DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Podstawienia Eulera II rodzaju

Krystian Karczyński

Podstawienia Eulera I rodzaju (dla a>0) – powtórzenie

W poprzednim poście:

Podstawienia Eulera I rodzaju

zajęliśmy się całkami typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w których a>0.

Rozbroiliśmy także przykładową całkę spełniającą ten warunek, tzn.

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Co jednak, jeśli a w trójmianie będzie ujemne (przypadek, gdy a=0 można pominąć, bo wtedy nie będzie to w ogóle trójmian kwadratowy i całkę rozwiąże się przez podstawienie prostsze t^2=bx+c, niż podstawienie Eulera) ?

Wtedy pomóc nam może (ale nie musi…) drugi rodzaj podstawień Eulera:

Podstawienie Eulera II rodzaju (dla c>0)

Mając całkę typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

, w której c>0, stosujemy podstawienie typu:

xt+sqrt{c}=sqrt{ax^2+bx+c}

, które znowu podnosimy obustronnie do kwadratu, w którym tym razem składniki z c się skracają i które trzeba jeszcze podzielić obustronnie przez x, żeby wyjść na zależność liniową, z której wyznaczymy przy pomocy zmiennej t w kolejności:

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

Podstawimy to wszystko do całki:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

i wyjdziemy znów na całkę wymierną, która – powtarzam – na ogół jest żmudna.

Ruszajmy więc z przykładem.

Przykład

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{2+x-x^2}}}}

W trójmianie kwadratowym trochę pozmieniana kolejność składników, ale chyba jasne jest, że a=-1,b=1,c=2. Czyli, że a nie jest większe od 0 (nie zastosujemy więc I rodzaju podstawień Eulera), ale c>0 (czyli zastosujemy II rodzaj).

Podstawiamy więc:

xt+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

Podnosimy obie strony do kwadratu:

(xt+sqrt{2})^2=(sqrt{2+x-x^2})^2

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt+2=2+x-x^2

Składnik 2 się skraca (tak ma być):

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt=x-x^2

i teraz coś, czego nie było w I rodzaju podstawień, dzielimy obustronnie przez x:

{x^2}{t^2}+2sqrt{2}xt=x-x^2/:x

xt^2+2sqrt{2}t=1-x

Dalej wyznaczamy x:

xt^2+x=1-2sqrt{2}t

x(t^2+1)=1-2sqrt{2}t

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

Mamy x wyznaczone przy pomocy zmiennej t. Teraz wyznaczamy sqrt{2+x-x^2}. Na początku mieliśmy podstawienie:

xt+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

x mamy już wyznaczone, więc tylko wstawiamy:

{{1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}}t+sqrt{2}=sqrt{2+x-x^2}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+sqrt{2}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+sqrt{2}{{t^2+1}/{t^2+1}}

sqrt{2+x-x^2}={t-2sqrt{2}t^2}/{t^2+1}+{sqrt{2}{t^2}+sqrt{2}}/{t^2+1}

sqrt{2+x-x^2}={t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}

Pozostało nam do wyznaczenia tylko dx. Obliczymy je licząc pochodną z x:

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

dx={{(1-2sqrt{2}t){prime}(t^2+1)-(1-2sqrt{2}t)(t^2+1){prime}}/(t^2+1)^2}dt

dx={{-2sqrt{2}(t^2+1)-(1-2sqrt{2}t)2t}/(t^2+1)^2}dt

dx={{-2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t+4sqrt{2}t^2}/(t^2+1)^2}dt

dx={{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt

Mamy więc wyznaczone:

x={1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}

sqrt{2+x-x^2}={t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}

dx={{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt

, wszystko przy pomocy zmiennej t. Bierzemy całkę:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{2+x-x^2}}}}

i wstawiamy:

int{}{}{{{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}dt}/{{{1-2sqrt{2}t}/{t^2+1}}{{t-sqrt{2}t^2+sqrt{2}}/{t^2+1}}}}

Bierzemy się za sprzątanie:

int{}{}{{{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/(t^2+1)^2}}/{{(1-2sqrt{2}t)(t-sqrt{2}t^2+sqrt{2})}/(t^2+1)^2}dt}

int{}{}{{2sqrt{2}t^2-2sqrt{2}-2t}/{(1-2sqrt{2}t)(t-sqrt{2}t^2+sqrt{2})}dt}

\int{\frac{-2\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}{\left( 1-2\sqrt{2}t \right)\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}dt} \int{\frac{-2}{1-2\sqrt{2}t}dt}=\left| \begin{matrix}&u=1-2\sqrt{2}t\\&du=-2\sqrt{2}dt\\&dt=\frac{du}{-2\sqrt{2}}\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{-2}{u}\frac{du}{-2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{du}{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C

A wracając  się z podstawieniem:

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C

Trzeba jeszcze wrócić z tdo x. Naszym podstawieniem Eulera było

xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}

Skąd

t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}

Czyli nasze rozwiązanie to

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C

Co z innymi przypadkami?

Wiemy, że kiedy w całce:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

  • a>0 – stosujemy I rodzaj podstawień
  • c>0 – stosujemy II rodzaj podstawień

Co jednak, jeśli ani a, ani c nie są większe od zera? O tym w następnym poście, w którym omówię III rodzaj podstawień Eulera i pokażę, że temat będzie w już wyczerpany, tzn. do każdej całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

…dobierzemy któryś z trzech rodzajów podstawień.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Wojtek pisze:

    W tym przykładzie podstawienia Eulera II rodzaju wkradł się błąd.
    No, może nie błąd, ale tą całkę bardzo łatwo można doprowadzić, aby licznik był pochodną mianownika. Oczywiście podanym przez Pana sposobem również można, ale skoro jest prostszy sposób…
    Trzy wiersze powyżej podanej tutaj całki do rozwiązania należy wyłączyć w liczniku -2 przed nawias. Wtedy nawias z licznika skróci się z tym po prawej w mianowniku. Pozostanie tylko wyłączyć w liczniku jeden przez pierwiastek z 2 przed nawias i wyłączyć to przed znak całki.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, to prawda, nie zauważyłem tego, dziękuję za cenny komentarz!

      Zaraz to poprawię w poście, zdecydowanie uprości całkę.

  2. Mariusz pisze:

    Krystian czy zawsze da się tak dobrać podstawienie liniowe aby można było użyć II postawienia Eulera do całek
    [latex] \int{R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)}[/latex]
    Jeśli wyraz wolny trójmianu jest ujemny to bez takiego zabiegu nie można użyć tego podstawienia
    Jeżeli wyraz wolny jest zerowy to drugie podstawienie pokrywa się z trzecim

  3. Adiabat pisze:

    Wiem, że zapewne będzie to pytanie z cyklu elementarnych, ale skąd mamy pewność, że dzieląc przez x ( w momencie już wyjścia z pierwiastka, przez zastosowanie kwadratu) nie podzielimy przez zero? Podobne pytanie się u mnie rodzi przy III rodzaju podstawień. Bardzo byłbym wdzięczny za rozwianie, tych drobnych wątpliwości. :)Pozdrawiam i dziękuje za wszelkie materiały 🙂