan 🙂
Matematyka przedstawiana na zajęciach jest przerażająca – jednak, gdy przeczytam/ pooglądam Pana prezentacje wszystko staje się jaśniejsze. Dziękuje 🙂
Świetnie! Bardzo Panu Dziękujemy, bardzo mi się to przyda. Pozdrawiam serdecznie:)