Rozkład na ułamki proste w całce nieoznaczonej, czyli po co komu komputery… (VIDEO)
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
W filmiku poniżej pokazuję pierwszy krok rozkładu na ułamki proste w pewnej całce nieoznaczonej (przesłanej mi przez p. Monikę na Facebooku).
Na tym przykładzie widać jak na dłoni, dlaczego komputery i obliczenia na nich zmienią zupełnie nauczanie matematyki (nie tylko na studiach). Pomędrkowałem trochę na ten temat w filmiku, posłuchajcie sami…
Skorzystaj już dzisiaj z mojego darmowego poradnika do WolframAlpha: WolframAlpha Praktyczny Poradnik
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Żeby tylko te “wolframy” nie ogłupiły i nie sprowadziły przyszłych inżynierów do “wyciągaj komórke poki facetka nie patrzy” 😉
Witam 🙂 mam problem z całką dx/x^4-4x^2 mianownik rozłożyłem na x^2(x-2)(x+2) I mam problem przy rozkładzie na ułamki proste…
1=a(x^4-4x^2)+B(x^3-4x)+C(x^4+2x^3)+D(x^4-2x^3)
Wszytko mpięknie gra tylko że nie mam ani jednego współczynnika bez x… I wychodzi mi równanie sprzeczne 1=0 :/
Witam 🙂
Coś tam nie halo poszło już na etapie rozkładu. Powinno być tak:
\int{\frac{dx}{{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}}}=
\frac{1}{{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)}=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}
\frac{1}{{{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{{{x}^{2}}}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}\quad /\cdot {{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)
1=Ax\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)+B\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)+C{{x}^{2}}\left( x+2 \right)+D{{x}^{2}}\left( x-2 \right)
1=Ax\left( {{x}^{2}}-4 \right)+B\left( {{x}^{2}}-4 \right)+C{{x}^{3}}+2C{{x}^{2}}+D{{x}^{3}}-2D{{x}^{2}}
1=A{{x}^{3}}-4Ax+B{{x}^{2}}-4B+C{{x}^{3}}+2C{{x}^{2}}+D{{x}^{3}}-2D{{x}^{2}}
I gładko wychodzimy na:
\{ \begin{matrix}
& 0=A+C+D \\
& 0=B+2C-2D \\
& 0=-4A \\
& 1=-4B \end{matrix}
Witam serdecznie;)
Mam problem z przykładem z zadania domowego z Całek Nieoznaczonych, próbowałam za t podstawić 4x^2+11, tak jak x^4 a także x^2, niestety to nic nie daje. Chodzi o zadanie 14;
(x^4)*sqrt(4*(x^2)+11)
Bardzo proszę Pana o pomoc.
Tam nie ma na początku {{x}^{4}}, tylko jest xpomnożone przez pierwiastek CZWARTEGO stopnia, czyli całka wygląda tak (inaczej zapisana):
\int{x\cdot \sqrt[4]{4{{x}^{2}}+11}dx}[/latex]
🙂
Mam taki problep z jedną całką, niby mi wychodzi ale wynik rózni sie od wyniku na wolframie i nie wiem gdzie popełniam błąd. zadanie to całka z pierwiastek9-x^2, doktor zaleca podstawienie x=3sint
Dzień dobry
Tak, w całkach typu \int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}podstawienie asin tto bardzo dobry pomysł.
W Pana konkretnym przykładzie zadziała to tak:
\int{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}=\left| \begin{matrix}
& x=3sin t\\
& dx=3cos tdt\end{matrix} \right|=\int{\sqrt{9-{{\left( 3sin t \right)}^{2}}}3cos tdt}
=3\int{\sqrt{9-9{{sin }^{2}}t}cos tdt}=3\int{\sqrt{9\left( 1-{{sin }^{2}}t \right)}cos tdt}=
=3\int{\sqrt{9}\sqrt{\left( {{cos }^{2}}t+{{sin }^{2}}t-{{sin }^{2}}t \right)}cos tdt}=3\int{3\sqrt{{{cos }^{2}}t}cos tdt}=
W tym momencie zadania zakładamy, że t\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right), a w tym przedziale \sqrt{{{cos }^{2}}t}=\left| cos t \right|=cos t
Czyli idąc dalej:
=3\int{3cos tcos tdt}=9\int{{{cos }^{2}}tdt}=
Teraz na boku możemy policzyć, że:
cos 2t={{cos }^{2}}t-{{sin }^{2}}t
cos 2t={{cos }^{2}}t-\left( 1-{{cos }^{2}}t \right)
cos 2t={{cos }^{2}}t-1+{{cos }^{2}}t
cos 2t+1=2{{cos }^{2}}t
{{cos }^{2}}t=\frac{1}{2}\left( cos 2t+1 \right)
Czyli:
9\int{{{cos }^{2}}tdt}=9\int{\frac{1}{2}\left( cos 2t+1 \right)dt}=\frac{9}{2}\int{cos 2tdt}+\frac{9}{2}\int{dt}=\frac{9}{4}sin 2t+\frac{9}{2}t+C=
Teraz trochę pomęczyć się trzeba z powrotem do zmiennej x(czy tu się Pan własnie “zaciął”?):
\frac{9}{4}sin 2t=\frac{9}{4}\cdot 2sin tcos t=\frac{1}{2}\cdot 3sin t\cdot 3cos t=\frac{1}{2}\cdot 3sin t\cdot \sqrt{9-{{\left( 3sin t \right)}^{2}}}
=\frac{1}{2}x\sqrt{9-{{x}^{2}}}
Oraz, skoro x=3sin t, to sin t=\frac{x}{3}, czyli t=arcsin \frac{x}{3}
Wynik końcowy będzie więc:
=\frac{9}{4}sin 2t+\frac{9}{2}t+C=\frac{1}{2}x\sqrt{9-{{x}^{2}}}+\frac{9}{2}arcsin \frac{x}{3}+C
-\frac{9}{2}\int{\frac{t^3}{\left(t^3+1right)^2}mbox{d}t}
\int{\frac{3}{2}t\cdotfrac{\left(-3t^2right)}{\left(t^3+1right)^2}mbox{d}t}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}-\frac{3}{2}\int{\frac{mbox{d}t}{t^3+1}}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}+\int{\frac{A}{t+1}mbox{d}t}+\int{\frac{Bt+C}{t^2-t+1}mbox{d}t}
A\left(t^2-t+1right)+B\left(t^2+tright)+C\left(t+1right)=-\frac{3}{2}
\begin{cases}A+B=0\-A+B+C=0\A+C=-\frac{3}{2}\end{cases}
\begin{cases}B=-A\-2A+C=0\2A+2C=-3end{cases}
\begin{cases}B=-A\A=\frac{1}{2}C\C=-1end{cases}
\begin{cases}B=\frac{1}{2}\A=-\frac{1}{2}\C=-1end{cases}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}\int{\frac{mbox{d}t}{t+1}}+\frac{1}{4}\int{\frac{2t-1-3}{t^2-t+1}mbox{d}t}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}ln{\\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}ln{\\left|t^2-t+1\right|}-\frac{3}{4}\int{\frac{mbox{d}t}{\left(t-\frac{1}{2}right)^2+\frac{3}{4}}}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}ln{\\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}ln{\\left|t^2-t+1\right|}-\int{\frac{mbox{d}t}{1+\left(frac{2t-1}{\sqrt{3}}right)^2}}
\frac{3}{2}\cdotfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}ln{\\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}ln{\\left|t^2-t+1\right|}-\frac{\sqrt{3}}{2}arctan{\left(frac{2t-1}{\sqrt{3}}right)}+C
Nie lepiej najpierw przez części zacząc liczyc