Funkcje Cyklometryczne (Wykład – Video)

 

Funkcje Cyklometryczne Wykład

 

Temat: Funkcje cyklometryczne

 

Streszczenie

Na wykładzie wprowadzę pojęcie funkcji cyklometrycznych: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Wykład składa się z dwóch części. W pierwszej pokazuję tylko jak szybciutko liczyć wartości funkcji trygonometrycznych, bez zbytniego wgłębiania się w temat (do tej części dołączony jest filmik Video, fragment mojego Kursu Całek Oznaczonych, Niewłaściwych i Zastosowań Całek ).

W drugiej opisuję funkcje cyklometryczne bardziej ściśle, pokazuję ich wykresy itd.

Do zrozumienia wykładu potrzebne będą:

• funkcje trygonometryczne (szkoła średnia)

 

Część I

Funkcje cyklometryczne – wersja “INSTANT”

Funkcje cyklometryczne “na chłopski rozum” to po prostu funkcje odwrotne do trygonometrycznych. Czyli arcsinx to funkcja odwrotna do sinx.

Czyli jeśli np. wiemy, że , to znaczy, że .

I tak dalej:

, bo

, bo

, bo

Do tego mamy jeszcze parę własności funkcji trygonometrycznych, które pozwalają nam obliczać ich wartości także dla argumentów ujemnych:

Możemy sobie więc jeszcze policzyć do tego:

Mając więc tabelkę funkcji trygonometrycznych spokojnie wyznaczymy z niej wartości funkcji cyklometrycznych, odczytując ją po prostu “na odwrót”.

Objaśniam to dokładniej tu na filmiku:

 

 

Tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych z filmiku – pobierz tutaj .

 

Część II

Funkcje cyklometryczne – pełna wersja

 

Wstęp – dlaczego w sumie część I to za mało

Wygląda więc na to, że w części I zdefiniowaliśmy każdą funkcję cyklometryczną jako odwrotną do odpowiadającej jej trygonometrycznej.

Sformalizujmy to trochę. Powiedzieliśmy, że np. funkcja przyjmuje wartość , gdy funkcja z tego równa jest .

Odpowiednio:

, gdy

, gdy

, gdy

Czyli jeśli chcemy obliczyć zastanawiamy się, cosinus jakiego kąta daje , wpadamy na to, że jest to kąt i mamy wynik: .

Czy to już wyczerpuje nam temat wartości funkcji cyklometrycznych?

Oczywiście NIE.

Prześledźmy jeszcze raz całe rozumowanie na konkretnych liczbach (i przerzućmy się może tradycyjnie na arcsinx):

Jeśli chcemy obliczyć zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje , wpadamy na to, że jest to kąt i mamy wynik: .

Gdzie tu problem? W pogrubionym fragmencie:

Jeśli chcemy obliczyć zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje , wpadamy na to, że jest to kąt i mamy wynik: .

Niestety, nie tylko sinus równy jest .

Przypomnijmy wykres funkcji sinx (zaznaczyłem na nim wartość ):

 

 

 

 

 

Widać i wiemy to już ze szkoły średniej, że sinus osiąga wartość nie tylko dla kąta , ale także dla kątów:

Czyli dla

Przypomnijmy więc jeszcze raz nasz sposób obliczania arcsin:

Jeśli chcemy obliczyć zastanawiamy się, sinus jakiego kąta daje , wpadamy na to, że jest to kąt i mamy wynik: .

No ale teraz wiemy już, że nie tylko daje , wygląda więc na to, że:

, lub , lub , lub , lub ,…

To oznaczało by, że arcsinx nie jest w ogóle funkcją, bo jednemu argumentowi przyporządkowanych jest kilka wartości!

Udzielenie jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, ile równy jest arcsin z czegoś było by wtedy zupełnie niemożliwe.

Łatwo też sobie wyobrazić, że podobny problem dotyczy KAŻDEJ z funkcji trygonometrycznych.

Nazywając rzecz bardziej fachowo: te funkcje nie są różnowartościowe, zatem funkcje odwrotne do nich nie istnieją. W każdej z funkcji trygonometrycznych każda ich wartość zostaje osiągnięta dla nieskończonej liczby argumentów (są one okresowe, prawda?), zatem przy próbie wyznaczenia ich funkcji odwrotnych otrzymamy nieskończoną liczbę wartości przyporządkowaną do każdego argumentu. A tak w funkcjach nie może być.

Co robić?

To dosyć proste, żeby nie powiedzieć: prostackie. Każdą z funkcji trygonometrycznych można OBCIĄĆ tak, aby w rezultacie otrzymać funkcję różnowartościową.

Do dzieła zatem, zdefiniujmy już prawidłowo wszystkie 4 funkcje cyklometryczne:

 

arcsinx

Przypomnijmy wykres funkcji sinx:

 

 

 

 

 

 

Jeśli umówimy się, że obetniemy go na przykład do przedziału do przedziału , otrzymamy taki wykres:

Nie jest to niestety to, o co nam chodzi, ponieważ nie jest dalej wykres funkcji różnowartościowej i problem z wartością np. nadal występuje:

Umawiamy się więc, że funkcję sinx przycinamy inaczej, do argumentów :

Teraz jest to funkcja różnowartościowa i istnieje do niej funkcja odwrotna arcsinx.

Wykres funkcji arcsinx wyglądać będzie mniej więcej tak:

Jej dziedziną jest przedział , nie istnieje.

Ścisłe określenie funkcji arcsinx to zatem:

, gdy , dla .

 

arccosx

Funkcja cosx również nie jest funkcją różnowartościową:

Aby otrzymać funkcję różnowartościową musimy go jednak przyciąć do przedziału :

Tak określona funkcja jest już różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną arccosx.

Jej wykresem będzie mniej więcej:

A jej ścisłym określeniem:

, gdy , dla .

 

arctgx

Wykres funkcji tgx wygląda tak:

Również nie jest funkcja różnowartościowa! Obciąć możemy go w następujący sposób:

Otrzymując w ten sposób funkcję różnowartościową.

Wykres funkcji arctgx wygląda tak:

A jej ścisłe określenie jest takie:

, gdy , dla y\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right).

Zauważmy też, że z wykresu wynika kilka ciekawych własności, np:

• dziedziną funkcji arctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arctg policzymy z każdej liczby)
• 
• 

 

arcctgx

Z wykresu funkcji ctgx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykrajamy różnowartościowy kawałek:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wykres funkcji arcctgx wygląda tak:

Ścisłe określenie arcctgx było by takie:

, gdy , dla .

Widać, że:

• dziedziną funkcji arcctgx jest cały zbiór liczb rzeczywistych (arcctg policzymy z każdej liczby)
• 
• 

 

Uwaga

W wielu kalkulatorach i w ogóle zapisach matematycznych (zwłaszcza zachodnich) funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie oznacza się jako “arcus”, tylko wykładnikiem potęgi -1. Na przykład arcsinx zapisuje się jako . Jak się wie, o co chodzi, to nie ma problemu. Można jednak zrobić makabryczny błąd i pomylić funkcję odwrotną do sinx z funkcją – która jest jeszcze zupełnie inną od arcsinx funkcją.