fbpx
blog

Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych? [REMASTERED]

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do wtedy, kiedy jej pochodna równa jest .

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje . Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje . Jakie mogą być to funkcje? Na przykład:  . Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji   też daje . Analogicznie:

i ogólnie:

– gdzie C oznacza dowolną stałą.

Stąd więc: 

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.


Skoro całka nieoznaczona to cała rodzina funkcji, mamy więc też całą rodzinę wykresów.

Poniżej kilka takich rodzin (całek nieoznaczonych), różniących się o stałą C, którą możesz poustalać sobie dowolnie. Zobacz, jak różnić się mogą ich wykresy.

https://www.wolframcloud.com/obj/609badb9-eb3f-4b78-901c-31d1ffddd35e

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Macierze

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Ewa pisze:

    Mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania C ? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Interpretacja np. fizyczna stałej C była by taka:

      Pochodna oznacza prędkość.

      Cała to funkcja liczona z prędkości, jej wynikiem jest funkcja drogi względem czasu.

      Mając dany zapis “jak się zmieniała prędkość w czasie” możemy “zrekonstruować” jak się zmieniała droga w czasie. Nie możemy jednak dokładnie powiedzieć, gdzie był punkt początkowy tej drogi, gdzie ruch się rozpoczął.

      Stała C (dowolna) to właśnie ten punkt początkowy drogi. Obierając np. C=10określamy, że przebyta droga rozpoczęła się dla wartości s=10km(jeżeli liczymy w kilometrach).

      Polecam mój artykuł, gdzie wyjaśniam sprawy dokładniej:
      https://blog.etrapez.pl/calki-nieoznaczone/calki-nieoznaczone-wprowadzenie/

  2. Ewa pisze:

    Ja mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

  3. Krystian Karczyński pisze:

    Po prostu zastosowałem elementarny wzór nr 16 z listy podstawowych wzorów na całki nieoznaczone:

    Wzory na całki nieoznaczone

    Jest on w Polsce używany o wiele częściej, niż ten z arcusem hiperbolicznym (który podpowiada np. Wolphram), o którym Pan pisze.

  4. Tom pisze:

    W tak prosty sposób wyjaśnione że dziecko z zerówki by to zrozumiało. Dzięki

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy 🙂