Currently Empty: zł0.00
Krystian Karczyński- 22 lutego 2012
- Comment 9
Powiedzmy, że do policzenia mamy objętość elipsoidy:
Jest to elipsoida, która przecina osie x,y,z we współrzędnych odpowiednio: 2, 
i 3 (równanie ogólne elipsoidy to: 
, gdzie a,b, c to współrzędne przecięcia).
Nie jest to elipsoida obrotowa, nie powstaje przez obrót jakiejkolwiek krzywej wokół jakiejkolwiek osi, nie poradzimy sobie standardowym wzorem na objętość bryły obrotowej:
Trzeba kombinować inaczej.
1. Obieramy dowolny punkt M(z) w środku elipsoidy i na osi OZ.
Płaszczyzna przechodząca przez ten punkt i prostopadła do osi OZ „wycina” nam z elipsoidy pewną elipsę:
2. Wyznaczamy równanie rzutu „wykrojonej” elipsy na płaszczyznę XY
Równanie tej elipsy, dla ustalonego 'z’ (traktujemy 'z’ jak stałą) wyznaczamy z równania ogólnego elipsoidy:
Widać, że nasze 'a’ i 'b’ z równania ogólnego elipsoidy (
), to:
4. Obliczamy pole tego przekroju w zależności od zmiennej 'z’
Pole tej elipsy wyjdzie zależne od obranego punktu 'z’, czyli będzie to jakby funkcja zmiennej 'z’. Obliczymy je albo z gotowego wzoru na pole elipsy (
):
Albo licząc pracowicie odpowiednią całkę oznaczoną (wykorzystując oczywiście postać parametryczną elipsy i wzór na pole obszaru w postaci parametrycznej):
5. Liczymy objętość bryły przy pomocy pól przekrojów
Teraz trudny moment. Objętość bryły równa jest – to trochę nieładnie zabrzmi – „sumie” (czyli całce) wszystkich przekrojów, czyli ogólnie:
gdzie 
to funkcja pól przekrojów bryły płaszczyzną prostopadłą do osi OZ, a 'a’ i 'b’ to granice, w których zmienia się 'z’.
Czyli u nas:
=(liczymy, liczymy, liczymy…)= 
Co się zgadza z ogólnym wzorem na elipsoidę (
).
KONIEC
Warto zapamiętać ten ogólny schemat i przede wszystkim to, że objętość trudniejszych, nie-obrotowych brył można policzyć całkując funkcję ich pól przekrojów.
ana
Po co tak kombinować z objętością elipsoidy??? Przecież objętość najłatwiej policzyć jako całkę potrójną z jedynki, zamieniając zmienne w taki sposób, aby otrzymać całkę, która będzie równa objętości kuli.
Piotrek
Witam,
mam za zadanie wyznaczyć wierzchołek paraboloidy. Uważam, że dwie elipsy jednoznacznie wyznaczą mi kształt paraboloidy. Środki ciężkości obu elips leżą na jednej prostej (nie w tych samych płaszczyznach).
Bardzo prosiłbym o pomysły rozwiązania takiego zagadnienia.
Piotrek
Wyznaczą kształt elipsoidy a nie paraboloidy. Należy dodać, że środek elipsoidy nie znajduje się pomiędzy elipsami. dane to wymiary elips oraz odległość miedzy nimi.
Krystian Karczyński
Nie jestem dobry z geometrii wykreślnej, przykro mi…
Monika
Niestety ale gubie sie w obliczeniach jestem przyzwyczajona ze promien przyjmuje wartosci liczbowe i cos mi sie nie zgadza. Czy da Pan rade to rozwiązać z komentarzami co i jak się robi?
Monika
Witam, nie mogę sobie poradzić z pewnym poleceniem. Proszę o pomoc gdyż niedługo mam egzamin z analizy a chcę to dobrze zrozumieć. Polecenie brzmi : Oblicz objętość brył ograniczonej powierzchniami x^2+y^2=hz,z=h. Jak się do tego zabrać bardzo mi na tym zależy.
Krystian Karczyński
To będzie paraboloida ograniczona z góry płaszczyzną. Zacząć trzeba oczywiście od rysunku.
Równanie jej rzutu na płaszczyznę XoY to będzie: x^2+y^2=h^2, czyli swojskie kółeczko o promieniu h.
Dalej wszystko ładnie się składa (trzeba przejść na współrzędne biegunowe).
Marcin Kiełbowicz
Magluję właśnie w tym temacie Chata GPT odkąd nauczył się całkować. Moja zawodna pamięć mówi mi że na piątkę z ćwiczeń z matematyki miałem za zadanie obliczyć objętość elipsoidy trójosiowej za pomocą całki potrójnej. Udało mi się to za drugim podejściem. I w tym punkcie wychodzi zawodność mojej pamięci: byłem pewien, że rozwiązałem tą całkę pozostając przy współrzędnych kartezjańskich, nie korzystając z tablic znych całek i używając jedynie podstawowych metod całkowania (a już całkowanie przez części było dla mnie trudne). Ale teraz jak próbuję sobie przypomnieć to rozwiązanie z pomocą AI, wydaje się ono być z pogranicza niemożliwego i niewyobrażalnie trudnego. ChatGPT systematycznie ignoruje moje wytyczne i korzysta ze współrzędnych biegunowych i znanej całki. Jak to jest w rzeczywistości? Da się bez?
Krystian Karczyński
Da się, w tym poście właśnie to zrobiłem 🙂