Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

Picture of Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

a czasami nawet tak:

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

Kolejna granica:

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1.

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

Po lewej stronie zamiast wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

konometria jest dosyć młodą dziedziną wypływającą z ekonomii i matematyki. W praktyce, dzięki modelom ekonometrycznym, możesz „zmierzyć gospodarkę”.Polega to konkretnie na zmierzeniu, jak zachowuje się jedna zmienna w zależności od innych. I na podstawie analizy tego, co było, możesz określać, co będzie się działo w przyszłości.

Wykorzystasz do tego przeróżne obliczenia, testy, schematy. Jedne będą bardzo proste, inne trudniejsze. Jednak najczęściej będzie się liczyło nie to, jak dojdziesz do wyniku, ale jak go zinterpretujesz, odczytasz i jakie wnioski wyciągniesz.

Poniższe Wykłady dotykają najważniejszych pojęć teoretycznych. Jestem przekonana, że pomogę Ci odkrywaniu tego, czym jest ekonometria. I przy okazji uda Ci się zaliczyć ten przedmiot na studiach.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


Kategorie

Wirtualny nauczyciel AI działający w przeglądarce internetowej.