DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

Rząd macierzy w sprawdzaniu, czy wektory tworzą bazę przestrzeni liniowej

 

Rząd macierzy Wykład 2

 

Temat: Sprawdzanie, czy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak użyć rząd macierzy do sprawdzenia, czy wektory tworzą bazę przestrzeni liniowej.

Kiedy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej?

Kilka wektorów nazywamy bazą przestrzeni liniowej, kiedy spełnione są dwa warunki:

  1. Wektory te są liniowo niezależne (tu właśnie wykorzystuje się rząd macierzy)
  2. Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów

Czyli żeby sprawdzić, czy kilka wektorów tworzy bazę trzeba pokazać, że spełniają one te dwa warunki.

Obliczanie liniowej niezależności wektorów

Tutaj sprawa jest prosta. Wektory ustawiamy wierszami (albo kolumnami) w macierz. Liczymy rząd macierzy. Rząd macierzy to maksymalna liczba niezależnych wektorów ją tworzących. Jeżeli więc rząd macierzy wyjdzie równy liczbie wektorów ją tworzących, to są one liniowo niezależne. Jeżeli nie wyjdzie równy – są liniowo zależne (i nie tworzą bazy w danej przestrzeni).

Wykazywanie, że każdy wektor da się wyrazić jako kombinację liniową wektorów liniowo niezależnych

Tutaj bierzemy jakiś dowolny wektor z danej przestrzeni i pokazujemy, że istnieją (lub nie) takie stałe, które pomnożone przez wektory mające stanowić bazę i dodane do siebie będą równe temu dowolnemu wektorowi. Jak to się robi – pokażę dalej w przykładzie.

Przykład (zadanie)

Przykładowo możemy zrobić takie zadanie:

Zadanie 1

Sprawdź, czy wektory: vec{x_1}=[1,0,3],vec{x_2}=[0,2,2],vec{x_3}=[1,-2,0] tworzą bazę w przestrzeni liniowej {bbR}^3, a jeśli tak, to przedstaw jako ich kombinację liniową wektor vec{a}=[10,2,4].

Zaczynamy od sprawdzenia liniowej niezależności tych wektorów. Układamy je w macierz i liczymy jej rząd:

Rząd macierzy w badaniu liniowej niezależności wektorówLiczymy, liczymy, liczymy (jak to dokładnie zrobić, jest pokazane na przykład w moim Kursie Macierzy) i mamy wynik:

Obliczony rząd macierzyJeśli rząd macierzy równy jest 3, a wektory też są trzy oznacza to, że są one liniowo niezależne. Pierwszy warunek tego, aby wektory tworzyły bazę w przestrzeni linowej {bbR}^3 jest spełniony.

W drugim warunku pokazać musimy, że dowolny wektor należący do przestrzeni {bbR}^3 (czyli trójwymiarowy) można przedstawić jako sumę wektorów tworzących – jakoby – bazę przemnożonych przez stałe. Można zapisać ten warunek jako:

{forall}under{vec{x}}{exists}under{{alpha_1},{alpha_2},{alpha_3}}vec{x}={alpha_1}vec{x_1}+{alpha_2}vec{x_2}+{alpha_3}vec{x_3}

Przechodząc na zapis ze współrzędnymi wektorów i z ich postacią kolumnową (wygodniejszą) ten warunek wyglądać będzie tak:

Kombinacja liniowa wektorówPo przemnożeniu przez stałe otrzymamy:

Kombinacja liniowa po przemnożeniu przez stałeA po dodaniu do siebie macierzy po prawej:

Kombinacja liniowa po dodaniu macierzyPowyższe równanie da nam układ równań:

Układ równań do kombinacjie liniowej wektorówZwróćmy uwagę, że ten układ ZAWSZE ma rozwiązanie, niezależnie od tego, ile są równe x,y,z bo wyznacznik główny układu (ze wzorów Cramera) jest różny od zera:

Wyznacznik główny układu równań liniowychZatem dla dowolnych x,y,z znajdą się takie {alpha_1},{alpha_2},{alpha_3}, że układ będzie miał rozwiązanie. Zatem dowolny wektor z przestrzeni liniowej {bbR}^3 można przedstawić jako kombinację liniową wektorów vec{x_1},vec{x_2},vec{x_3}.

Mamy więc odpowiedź. Wektory vec{x_1},vec{x_2},vec{x_3} tworzą bazę w przestrzeni liniowej {bbR}^3.

Przypomnijmy sobie polecenie:

Sprawdź, czy wektory: vec{x_1}=[1,0,3],vec{x_2}=[0,2,2],vec{x_3}=[1,-2,0] tworzą bazę w przestrzeni liniowej {bbR}^3, a jeśli tak, to przedstaw jako ich kombinację liniową wektor vec{a}=[10,2,4].

Czyli nasza misja nie jest skończona, trzeba jeszcze będzie wektor vec{a}=[10,2,4] przedstawić jako kombinację liniową wektorów vec{x_1}=[1,0,3],vec{x_2}=[0,2,2],vec{x_3}=[1,-2,0], czyli znaleźć takie stałe alpha_1,alpha_2,alpha_3, że:

Wektor z zadania jako kombinacja liniowa wektorówPo przemnożeniu przez stałe wektorów po prawej:

Kombinacja liniowa po przemnożeniu przez stałePo dodaniu wektorów po prawej:

Kombinacja liniowa wektorów po dodaniu wektorówCo można zapisać jako układ równań:

Układ równań do kombinacji liniowejTen układ rozwiązujemy – na przykład – wzorami Cramera i mamy wynik:

Rozwiązanie układu równań - obliczone stałeZatem nasz wektor przedstawiony jako kombinację liniową trzech wektorów można zapisać tak:

Odpowiedź - kombinacja liniowa wektorówI to jest nasza odpowiedź.

Zróbmy jeszcze przykład, w którym wektory NIE będą liniowo niezależne, co wykaże rząd macierzy.

Zadanie 2

Sprawdź, czy wektory: vec{x_1}=[4,-1,4],vec{x_2}=[3,2,5],vec{x_3}=[8,-2,8] tworzą bazę w przestrzeni liniowej {bbR}^3.
Aby sprawdzić liniową niezależność wektorów liczymy rząd odpowiedniej macierzy:

Rząd macierzy (wektory liniowo zależne)Liczymy, liczymy, liczymy i mamy wynik: 2. Zatem tylko 2 spośród tych 3 są liniowo niezależne. Czyli te 3 wektory jako całość nie są liniowo niezależne. Zatem nie tworzą bazy przestrzeni {bbR}^3. Sprawa zamknięta, piszemy odpowiedź.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, czym jest rząd macierzy (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak rząd macierzy można zastosować do zadań z układów równań liniowych (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. mstr pisze:

    W pierwszym przykładzie, pisze Pan:
    „Zwróćmy uwagę, że ten układ ZAWSZE ma rozwiązanie, niezależnie od tego, ile są równe x,y,z bo wyznacznik główny układu (ze wzorów Cramera) jest różny od zera:”
    Układ jest ten: https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2010/08/Eqn48.gif
    1 1 1
    2 -2 1
    3 2 1
    tak wg mnie powinien wygladać wyznacznik, a Pan liczy wyznacznik dla https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2010/08/Eqn49.gif
    Czy to błąd czy ja czegoś nie rozumiem?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jeżeli jakiejś zmiennej (na przykład {{\alpha }_{2}}w pierwszym równaniu) nie ma w ogóle w równaniu, przyjmujemy, że współczynnik liczbowy przy niej równy jest zero, dlatego jeśli równanie jest: {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{3}}=xto pierwszy wiersz w wyznaczniku głównym tego równania będzie równy 1 0 1 (bo nie ma w nim {{\alpha }_{2}}).

    2. annafrompoland pisze:

      Witam panie Krystianie, proszę mnie naprowadzić – nasz wykładowca mówi, że aby stwierdzić że wektory tworzą bazę wystarczy udowodnić JEDEN z tych warunków, czyli pokazać że są liniowo niezależne ALBO generują przestrzeń, Pan pisze natomiast że muszą spełniać oba a to istotna różnica. W \internecie można napotkać obie te opinie, nam wyraźnie powiedziano że wystarczy udowodnić np liniową niezależność. Proszę o odpowiedź.

    3. ignacy pisze:

      To co twój wykładowca mówił zachodzi, gdy liczba wektorów jest równa wymiarowi przestrzeni. W przeciwnym wypadku trzeba sprawdzić oba warunki.

      Definicja 4.8 i Twierdzenie 4.16)

  2. Marek pisze:

    Hej, Witam
    Bardzo dobry i jasny wykład.Myślę ze dobrym pomysłem było by napisanie takiego dobrego E booka z wykładami. Był by doskonałym uzupełnieniem istniejących kursów.
    No i E-booki nie są ograniczone ilością stron.
    Marek

  3. Maciej pisze:

    Witam, mam pytanie, w przypadku, gdy mamy taki przypadek

    x=(1,0,1) y=(1,2,2) i mamy sprawdzić czy układ jest bazą R^3 // z założenia raczej wychodzi, że baza jest trójwymiarowa, a my mamy tylko 2 wektory, więc na wstępie już widać, że są liniowo zależne i nie mogą być bazą.

    Ale, jak należałoby teraz postępować, aby dobrać wektor z, który spełniałby warunek liniowej niezależności ?

  4. Tomasz pisze:

    Panie Krystianie, znalazłem błąd rachunkowy. Wynikiem Y (alfa 2) nie jest 29, a 26, ponieważ wyznacznik macierzy Wy jest równy -52 a nie -58.
    Pozdrawiam

  5. agata123 pisze:

    Czy można sprawdzić czy wektory twarzą baze przestrzeni tworzac wyznacznik z wektorów, kolejne wektory zapisywać jako kolomnu macierzy, poziczyc wyznacznik, i jeśli det jesr rózny od zero to znaczy ze wektory tworzą baze?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak.

  6. Karolina pisze:

    Mogę prosić o szybką pomoc?
    1.Udowodnij, że podany zbiór jest przestrzenią liniową oraz określ wymiar i znajdź jej bazę:
    a){(x,y,z) należy do R^3 x+y+z=0}
    b){(x,y,z,t) należy do R^4 2x-3t=0, 3y+z=t, x-y=z}

  7. baza pisze:

    Wytłumaczone nieźle. Zastanawiam się tylko, po co znajdować bazę w ten sposób. Jak już udowodniliśmy liniową niezależność wektorów (zadanie 1) i dim(R3)=3, a wektory są 3, to to już jest koniec. Z definicji baza jest maksymalnym układem wektorów liniowo niezależnych danej przestrzeni liniowej. Skoro w przestrzeni trójwymiarowej znaleźliśmy trzy wektory liniowo niezależne, to wiadomo, że jest to maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych, więc jest bazą podanej przestrzeni.

  8. Magdalena pisze:

    Witam, proszę o rozwiązanie tego zadania:Macierz przejścia od bazy v' do bazy v ma postać (1 1, 2 1). Wektor x=[3,1]v' ma w bazie v współrzędne:A. [4,7] B.[-2,2] C[2,-5] D. Wymienione odpowiedzi są błędne 

  9. mtbchn pisze:

    Dzień dobry,Mam problem z układem równań, który liczę metodą Gaussa. Dochodzę do poniższego etapu i nie jestem w stanie dalej ruszyć. Mogę prosić o pomoc, jak doprowadzić macierz schodkową do końca? Z góry dziękuję. -1   1   2     2     4      90   5   3    -7    -6     -70   0  -1   -13   28     10   0   0   -61  130    80   0   0    28  -69   -13  

    1. mtbchn pisze:

      [/latex][/latex]A= \left[ \begin{array}{cccccc} -1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 9\\ 0 & 5 & 3 &-7 &-6 &-7\\ 0 & 0 &-1 &-13 & 28 & 1\\ 0 & 0 & 0 &-61 & 130 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 28 &-69 &-13 \end{array} \right] \q\quad

  10. mtbchn pisze:

    [tex][/latex][/latex]A= \left[ \begin{array}{cccccc} -1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 9\\ 0 & 5 & 3 &-7 &-6 &-7\\ 0 & 0 &-1 &-13 & 28 & 1\\ 0 & 0 & 0 &-61 & 130 & 8\\ 0 & 0 & 0 & 28 &-69 &-13 \end{array} \right] \q\quad[/tex]

  11. mtbchn pisze:

    Nieaktualne, już policzone 🙂

  12. Kasia24 pisze:

    Co się dzieje, kiedy wyznacznik jest równy zero?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wtedy wektory są liniowo zależne.