Rząd macierzy Wykład 4
Temat: Układy równań liniowych z parametrem
Streszczenie
W artykule pokażę, jak w układach równań liniowych z parametrem określać ich liczbę rozwiązań przy pomocy rzędów macierzy (a nie jak na ogół wzorami Cramera).
Układy równań liniowych z parametrem
W układach równań liniowych z parametrem, na przykład:
można rozpoznać po uroczej literce
, albo:
Nasze zadanie polega na ogół nie na rozwiązywaniu układu, tylko na określeniu, dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie (jest oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), a dla jakich nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).
Liczba rozwiązań układu zależna od rzędu macierzy
Do wyznaczenie liczby rozwiązań układu możemy wykorzystać wzory Cramera i wyznaczników, ale w niektórych układach wygodniejsze będzie skorzystanie z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Przypomnijmy, że z tego twierdzenia wynika, że…
1. Układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie), gdy:
2. Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy:
3. Układ jest sprzeczny (brak rozwiązań), gdy:
Ogólna metoda postępowania
Aby wykorzystać rząd macierzy do określenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru, będziemy postępowali następująco:
– wyznaczali rząd macierzy głównej rz(A)
– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy głównej rz(A) przyjmuje różne wartości
– wyznaczali rząd macierzy uzupełnionej
– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy uzupełnionej rz(U) przyjmuje różne wartości
– określali liczby rozwiązań układu równań w zależności od A korzystając z wniosków z twierdzenia Kroneckera-Capellego
Przed pójściem dalej przypomnij sobie koniecznie, jak obliczało się rząd macierzy!
Przykład
Określmy liczbę rozwiązań w zależności od parametru a w układzie:
Rząd tej macierzy wyjdzie (po obliczeniu) równy 2. Zauważmy, że rząd macierzy głównej nie zależy w ogóle od parametru a. Przyjmuje po prostu zawsze wartość 2. Nie rozpisujemy więc, że dla pewnych a jest równy 1, dla innych 2, a dla innych 3. On jest po prostu zawsze równy 2 dla dowolnego a. Można zapisać:
Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej U, czyli:
Będzie to już trochę trudniejsze, bo w macierzy, której rząd mamy policzyć występuje parametr a. Nie przejmujemy się jednak tym – traktujemy a jak zwykłą liczbę. “Wyzerujmy” na przykład trzecią kolumnę (pierwszy wiersz dodajemy do drugiego i pierwszy wiersz mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego). Otrzymamy:
Zauważmy, że w ostatniej kolumnie działamy najnormalniej w świecie: 1 mnożymy przez 4 i dodajemy do a. Teraz wykreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę (zgodnie z zasadami obliczania rzędów) i zwiększamy rząd macierzy o 1. Mamy:
Teraz “zerujemy” drugą kolumnę, mnożąc pierwszy wiersz przez -3 i dodając do drugiego.
Po wykreśleniu trzeciej kolumny otrzymamy:
Jeżeli a będzie równe 5, macierz będzie składała z samych zer, a rząd macierzy będzie wtedy równy 0. W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 2.
Jeżeli a będzie jednak różne od 5, macierz będzie miała element niezerowy, a rząd macierzy będzie wtedy równy 1.W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 3.
Można to zapisać:
Podsumowując wartości rzędów macierzy głównej i uzupełnionej otrzymujemy:
Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
Przypadek, gdzie układ ma 1 rozwiązanie nie zachodzi nigdy.
Jak byłem na inżynierskich to wykładał starszy, łysawy doktor – mówiło się, że jak on Cię nie nauczy matematyki, to lepiej dać sobie spokój ze studiowaniem. E-trapez spoko, ale na co to komukolwiek ( poza egzaminem ), jak nic z tego praktycznego nie wynika? Zastosowanie by się przydało.Post Scriptum: programowanie, czy tam bardziej współczesne podejście do zagadnienia ( typu: BLAS, cuSolver, et cetera ), to jednak temat jedynie dla specjalistów.
Rząd macierzy A wynosi 3 a nie 2
a nie, jednak jest dobrze 🙂
mi tez wyszło 3 o co chodzi?
A co jeśli mamy parametr także w macierzy głównej?
x+ay-3z=0
x+y+z=0
3x+ay-z=0
A co jeśli muszę rozwiązać układ równań, identyczny jak Pana, tylko w drugim równaniu wynik to a, natomiast w trzecim wynik to a^2?
Swietne wytlumaczenie krok po kroku. Zastanawiam sie jak bedziemy jechac dalej jesli chcemy znalezc teraz rozwiazanie tego ukladu ktore bedzie zawieralo te dwa parametry. Zakladam, ze wracamy do macierzy glownej A i wybieramy z niej dowolny minor stopnia 2 o niezerowym wyznaczniku i budujemy uklad rownan? wtedy dostajemy tylko dwa uklady rownan w kazdym po dwa parametry. Czy tak?
Nie wiem czy dobrze, ale parametr “a” wynosi 2. Jak wstawisz za “a” 2 to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań bo R(A) i R(U) wynosi 3. Rzędy są wiec niższe od liczby niewiadomych.
Jak “a” jest różne od dwóch to R(A) i R(U) wynosi 4 i masz jedno rozwiązanie. A czy zachodzi sytuacja że układ jest sprzeczny to nie wiem…..
Oczywiście to co napisałem to tylko moja sugestia….
Pozdrawiam
Treść zadania brzmi: Określ liczbę rozwiązań, w zależności od a.
6x + 5y + z – 2w = 1
x + 2y + z + 6w = 2
-x – 4y + 3z + 4w = -1
ax + 6y – 2z + 2w = 3
Policzyłem rząd macierzy głównej i wyszedł mi 4 – jednak po skreśleniu kolumny zawierającej a
Policzyłem rząd macierzy uzupełnionej i wyszedł mi 3 – tym razem po wykreśleniu wiersza zawierającego a
Proszę (wiem, że o wiele) o rozwiązanie takiego przykładu bądź o wskazówki. Jak zinterpretować powyższe.
Czy słusznie postąpiłem? – Co oznacza wykreślenie parametru w obliczaniu rzędów w takim zadaniu?