Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych?

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do wtedy, kiedy jej pochodna równa jest .

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje . Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje . Jakie mogą być to funkcje? Na przykład: . Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji też daje . Analogicznie:

$(1/3x^3+sqrt{2})prime=x^2$

i ogólnie:

– gdzie oznacza dowolną stałą.

W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji f(x) to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do f(x) wtedy, kiedy jej pochodna równa jest f(x) .

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji f(x) to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje f(x) . Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji x^2 nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje x^2 . Jakie mogą być to funkcje? Na przykład: 1/3x^3 . Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji 1/3x^3+2 też daje x^2 . Analogicznie:

(1/3x^3-4)prime=x^2

(1/3x^3-100)prime=x^2

$(1/3x^3+sqrt{2})prime=x^2$

i ogólnie:

(1/3x^3+C)prime=x^2 – gdzie oznacza dowolną stałą. Stąd więc:

$int{ }{ }{x^2dx}=1/3x^3+C$

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Stąd więc:

$int{ }{ }{x^2dx}=1/3x^3+C$

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Bestsellery w tym miesiącu

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Ewa pisze:

19 lutego 2013 o 21:21

Mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania C ? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  20 lutego 2013 o 13:49
  
  Witam. Interpretacja np. fizyczna stałej C była by taka:
  
  Pochodna oznacza prędkość.
  
  Cała to funkcja liczona z prędkości, jej wynikiem jest funkcja drogi względem czasu.
  
  Mając dany zapis “jak się zmieniała prędkość w czasie” możemy “zrekonstruować” jak się zmieniała droga w czasie. Nie możemy jednak dokładnie powiedzieć, gdzie był punkt początkowy tej drogi, gdzie ruch się rozpoczął.
  
  Stała C (dowolna) to właśnie ten punkt początkowy drogi. Obierając np. $C=10$ określamy, że przebyta droga rozpoczęła się dla wartości $s=10km$ (jeżeli liczymy w kilometrach).
  
  Polecam mój artykuł, gdzie wyjaśniam sprawy dokładniej:
  https://blog.etrapez.pl/calki-nieoznaczone/calki-nieoznaczone-wprowadzenie/
Ewa pisze:

19 lutego 2013 o 21:20

Ja mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:

10 lutego 2012 o 11:42

Po prostu zastosowałem elementarny wzór nr 16 z listy podstawowych wzorów na całki nieoznaczone:

Wzory na całki nieoznaczone

Jest on w Polsce używany o wiele częściej, niż ten z arcusem hiperbolicznym (który podpowiada np. Wolphram), o którym Pan pisze.

Odpowiedz
Tom pisze:

4 grudnia 2011 o 12:04

W tak prosty sposób wyjaśnione że dziecko z zerówki by to zrozumiało. Dzięki

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  5 grudnia 2011 o 09:18
  
  Nie ma sprawy 🙂

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz darmowe lekcje