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Nachweis, dass sin(x) keinen Grenzwert erreicht, wenn x gegen Unendlich geht
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Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Wir haben den Grenzwert einer Funktion:
Intuitiv fühlen wir, dass der obige Grenzwert nicht existiert. Die x-Werte werden immer größer und größer, und die Sinuswerte “schwanken” ständig zwischen -1 und 1.
Formaler Beweis
Aber wie beweisen wir das formal?
Aus der Definition des Grenzwerts einer Funktion, wenn x gegen unendlich geht wissen wir, dass ein Grenzwert existiert, wenn für jede Folge von Argumenten der Funktion, die gegen
Um zu zeigen, dass ein solcher Grenzwert nicht existiert, genügt es, zwei beliebige Folgen von Argumenten zu nehmen, die gegen
Wir wissen, dass die Sinusfunktion periodisch ist, daher können diese Folgen beispielsweise sein:
Natürlich divergieren beide Folgen gegen unendlich, wenn
Schauen wir uns nun die Folgen von Funktionswerten an, die diesen Folgen entsprechen
Natürlich konvergiert die erste Folge gegen 0 und die zweite Folge gegen 1.
Das genügt, um zu beweisen, dass der Grenzwert der Funktion:
nicht existiert.
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