blog

Zaklęcie Na Równanie Okręgu w 5 Prostych Krokach

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Skrzat w trawieJak wiesz , tylko pewna część zdobywanych z trudem wiadomości ze szkoły średniej właściwie przyda Ci się na studiach. W tym wakacyjnym, powtórkowym okresie dobrze jest więc może skoncentrować się właśnie na nich.

Równanie okręgu

Równanie okręgu – jeśli mamy szczęście – wygląda na tak:

{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}

I od razu odczytujemy z niego, że jest to okrąg o środku w punkcie \left( a,b \right) i promieniu r.

Przykłady

  • {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4, okrąg o środku w punkcie \left( 2,3 \right) i promieniu 2
  • {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9, okrąg o środku w punkcie \left( -2,3 \right) i promieniu 3
  • {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1, okrąg o środku w punkcie \left( 0,-1 \right) i promieniu 1
  • {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7, okrąg o środku w punkcie \left( 0,0 \right) i promieniu \sqrt{7}

I fajnie. Gorzej, gdy w nocy przyjdą złośliwe matematyczne skrzaty, wezmą takie zgrabne równanko  {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4 i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia podniosą do kwadratu, dodadzą stałe i jeszcze na domiar złego przerzucą wszystko na jedną stronę.

Dostaniemy wtedy takie brzydkie coś: {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y+9=0, a bardziej ogólnie…

Równanie okręgu w postaci zamieszanej

Żeby odczarować równanie okręgu w postaci zamieszanej i aby na nowo przypominało piękną księżniczkę, musisz powtórzyć następujące zaklęcie krok-po-kroku:

1. Najpierw składniki z x, później z y, na końcu stała

Czyli Twoje “zamieszane” przez skrzaty równanie:

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y+9=0

Zapisujesz jako:

{{x}^{2}}-4x+{{y}^{2}}-6y+9=0

2. Współczynniki przy x i y nie podniesionych do potęg zapisujesz jako DWA razy odpowiednia liczba (żeby się zgadzało)

Czyli piszesz:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+9=0

Uwaga

Jeśli współczynniki są “nieokrągłe” to też się da, a jak ich w ogóle nie ma, to nie zapisujesz, na przykład jak masz:

{{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}+12=0

To zapisując zaklęcie przekształcił byś to tak:

{{x}^{2}}-2\cdot \frac{1}{2}x+{{y}^{2}}+12=0

3. Dodajesz i odejmujesz współczynniki które TERAZ stoją przy x i y (ale bez liczby 2) podniesione do kwadratu

Czyli mając:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+9=0

Zapisujesz:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}-{{2}^{2}}+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+{{3}^{2}}-{{3}^{2}}+9=0

4. Korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia {{\left( a+b \right)}^{2}} lub {{\left( a-b \right)}^{2}}, pozostałe stałe dodajesz/odejmujesz

Zwróć uwagę, że w zaznaczonych miejscach możesz skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

\underbrace{{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}}_{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-{{2}^{2}}+\underbrace{{{y}^{2}}-2\cdot 3y+{{3}^{2}}}_{{{\left( y-3 \right)}^{2}}}-{{3}^{2}}+9=0

i wyjść na:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}-4+{{\left( y-3 \right)}^{2}}-9+9=0

a po porachowaniu stałych:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}-4=0

5. Przerzucasz stałą na prawo i masz równanie okręgu

Czyli u nas:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4

Uwaga

Jeśli w tym momencie zadania po prawej masz liczbę ujemną to wyjścia są dwa:

  • Pomyliłeś się gdzieś po drodze
  • Na wejściu nie było wcale równania okręgu i skrzaty zakpiły sobie z Ciebie

Jeśli natomiast po prawej wyjdzie liczba “nieprzyjemna”, ale dodatnia, typu 5\tfrac{2}{3} to wyjścia też są dwa:

  • Pomyliłeś się gdzieś po drodze
  • Promień okręgu też jest nieprzyjemny, czyli typu \sqrt{5\tfrac{2}{3}}

Tyle zaklęcie, mam nadzieję, że przyda się Tobie (na przykład w wyznaczaniu dziedziny funkcji dwóch zmiennych ). Daj mi znać w komentarzach, jeśli napotkasz na swojej drodze kiedykolwiek skrzaty tak wredne, że nawet to zaklęcie nie pomaga.

 

 

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.