Brak produktów w koszyku.
Krystian Karczyński- 11 stycznia 2012
- Komentarz 8
Podstawienia Eulera I, II, III rodzaju – Więcej Już Nie Trzeba
W poprzednich postach pokazałem jak stosować podstawienia Eulera w całkach typu:
- Podstawienia Eulera I rodzaju (gdy a>0)
- Podstawienia Eulera II rodzaju (gdy c>0)
W tym poście zajmiemy się trzecim i ostatnim rodzajem podstawień Eulera, które możemy stosować, gdy w całce:
trójmian kwadratowy 
, ma dwa różne pierwiastki 
, czyli kiedy jego 
, czyli kiedy można go zapisać w postaci iloczynowej: 
.
Zanim jednak przejdziemy do rzeczy, zauważmy, że te trzy przypadki:
- I rodzaj, gdy a>0
- II rodzaj, gdy c>0
- III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki
pozwolą nam rozwiązać każdą całkę typu:
Właściwie nawet tylko I i III rodzaj wystarczą.
Dlaczego?
Przypadek, gdy 
możemy pominąć, bo trójmian kwadratowy zmienia się po prostu w postać liniową 
, którą rozwiążemy prostszymi podstawieniami, niż Eulera.
Co jednak z przypadkiem, gdy a<0 (nie pasuje do I rodzaju) i trójmian kwadratowy ma jeden lub w ogóle nie ma pierwiastków (nie pasuje do III rodzaju)?
Wtedy jego wykres wyglądał by tak (pamiętamy ze średniej – ramiona w dół):
albo, jeśli w ogóle nie miałby pierwiastków, tak:
Jaki z tego morał? Że w obu przypadkach trójmian kwadratowy przyjmował by wartości ujemne (z wyjątkiem, co najwyżej jednego punktu), a przypominam, że liczymy całkę:
Czyli, że w funkcji podcałkowej trójmian kwadratowy jest pod pierwiastkiem, a ten nie może być liczony z wartości ujemnych (bawimy się w liczby rzeczywiste, oczywiście). Czyli dziedziną takiej funkcji byłby co najwyżej jeden punkt, czyli że w ogóle bez sensu i takiego przykładu na pewno nie dostaniemy. Chyba, że Pan profesor będzie naprawdę niewyspany przy układaniu przykładów na kolokwium.
Przypadek więc, gdy a<0 i trójmian nie ma dwóch pierwiastków można pominąć i teraz wyraźnie widać, że I i III rodzaj podstawień Eulera pasuje do KAŻDEJ całki typu:
Do rzeczy zatem, bierzmy się za III rodzaj podstawień Eulera.
Podstawienia Eulera III rodzaju
Mamy całkę:
,
w której ma , czyli można go zapisać jako:
,
gdzie to jego pierwiastki.
Podstawienie, jakie tu stosujemy, to:
Podstawienie to podnosimy obustronnie do kwadratu, trójmian po lewej stronie zapisujemy w postaci iloczynowej (wiemy, że można), dzielimy obie strony przez 
i dalej, tak jak w poprzednich rodzajach podstawień, wyznaczamy w kolejności:
Na końcu podstawiamy całość do całki wyjściowej i wychodzimy na – z reguły żmudną – całkę wymierną.
Do dzieła.
Przykład
Nasze 
(czyli a<0, czyli nie zastosujemy podstawień I rodzaju), nasze 
(czyli c<0, czyli nie zastosujemy podstawień II rodzaju), ale za to nasza 
, czyli możemy zastosować podstawienia III rodzaju.
Liczymy na początku :
Stosujemy podstawienie Eulera III rodzaju:
Podnosimy obie strony do kwadratu:
Trójmian po lewej zapisujemy w postaci iloczynowej (pamiętać o 
mi tutaj!!!):
Dzielimy obustronnie przez 
:
Wyznaczamy 
:
Mamy wyznaczone przy pomocy zmiennej 
. Teraz bierzemy się za wyznaczenie 
.
Wracając się do naszego pierwszego podstawienia mamy, że:
Wstawiamy wyznaczone 
i mamy:
Mamy całkiem zgrabnie wyznaczone . Teraz już tylko 
, które policzymy licząc pochodną z :
Mamy więc wyznaczone:
, wszystko przy pomocy zmiennej . Wrzucamy to do całki:
Upraszczamy:
Zgodnie z przewidywaniami wychodzimy na naprawdę już mocną całkę wymierną, której obliczanie sobie odpuszczam.
Na koniec warto jeszcze zauważyć, że…
Uwaga odnośnie podstawień Eulera
Mając całkę:
,
w której:
- I rodzaj, gdy a>0
- II rodzaj, gdy c>0
- III rodzaj gdy są dwa różne pierwiastki
oczywistym jest, że często można będzie ją rozwiązywać jednym z dwóch podstawień Eulera, albo nawet dowolnym z nich (kiedy a>0, c>0 i jednocześnie ).
Żaden problem, choć ze względu na łatwość obliczeń polecał bym stosować w pierwszej kolejności I rodzaj, jak się nie da, to II, a jak się nie da, to dopiero III.
Tyle o stosowaniu podstawień Eulera, mam nadzieję, że przyda to Wam się na studiach, jak zawsze zapraszam do komentarzy pod postem.
Przemek
Czyli w podstawieniach Eulera funkcja musi być wymierna i być związkiem pierwiastka z trójmianu kwadratowego i jakiegoś iksa w dowolnej potędze?
pawel
Dziekuje Krystian 🙂
Mariusz
ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left(left(2ax+bright)^2+4ac-b^2right)
W przypadku gdy wyróżnik jest większy od zera możemy użyć trzeciego podstawienia
W przypadku gdy wyróżnik jest mniejszy od zera to przypadek a<0 nas nie \interesuje bo weszlibyśmy w zespolone
(trójmian przyjmuje wtedy wartości ujemne) , wobec powyższej równości można wybrać jedno z dwóch pozostałych podstawień
tak więc dwa dowolnie wybrane podstawienia
Mariusz
Czy jakieś zadania typu oblicz długość łuku paraboli
y=\left(x+2right)^2+5na przedziale \left(0;1right)
Oblicz pole powierzchni bryły powstałej z obrotu paraboli y=\left(x+1right)^2+4
dookoła osi OX na przedziale \left(-1;2right)
Mariusz
Proponuję aby na koniec każdego tematu dawać zadania do samodzielnego rozwiązania
Do tematu o podstawieniach Eulera mogą to być np takie całki
\int{\frac{mbox{d}x}{\left(x-1right)\sqrt{x^2+x+1}}}
\int{\frac{mbox{d}x}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}}
\int{\frac{mbox{d}x}{\sqrt{1+e^{x}+e^{2x}}}}
\int{\frac{x^2-1}{x\sqrt{x^4+3x^2+1}}}
\int{\frac{\left(2x+3right)}{\left(x^2+2x+3right)\sqrt{x^2+2x+4}}mbox{d}x}
\int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}}
\int{\frac{mbox{d}x}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}}
\int{\frac{mbox{d}t}{x^3\sqrt{\left(x^2-1right)^3}}}
Mariusz
Zakładając że nie rozpatrujemy tutaj dziedziny zespolonej po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej
będziemy mieli
\int{R(x,sqrt{a(x+p)^2+q})mbox{d}x}
Jeżeli a>0 to stosujemy pierwsze podstawienie
\sqrt{a(x+p)^2+q}=t-\sqrt{a}(x+p)\
Jeżeli a<0 to stosujemy drugie podstawienie
\sqrt{a(x+p)^2+q}=(x+p)t-\sqrt{q}\
czyli wystarczą pierwsze dwa podstawienia
Jednak to trzecie (z pierwiastkami) też dobrze znać ponieważ czasami po podstawieniu można jakąś prostszą całkę otrzymać
Krystian Karczyński
Wow, no właściwie tak, każdy trójmian kwadratowy z a<0 da się sprowadzić do postaci dogodnej do podstawienia nr. 2.
Dzięki, to bardzo wartościowa wskazówka.
Mariusz
Po sprowadzeniu trójmianu pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej
wystarczą nawet dwa podstawienia