Rząd macierzy w układach równań liniowych z parametrem

Rząd macierzy Wykład 4

Temat: Układy równań liniowych z parametrem

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w układach równań liniowych z parametrem określać ich liczbę rozwiązań przy pomocy rzędów macierzy (a nie jak na ogół wzorami Cramera).

Układy równań liniowych z parametrem

Układa równań liniowych z parametrem, na przykład:

można rozpoznać po uroczej literce , albo: . Dla różnych wartości a (np. ) otrzymamy różne rozwiązania układu. Być może dla niektórych wartości otrzymamy układ sprzeczny, który nie ma rozwiązań. Być może dla niektórych wartości otrzymamy układ nieoznaczony, czyli taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Nasze zadanie polega na ogół nie na rozwiązywaniu układu, tylko na określeniu, dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie (jest oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), a dla jakich nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Liczba rozwiązań układu zależna od rzędu macierzy

Do wyznaczenie liczby rozwiązań układu możemy wykorzystać wzory Cramera i wyznaczników, ale w niektórych układach wygodniejsze będzie skorzystanie z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Przypomnijmy, że z tego twierdzenia wynika, że…

1. Układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie), gdy:

– rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest równy liczbie niewiadomych

2. Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy:

– rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od  liczby niewiadomych

3. Układ jest sprzeczny (brak rozwiązań), gdy:

– rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej

Ogólna metoda postępowania

Aby wykorzystać rząd macierzy do określenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru, będziemy postępowali następująco:

– wyznaczali rząd macierzy głównej rz(A)

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy głównej rz(A) przyjmuje różne wartości

– wyznaczali rząd macierzy uzupełnionej

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy uzupełnionej rz(U) przyjmuje różne wartości

– określali liczby rozwiązań układu równań w zależności od parametru korzystając z wniosków z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Przed pójściem dalej przypomnij sobie koniecznie, jak obliczało się rząd macierzy!

Przykład

Określmy liczbę rozwiązań w zależności od parametru a w układzie:

Na początku obliczamy rząd macierzy głównej A, czyli:

Rząd tej macierzy wyjdzie (po obliczeniu) równy 2. Zauważmy, że rząd macierzy głównej nie zależy w ogóle od parametru a. Przyjmuje po prostu zawsze wartość 2. Nie rozpisujemy więc, że dla pewnych a jest równy 1, dla innych 2, a dla innych 3. On jest po prostu zawsze równy 2 dla dowolnego a. Można zapisać:

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej U, czyli:

Będzie to już trochę trudniejsze, bo w macierzy, której rząd mamy policzyć występuje parametr a. Nie przejmujemy się jednak tym – traktujemy a jak zwykłą liczbę. “Wyzerujmy” na przykład trzecią kolumnę (pierwszy wiersz dodajemy do drugiego i pierwszy wiersz mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego). Otrzymamy:

Zauważmy, że w ostatniej kolumnie działamy najnormalniej w świecie: 1 mnożymy przez 4 i dodajemy do a. Teraz wykreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę (zgodnie z zasadami obliczania rzędów) i zwiększamy rząd macierzy o 1. Mamy:

Teraz “zerujemy” drugą kolumnę, mnożąc pierwszy wiersz przez -3 i dodając do drugiego.

Po wykreśleniu trzeciej kolumny otrzymamy:

Teraz zwróćmy uwagę, że rząd macierzy, jaka nam pozostała po tych wszystkich wykreśleniach zależy od parametru a.

Jeżeli a będzie równe 5, macierz będzie składała z samych zer, a rząd macierzy będzie wtedy równy 0. W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 2.

Jeżeli a będzie jednak różne od 5, macierz będzie miała element niezerowy, a rząd macierzy będzie wtedy równy 1.W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 3.

Można to zapisać:

dla

 dla różnego od

Podsumowując wartości rzędów macierzy głównej i uzupełnionej otrzymujemy:

 dla

i dla różnego od

Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla (bo wtedy rzędy macierzy są równe i mniejsze od liczby niewiadomych), a nie ma w ogóle rozwiązań dla różnego od (bo wtedy rządy macierzy są różne).

Przypadek, gdzie układ ma 1 rozwiązanie nie zachodzi nigdy.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań z użyciem rzędu macierzy (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak radzić sobie z układami równań liniowych bez użycia rzędu macierzy (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy