Granice funkcji liczone twierdzeniem o trzech funkcjach [REMASTERED]

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Analogia z twierdzeniem o trzech ciągach

Odpowiednikiem twierdzenia z granic ciągów, zwanego “twierdzeniem o trzech ciągach” w granicach funkcji jest “twierdzenie o trzech funkcjach”. Leci ono zupełnie analogicznie: jeżeli mamy jakąś funkcję, ograniczoną z góry i z dołu przez jakieś inne funkcje (ograniczoną, tzn. że ich wartości są odpowiednio większe lub mniejsze od wartości tej funkcji) i te funkcje z góry i z dołu zbiegają do tej samej granicy w punkcie lub nieskończoności – to funkcja ta również zbiega do tej granicy w tym punkcie lub nieskończoności.

Zamotane? Dlatego właśnie wynaleziono zapis matematyczny, tam wygląda to prościej, spójrz:

Założenia:

W prostokąciku może być liczba, do której dążą x, albo nieskończoność z dowolnym znakiem.

Teza:

Pamiętamy z ciągów? Pamiętamy na pewno…:)

Jak liczy się więc granicę funkcji korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach?

Najpierw znajdujesz odpowiednie oszacowanie z góry i z dołu, później liczysz granice z tych oszacowań, pokazując, że są sobie równe i skończone, trzeba już tylko napisać ładną odpowiedź.

Przykład

Granice z sinusami i cosinusami szacujemy standardowo jedynką, korzystając z faktu, że cosinus/sinus czegokolwiek jest zawsze mniejszy lub równy od 1 i większy lub równy od -1. Prawdziwa jest więc nierówność:

czyli:

Teraz liczmy granice oszacowań z góry i z dołu (a właściwie nie liczymy, bo są bardzo proste…):

Wyszły takie same (i o to chodzi). Zatem piszemy już tylko odpowiedź:

Odp. Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:

P.S.

Poniżej, zmieniając “przybliżenie” (otoczenie punktu x_0 = 0 , czyli przy x\to 0 ) możecie sprawdzić, jak funkcje ograniczające x^2 ( 4-1 ) i x^2 ( 4+1 ) ograniczają wykres funkcji z przykładu, czyli x^2 ( 4+\cos\frac{1}{x} ) :