निश्चित इंटीग्रल पर कठिन समस्याओं में, हमेशा चौकस रहना अच्छा होता है – एक ऐसा काम जो बहुत मुश्किल लगता है, उसे मिडिल स्कूल के साधारण सूत्र से हल किया जा सकता है।
क्रांति की ठोस मात्रा पर समस्या
मान लीजिए हमें एक वक्र के घूर्णन से बनने वाले ठोस की मात्रा की गणना करनी है:
OX अक्ष के चारों ओर घूम रहा है (ठीक है, चलिए कहते हैं “घूर्णन हो रहा है”)। कुछ सुव्यवस्थित चालें जो हाई स्कूल से जानी जाती हैं…
…और हमें एहसास होता है कि हमारा वक्र बस एक छोटा सर्कल है जिसका केंद्र बिंदु (2,0) पर है और त्रिज्या 2 है। अब क्या? हम फॉर्मूला से y को निकालते हैं और निश्चित इंटीग्रल को आगे बढ़ाते हैं: 
?
समाधान
नहीं… चलो एक पल के लिए रुकें। गहरी सांस लें। सोचें। एक छोटी सी गोलाई… यह घूम रही है… इस तरह के घूर्णन से क्या बनेगा? स्पष्ट है, एक गोला। हमें मिडिल स्कूल से गोले की मात्रा का सूत्र पता है:
त्रिज्या हमें पहले से ही पता है (दो के बराबर है), यानी:
और यह रहा जवाब, बिना समाकलन को छुए 🙂
