blog

Całki oznaczone liczone względem zmiennej y

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Całki oznaczone można liczyć zarówno względem zmiennej x, jaki i zmiennej y, a nawet powinno się, o ile jest wygodniej. Odgrywa to często dużą rolę w zastosowaniach całek, takich jak: obliczanie pól obszarów, długości łuków, objętości i pola powierzchni pól obrotowych. Często zresztą nie mamy nawet wyboru, bo w warunkach zadania jest określone, że krzywa kręci się wokół osi OY, a nie OX.

Jak to zrobić?

Przede wszystkim należy w tym celu wykonać rysunek i zaznaczyć na nim pole/długość łuku/objętość, które mamy policzyć. Bez tego nie ruszymy.

Po drugie należy wyznaczyć granice całkowania na osi OY (analogicznie, jak to się robiło na osi OX).

Teraz wystarczy już tylko krzywe ograniczające dane (na ogół) zmienną x wyznaczyć przy pomocy zmiennej y, np. mając krzywą , wyznaczamy z niej “x” i otrzymujemy w ten sposób dwie funkcje zmiennej y: i .

Potem tworzymy już tylko odpowiednią całkę z granicami całkowania na osi OY i funkcjami zmiennych y, np. w polu obszaru była by to:

Jeszcze raz powtórzę, że podstawa to czytelny, duży wykres!

Bestsellery

Kurs Granice

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

49,00 

Kurs Macierze

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

49,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

49,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

49,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.



  1. Student pisze:

    Mam pytanie w sprawie zadania nr 3 z części drugiej, w którym należy obliczyć długość łuków krzywych (całki oznaczone). Otóż w odpowiedzi jest 14/3 a wynik wychodzi mi dwukrotnie większy. Coś pomyliłem, czy błąd w odpowiedzi?

    1. etrapez pisze:

      Jest błąd w odpowiedzi, powinno być 28/3. Przepraszam!

  2. Qualasz pisze:

    y=x^2
    x=x^(1/2) v x=-x^(1/2)
    chyba nie do końca o to chodziło…

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, bez sensu wyszło, poprawiłem, dzięki wielkie za zwrócenie uwagi!

    2. Robert pisze:

      Na politechnice Wrocławskiej często zabraniają tak liczyć, karzą stosować osobne wzory na objętość i pole w okół osi OY

    3. Asia pisze:

      “każa” bo kazać, Robercie z politechniki Wrocławskiej 😛