blog

Całki oznaczone liczone względem zmiennej y

Krystian Karczyński

 

 

Całki oznaczone można liczyć zarówno względem zmiennej x, jaki i zmiennej y, a nawet powinno się, o ile jest wygodniej. Odgrywa to często dużą rolę w zastosowaniach całek, takich jak: obliczanie pól obszarów, długości łuków, objętości i pola powierzchni pól obrotowych. Często zresztą nie mamy nawet wyboru, bo w warunkach zadania jest określone, że krzywa kręci się wokół osi OY, a nie OX.

 

 

Jak to zrobić?

Przede wszystkim należy w tym celu wykonać rysunek i zaznaczyć na nim pole/długość łuku/objętość, które mamy policzyć. Bez tego nie ruszymy.

Po drugie należy wyznaczyć granice całkowania na osi OY (analogicznie, jak to się robiło na osi OX).

Teraz wystarczy już tylko krzywe ograniczające dane (na ogół) zmienną x wyznaczyć przy pomocy zmiennej y, np. mając krzywą y=x^2, wyznaczamy z niej x i otrzymujemy w ten sposób dwie funkcje zmiennej y: x=sqrt{y} i x=-sqrt{y}.

Potem tworzymy już tylko odpowiednią całkę z granicami całkowania na osi OY i funkcjami zmiennych y, np. w polu obszaru była by to:

int{a}{b}{(g(y)-f(y))dy}

Jeszcze raz powtórzę, że podstawa to czytelny, duży wykres!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Qualasz pisze:

    y=x^2
    x=x^(1/2) v x=-x^(1/2)
    chyba nie do końca o to chodziło…

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, bez sensu wyszło, poprawiłem, dzięki wielkie za zwrócenie uwagi!

    2. Robert pisze:

      Na politechnice Wrocławskiej często zabraniają tak liczyć, karzą stosować osobne wzory na objętość i pole w okół osi OY

    3. Asia pisze:

      „każa” bo kazać, Robercie z politechniki Wrocławskiej 😛

  2. Student pisze:

    Mam pytanie w sprawie zadania nr 3 z części drugiej, w którym należy obliczyć długość łuków krzywych (całki oznaczone). Otóż w odpowiedzi jest 14/3 a wynik wychodzi mi dwukrotnie większy. Coś pomyliłem, czy błąd w odpowiedzi?

    1. etrapez pisze:

      Jest błąd w odpowiedzi, powinno być 28/3. Przepraszam!