Rząd macierzy w układach równań liniowych z parametrem

 

Rząd macierzy Wykład 4

 

Temat: Układy równań liniowych z parametrem

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w układach równań liniowych z parametrem określać ich liczbę rozwiązań przy pomocy rzędów macierzy (a nie jak na ogół wzorami Cramera).

Układy równań liniowych z parametrem

W układach równań liniowych z parametrem, na przykład:

Układ równeń linowych z parametrem "kwadratowy"można rozpoznać po uroczej literce a, albo: alpha. Dla różnych wartości a (np.a=2,a=0,a=7) otrzymamy różne rozwiązania układu. Być może dla niektórych wartości a otrzymamy układ sprzeczny, który nie ma rozwiązań. Być może dla niektórych wartości a otrzymamy układ nieoznaczony, czyli taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Nasze zadanie polega na ogół nie na rozwiązywaniu układu, tylko na określeniu, dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie (jest oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), a dla jakich nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Liczba rozwiązań układu zależna od rzędu macierzy

Do wyznaczenie liczby rozwiązań układu możemy wykorzystać wzory Cramera i wyznaczników, ale w niektórych układach wygodniejsze będzie skorzystanie z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Przypomnijmy, że z tego twierdzenia wynika, że…

1. Układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie), gdy:

rz(A)=rz(U)=n – rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest równy liczbie niewiadomych

2. Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy:

rz(A)=rz(U)<n – rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od  liczby niewiadomych

3. Układ jest sprzeczny (brak rozwiązań), gdy:

rz(A) – rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej rz(U)

Ogólna metoda postępowania

Aby wykorzystać rząd macierzy do określenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru, będziemy postępowali następująco:

– wyznaczali rząd macierzy głównej rz(A)

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy głównej rz(A) przyjmuje różne wartości

– wyznaczali rząd macierzy uzupełnionej

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy uzupełnionej rz(U) przyjmuje różne wartości

– określali liczby rozwiązań układu równań w zależności od A korzystając z wniosków z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Przed pójściem dalej przypomnij sobie koniecznie, jak obliczało się rząd macierzy!

Przykład

Określmy liczbę rozwiązań w zależności od parametru a w układzie:

Układ równań liniowych z parametrem - przykładNa początku obliczamy rząd macierzy głównej A, czyli:

Rząd macierzy głównej - przykład

Rząd tej macierzy wyjdzie (po obliczeniu) równy 2. Zauważmy, że rząd macierzy głównej nie zależy w ogóle od parametru a. Przyjmuje po prostu zasze wartość 2. Nie rozpisujemy więc, że dla pewnych a jest równy 1, dla innych 2, a dla innych 3. On jest po prostu zawsze równy 2 dla dowolnego a. Można zapisać:

rz(A)=2 dla a{in}{bbR}

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej U, czyli:

Rząd macierzy uzupełnionej - przykład

Będzie to już trochę trudniejsze, bo w macierzy, której rząd mamy policzyć występuje parametr a. Nie przejmujemy się jednak tym – traktujemy a jak zwykłą liczbę. “Wyzerujmy” na przykład trzecią kolumnę (pierwszy wiersz dodajemy do drugiego i pierwszy wiersz mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego). Otrzymamy:

Rząd macierzy uzupełnionej z wyzerowaną trzecią kolumną - przykład

Zauważmy, że w ostatniej kolumnie działamy najnormalniej w świecie: 1 mnożymy przez 4 i dodajemy do a. Teraz wykreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę (zgodnie z zasadami obliczania rzędów) i zwiększamy rząd macierzy o 1. Mamy:

Rząd macierzy uzupełnionej z wykreśloną trzecią kolumną - przykład

Teraz “zerujemy” drugą kolumnę, mnożąc pierwszy wiersz przez -3 i dodając do drugiego.

Rząd macierzy uzupełnionej z wyzerowaną kolejną kolumną- przykład

Po wykreśleniu trzeciej kolumny otrzymamy:

Rząd macierzy z wykreśloną kolejną kolumną - przykładTeraz zwróćmy uwagę, że rząd macierzy, jaka nam pozostała po tych wszystkich wykreśleniach zależy od parametru a.

Jeżeli a będzie równe 5, macierz będzie składała z samych zer, a rząd macierzy będzie wtedy równy 0. W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 2.

Jeżeli a będzie jednak różne od 5, macierz będzie miała element niezerowy, a rząd macierzy będzie wtedy równy 1.W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 3.

Można to zapisać:

rz(U)=2 dla a=5

rz(U)=3 dla a różnego od 5

Podsumowując wartości rzędów macierzy głównej i uzupełnionej otrzymujemy:

rz(A)=rz(U)=2 dla a=5

rz(A)=2 i rz(U)=3 dla a różnego od 5

Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=5 (bo wtedy rzędy macierzy są równe i mniejsze od liczby niewiadomych), a nie ma w ogóle rozwiązań dla a różnego od 5 (bo wtedy rządy macierzy są różne).

Przypadek, gdzie układ ma 1 rozwiązanie nie zachodzi nigdy.

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań z użyciem rzędu macierzy (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak radzić sobie z układami równań liniowych bez użycia rzędu macierzy (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Jak byłem na inżynierskich to wykładał starszy, łysawy doktor – mówiło się, że jak on Cię nie nauczy matematyki, to lepiej dać sobie spokój ze studiowaniem. E-trapez spoko, ale na co to komukolwiek ( poza egzaminem ), jak nic z tego praktycznego nie wynika? Zastosowanie by się przydało.Post Scriptum: programowanie, czy tam bardziej współczesne podejście do zagadnienia ( typu: BLAS, cuSolver, et cetera ), to jednak temat jedynie dla specjalistów.

  2. HBR pisze:

    Rząd macierzy A wynosi 3 a nie 2

    1. HBR pisze:

      a nie, jednak jest dobrze 🙂

    2. t3t pisze:

      mi tez wyszło 3 o co chodzi?

  3. Rafał pisze:

    A co jeśli mamy parametr także w macierzy głównej?

    x+ay-3z=0
    x+y+z=0
    3x+ay-z=0

  4. Karolina pisze:

    A co jeśli muszę rozwiązać układ równań, identyczny jak Pana, tylko w drugim równaniu wynik to a, natomiast w trzecim wynik to a^2?

  5. Jacek pisze:

    Swietne wytlumaczenie krok po kroku. Zastanawiam sie jak bedziemy jechac dalej jesli chcemy znalezc teraz rozwiazanie tego ukladu ktore bedzie zawieralo te dwa parametry. Zakladam, ze wracamy do macierzy glownej A i wybieramy z niej dowolny minor stopnia 2 o niezerowym wyznaczniku i budujemy uklad rownan? wtedy dostajemy tylko dwa uklady rownan w kazdym po dwa parametry. Czy tak?

  6. Daniel pisze:

    Nie wiem czy dobrze, ale parametr “a” wynosi 2. Jak wstawisz za “a” 2 to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań bo R(A) i R(U) wynosi 3. Rzędy są wiec niższe od liczby niewiadomych.
    Jak “a” jest różne od dwóch to R(A) i R(U) wynosi 4 i masz jedno rozwiązanie. A czy zachodzi sytuacja że układ jest sprzeczny to nie wiem…..
    Oczywiście to co napisałem to tylko moja sugestia….
    Pozdrawiam

  7. Romek pisze:

    Treść zadania brzmi: Określ liczbę rozwiązań, w zależności od a.

    6x + 5y + z – 2w = 1
    x + 2y + z + 6w = 2
    -x – 4y + 3z + 4w = -1
    ax + 6y – 2z + 2w = 3

    Policzyłem rząd macierzy głównej i wyszedł mi 4 – jednak po skreśleniu kolumny zawierającej a
    Policzyłem rząd macierzy uzupełnionej i wyszedł mi 3 – tym razem po wykreśleniu wiersza zawierającego a

    Proszę (wiem, że o wiele) o rozwiązanie takiego przykładu bądź o wskazówki. Jak zinterpretować powyższe.

    Czy słusznie postąpiłem? – Co oznacza wykreślenie parametru w obliczaniu rzędów w takim zadaniu?