blog

Rozkład na ułamki proste w całce nieoznaczonej, czyli po co komu komputery… (VIDEO)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


W filmiku poniżej pokazuję pierwszy krok rozkładu na ułamki proste w pewnej całce nieoznaczonej (przesłanej mi przez p. Monikę na Facebooku).

Na tym przykładzie widać jak na dłoni, dlaczego komputery i obliczenia na nich zmienią zupełnie nauczanie matematyki (nie tylko na studiach). Pomędrkowałem trochę na ten temat w filmiku, posłuchajcie sami…

Skorzystaj już dzisiaj z mojego darmowego poradnika do WolframAlpha: WolframAlpha Praktyczny Poradnik

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. stexplained pisze:

    Żeby tylko te “wolframy” nie ogłupiły i nie sprowadziły przyszłych inżynierów do “wyciągaj komórke poki facetka nie patrzy” 😉

  2. Tomek pisze:

    Witam 🙂 mam problem z całką dx/x^4-4x^2 mianownik rozłożyłem na x^2(x-2)(x+2) I mam problem przy rozkładzie na ułamki proste…

    1=a(x^4-4x^2)+B(x^3-4x)+C(x^4+2x^3)+D(x^4-2x^3)

    Wszytko mpięknie gra tylko że nie mam ani jednego współczynnika bez x… I wychodzi mi równanie sprzeczne 1=0 :/

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam 🙂

      Coś tam nie halo poszło już na etapie rozkładu. Powinno być tak:

      \int{\frac{dx}{{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}}}=

      \frac{1}{{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4 \right)}=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}

      \frac{1}{{{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{{{x}^{2}}}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}\quad /\cdot {{x}^{2}}\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)

      1=Ax\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)+B\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)+C{{x}^{2}}\left( x+2 \right)+D{{x}^{2}}\left( x-2 \right)

      1=Ax\left( {{x}^{2}}-4 \right)+B\left( {{x}^{2}}-4 \right)+C{{x}^{3}}+2C{{x}^{2}}+D{{x}^{3}}-2D{{x}^{2}}

      1=A{{x}^{3}}-4Ax+B{{x}^{2}}-4B+C{{x}^{3}}+2C{{x}^{2}}+D{{x}^{3}}-2D{{x}^{2}}

      I gładko wychodzimy na:

      \left\{ \begin{matrix}
      & 0=A+C+D \\
      & 0=B+2C-2D \\
      & 0=-4A \\
      & 1=-4B \\
      \end{matrix} \right.

  3. Paula pisze:

    Witam serdecznie;)
    Mam problem z przykładem z zadania domowego z Całek Nieoznaczonych, próbowałam za t podstawić 4x^2+11, tak jak x^4 a także x^2, niestety to nic nie daje. Chodzi o zadanie 14;
    (x^4)*sqrt(4*(x^2)+11)
    Bardzo proszę Pana o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tam nie ma na początku {{x}^{4}}, tylko jest xpomnożone przez pierwiastek CZWARTEGO stopnia, czyli całka wygląda tak (inaczej zapisana):

      \int{x\cdot \sqrt[4]{4{{x}^{2}}+11}dx}

      🙂

  4. Bugii pisze:

    Mam taki problep z jedną całką, niby mi wychodzi ale wynik rózni sie od wyniku na wolframie i nie wiem gdzie popełniam błąd. zadanie to całka z pierwiastek9-x^2, doktor zaleca podstawienie x=3sint

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      Tak, w całkach typu \int{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}podstawienie a\sin tto bardzo dobry pomysł.

      W Pana konkretnym przykładzie zadziała to tak:

      \int{\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}=\left| \begin{matrix}
      & x=3\sin t\\
      & dx=3\cos tdt\\
      \end{matrix} \right|=\int{\sqrt{9-{{\left( 3\sin t \right)}^{2}}}3\cos tdt}

      =3\int{\sqrt{9-9{{\sin }^{2}}t}\cos tdt}=3\int{\sqrt{9\left( 1-{{\sin }^{2}}t \right)}\cos tdt}=

      =3\int{\sqrt{9}\sqrt{\left( {{\cos }^{2}}t+{{\sin }^{2}}t-{{\sin }^{2}}t \right)}\cos tdt}=3\int{3\sqrt{{{\cos }^{2}}t}\cos tdt}=

      W tym momencie zadania zakładamy, że t\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right), a w tym przedziale \sqrt{{{\cos }^{2}}t}=\left| \cos t \right|=\cos t

      Czyli idąc dalej:

      =3\int{3\cos t\cos tdt}=9\int{{{\cos }^{2}}tdt}=
      Teraz na boku możemy policzyć, że:

      \cos 2t={{\cos }^{2}}t-{{\sin }^{2}}t

      \cos 2t={{\cos }^{2}}t-\left( 1-{{\cos }^{2}}t \right)

      \cos 2t={{\cos }^{2}}t-1+{{\cos }^{2}}t

      \cos 2t+1=2{{\cos }^{2}}t

      {{\cos }^{2}}t=\frac{1}{2}\left( \cos 2t+1 \right)

      Czyli:

      9\int{{{\cos }^{2}}tdt}=9\int{\frac{1}{2}\left( \cos 2t+1 \right)dt}=\frac{9}{2}\int{\cos 2tdt}+\frac{9}{2}\int{dt}=\frac{9}{4}\sin 2t+\frac{9}{2}t+C=

      Teraz trochę pomęczyć się trzeba z powrotem do zmiennej x(czy tu się Pan własnie “zaciął”?):

      \frac{9}{4}\sin 2t=\frac{9}{4}\cdot 2\sin t\cos t=\frac{1}{2}\cdot 3\sin t\cdot 3\cos t=\frac{1}{2}\cdot 3\sin t\cdot \sqrt{9-{{\left( 3\sin t \right)}^{2}}}

      =\frac{1}{2}x\sqrt{9-{{x}^{2}}}

      Oraz, skoro x=3\sin t, to \sin t=\frac{x}{3}, czyli t=\arcsin \frac{x}{3}
      Wynik końcowy będzie więc:

      =\frac{9}{4}\sin 2t+\frac{9}{2}t+C=\frac{1}{2}x\sqrt{9-{{x}^{2}}}+\frac{9}{2}\arcsin \frac{x}{3}+C

  5. Mariusz pisze:

    [latex] -\frac{9}{2}\int{\frac{t^3}{\left(t^3+1\right)^2}\mbox{d}t}[/latex]
    [latex] \int{\frac{3}{2}t\cdo\tfrac{\left(-3t^2\right)}{\left(t^3+1\right)^2}\mbox{d}t}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}-\frac{3}{2}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^3+1}}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}+\int{\frac{A}{t+1}\mbox{d}t}+\int{\frac{Bt+C}{t^2-t+1}\mbox{d}t}[/latex]
    [latex] A\left(t^2-t+1\right)+B\left(t^2+t\right)+C\left(t+1\right)=-\frac{3}{2}[/latex]
    [latex] \begin{cases}A+B=0\\-A+B+C=0\\A+C=-\frac{3}{2}\end{cases}[/latex]
    [latex] \begin{cases}B=-A\\-2A+C=0\\2A+2C=-3\end{cases}[/latex]
    [latex] \begin{cases}B=-A\\A=\frac{1}{2}C\\C=-1\end{cases}[/latex]
    [latex] \begin{cases}B=\frac{1}{2}\\A=-\frac{1}{2}\\C=-1\end{cases}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}t}{t+1}}+\frac{1}{4}\int{\frac{2t-1-3}{t^2-t+1}\mbox{d}t}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}\ln{\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}\ln{\left|t^2-t+1\right|}-\frac{3}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}\ln{\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}\ln{\left|t^2-t+1\right|}-\int{\frac{\mbox{d}t}{1+\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2}}[/latex]
    [latex] \frac{3}{2}\cdo\tfrac{t}{t^3+1}-\frac{1}{2}\ln{\left|t+1\right|}+\frac{1}{4}\ln{\left|t^2-t+1\right|}-\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan{\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)}+C[/latex]

  6. Mariusz pisze:

    Nie lepiej najpierw przez części zacząc liczyc