blog

Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych?

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji f(x) to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do f(x) wtedy, kiedy jej pochodna równa jest f(x).

 

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji f(x) to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje f(x). Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji x^2 nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje x^2. Jakie mogą być to funkcje? Na przykład: 1/3x^3. Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji 1/3x^3+2 też daje x^2. Analogicznie:

(1/3x^3-4)prime=x^2

(1/3x^3-100)prime=x^2

(1/3x^3+sqrt{2})prime=x^2

i ogólnie:

(1/3x^3+C)prime=x^2 – gdzie C oznacza dowolną stałą. Stąd więc:

int{}{}{x^2dx}=1/3x^3+C

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie byłem dobry z matmy a wybrałem się na studia inżynierskie, teraz zaczynam wszystko rozumieć. Jednak nauczyciel ma znaczenie!

Paweł

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Ewa pisze:

    Mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania C ? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Interpretacja np. fizyczna stałej C była by taka:

      Pochodna oznacza prędkość.

      Cała to funkcja liczona z prędkości, jej wynikiem jest funkcja drogi względem czasu.

      Mając dany zapis „jak się zmieniała prędkość w czasie” możemy „zrekonstruować” jak się zmieniała droga w czasie. Nie możemy jednak dokładnie powiedzieć, gdzie był punkt początkowy tej drogi, gdzie ruch się rozpoczął.

      Stała C (dowolna) to właśnie ten punkt początkowy drogi. Obierając np. C=10określamy, że przebyta droga rozpoczęła się dla wartości s=10km(jeżeli liczymy w kilometrach).

      Polecam mój artykuł, gdzie wyjaśniam sprawy dokładniej:
      https://blog.etrapez.pl/calki-nieoznaczone/calki-nieoznaczone-wprowadzenie/

  2. Ewa pisze:

    Ja mam takie pytanie egzaminacyjne. Jakie jest zastosowanie stalej calkowania? Nie jestem w stanie tego wymyslic. Prosze o pomoc.

  3. Artur pisze:

    Witam! Nie mogłem znaleźć bardziej odpowiedniego dzialu do mojego pytania.
    Chciałem poradzić się odnośnie zadania domowego, a mianowicie o jego część (przykład numer bodaj 10):
    int{}{}{-1/sqrt{x^2+3}}dx
    Napisał Pan w odpowiedziach, że jest to

    – ln |x+sqrt{x^2+3}| + C

    Nie rozumiem dlaczego tak jest? Czy odpowiedzią nie powinny być jakieś „cuda” z sinusem hiperbolicznym?
    Z góry dziękuję za odpowiedź i proszę o poprawienie formuły w razie czego.
    Pozdrawiam,
    Artur

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Po prostu zastosowałem elementarny wzór nr 16 z listy podstawowych wzorów na całki nieoznaczone:

      Wzory na całki nieoznaczone

      Jest on w Polsce używany o wiele częściej, niż ten z arcusem hiperbolicznym (który podpowiada np. Wolphram), o którym Pan pisze.

  4. Tom pisze:

    W tak prosty sposób wyjaśnione że dziecko z zerówki by to zrozumiało. Dzięki

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy 🙂