DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych?

Krystian Karczyński

W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji f(x) to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do f(x) wtedy, kiedy jej pochodna równa jest f(x).

 

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji f(x) to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje f(x). Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji x^2 nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje x^2. Jakie mogą być to funkcje? Na przykład: 1/3x^3. Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji 1/3x^3+2 też daje x^2. Analogicznie:

(1/3x^3-4)prime=x^2

(1/3x^3-100)prime=x^2

(1/3x^3+sqrt{2})prime=x^2

i ogólnie:

(1/3x^3+C)prime=x^2 – gdzie C oznacza dowolną stałą. Stąd więc:

int{}{}{x^2dx}=1/3x^3+C

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Śmieszne pieniądze za porządny kurs, a wielu wykładowców tłumaczy bez pasji i nawet na konsultacjach im się nie chce dodatkowo tłumaczyć, a tutaj mogę kilka razy tego samego słuchać jak potrzebuje.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Tom pisze:

    W tak prosty sposób wyjaśnione że dziecko z zerówki by to zrozumiało. Dzięki

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy 🙂

  2. Artur pisze:

    Witam! Nie mogłem znaleźć bardziej odpowiedniego dzialu do mojego pytania.
    Chciałem poradzić się odnośnie zadania domowego, a mianowicie o jego część (przykład numer bodaj 10):
    int{}{}{-1/sqrt{x^2+3}}dx
    Napisał Pan w odpowiedziach, że jest to

    – ln |x+sqrt{x^2+3}| + C

    Nie rozumiem dlaczego tak jest? Czy odpowiedzią nie powinny być jakieś „cuda” z sinusem hiperbolicznym?
    Z góry dziękuję za odpowiedź i proszę o poprawienie formuły w razie czego.
    Pozdrawiam,
    Artur

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Po prostu zastosowałem elementarny wzór nr 16 z listy podstawowych wzorów na całki nieoznaczone:

      Wzory na całki nieoznaczone

      Jest on w Polsce używany o wiele częściej, niż ten z arcusem hiperbolicznym (który podpowiada np. Wolphram), o którym Pan pisze.

  3. Ewa pisze:

    Ja mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

  4. Ewa pisze:

    Mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania C ? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Interpretacja np. fizyczna stałej C była by taka:

      Pochodna oznacza prędkość.

      Cała to funkcja liczona z prędkości, jej wynikiem jest funkcja drogi względem czasu.

      Mając dany zapis „jak się zmieniała prędkość w czasie” możemy „zrekonstruować” jak się zmieniała droga w czasie. Nie możemy jednak dokładnie powiedzieć, gdzie był punkt początkowy tej drogi, gdzie ruch się rozpoczął.

      Stała C (dowolna) to właśnie ten punkt początkowy drogi. Obierając np. C=10określamy, że przebyta droga rozpoczęła się dla wartości s=10km(jeżeli liczymy w kilometrach).

      Polecam mój artykuł, gdzie wyjaśniam sprawy dokładniej:
      https://blog.etrapez.pl/calki-nieoznaczone/calki-nieoznaczone-wprowadzenie/