fbpx
blog

Układ równań z parametrem do wyznaczenia

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Układ równańOblicz parametr ‘a’ w powyższym układzie równań wiedząc, że jest on sprzeczny.

Zamiast schematycznie rozpoczynać liczeniem rzędu macierzy głównej, wyznaczmy rząd macierzy uzupełnionej:

Rząd macierzy uzupełnionej…jest on równy dwa, bo w tej macierzy można wyodrębnić niezerowy wyznacznik drugiego stopnia (a większego już nie da rady):

Wyodrębniony wyznacznik drugiego stopniaRząd macierzy uzupełnionej jest więc równy 2.

Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capellego

Jaki powinien więc wyjść rząd macierzy głównej?

Wiemy, że układ jest sprzeczny, a z twierdzenia Kroneckera-Capellego wiemy, że będzie on sprzeczny, kiedy rząd macierzy głównej będzie różny od rzędu macierzy uzupełnionej. Wiemy też, że rząd macierzy głównej jest zawsze mniejszy lub równy od rzędu macierzy uzupełnionej (macierz główna zawiera się w uzupełnionej). Czyli rząd macierzy głównej powinien wyjść 1 albo 0 (żeby był różny od rzędu macierzy uzupełnionej).

Rząd macierzy głównej równy będzie:

Rząd macierzy głównejWidzimy, że nie będzie on na pewno równy 0 (tylko i wyłącznie rząd macierzy zerowej równy jest 0) – powinien więc on być równy 1. Rząd będzie równy jeden, kiedy wiersz pierwszy i drugi będą proporcjonalny (wtedy jeden z nich wykreślimy). Widać, że wiersz pierwszy przemnożony przez dwa daje wiersz drugi, jeśli tylko a równe będzie 8.

Zatem szybko i bez wielkich obliczeń dochodzimy do odpowiedzi:

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Matura Rozszerzona (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: mgr inż. Anna Zalewska

59,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Renata pisze:

    a co w przypadku, gdy mamy rozwiązać układ w zależności od parametru, a ich jest dużo więcej:
    x + (p-2)y – 2pz = 4
    px + (3-p)y + 4z = 1
    (1+p)x + y + 2(2-p)z = 7

    ???

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, tutaj napisałem co nie coś ma ten temat:

      https://blog.etrapez.pl/macierze/rzad-macierzy-w-ukladach-rownan-liniowych-z-parametrem/

    2. Konrad pisze:

      Ta strona nie istnieje :<

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Poprawiłem link, przepraszam.