القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة

---

المتجهات والقيم الذاتية – يعني إيه ده؟

القيم والمتجهات الذاتية للمصفوفات تظهر (أو ما تظهرش) في الجامعة كامتداد لموضوع المصفوفات. ما كنتش حاطتهم في دورتي، عشان كده اللي مهتم بالموضوع ده البوست ده ممكن يفيده جدًا.

إيه اللي لازم تعرفه قبل كده؟

• المصفوفات
• المعادلات الكثيرات الحدود من المتوسطة (غالبًا بس الدرجة التانية والتالتة)

حساب القيم والمتجهات الذاتية خطوة بخطوة

1. في البداية عندك مصفوفة مربعة فقط، يلا نقول A. وبس.
2. بتحسب المصفوفة {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I حيث \lambda دي رقم، وهي مجهولة, و I دي المصفوفة الوحدة (يعني مربعة اللي عندها واحدات على القطر والباقي كله أصفار).
3. بتحسب محدد المصفوفة {{A}_{\lambda }}.
4. المحدد ده بقى يسمى المعادلة الخصائصية للمصفوفة. تعادله بصفر وتحسب جذوره. الجذور دي هي بالظبط القيم الذاتية للمصفوفة. تعلمهم {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
5. الجذور دي بتحطها واحدة واحدة في المعادلة: {{A}_{\lambda }}X=0، حيث X هو متجه مجهول (يعني مصفوفة عمود واحد). بتحل المعادلة دي. الحل هيكون مجموعة من المتجهات X، كل واحد فيهم ممكن تسميه متجه ذاتي.

مثال 1 (باستخدام مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية)

احسب المتجهات والقيم الذاتية للمصفوفة A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

هنحل المسألة خطوة بخطوة زي المخطط اللي فوق.

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5

4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
القيم الذاتية للمصفوفة هي: -1 و 5.

5.

المتجهات الذاتية لـ {{\lambda }_{1}}=-1

لـ {{\lambda }_{1}}=-1:

{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]

إذًا (بعد ضرب المصفوفات على اليسار ومقارنتها بالعنصر المناسب من المصفوفة على اليمين):
\left\{ \begin{matrix}& 4x+2y=0\\& 4x+2y=0\\\end{matrix} \right.

وبالتالي يجب أن تكون العلاقة:
4x+2y=0

هذا المعادلة لها عدد لا نهائي من الأزواج x و y، وبالتالي لها عدد لا نهائي من الحلول.

وبالتالي، عدد المتجهات الذاتية لـ القيمة الذاتية {{\lambda }_{1}}=-1 لا نهائي.

على سبيل المثال، إذا افترضنا x=1 نحصل على 4\cdot 1+2y=0، أي y=-2.

مثال على متجه ذاتي هو:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

بشكل عام، المتجهات الذاتية ستكون لها الإحداثيات:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

لأنه من العلا قة 4x+2y=0 يمكن حساب أن y=-2x.

المتجهات الذاتية لـ {{\lambda }_{2}}=5

لـ {{\lambda }_{2}}=5:

{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]

الآن (مرة أخرى بعد ضرب المصفوفات على اليسار ومقارنتها بالعنصر المناسب من المصفوفة على اليمين):
\left\{ \begin{matrix}& -2x+2y=0\\& 4x-4y=0\\\end{matrix} \right.

النظام – كالعادة هنا – غير محدد (له عدد لا نهائي من الحلول)، لكن لدينا العلاقة:

-2x+2y=0 x=y

هذا المعادلة تنطبق على عدد لا نهائي من الأزواج حيث x=y، وبالتالي لها عدد لا نهائي من الحلول.

وبالتالي، عدد المتجهات الذاتية لـ القيمة الذاتية {{\lambda }_{2}}=5 لا نهائي وبشكل عام لها الصيغة:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

على سبيل المثال، إذا افترضنا x=1 نحصل على متجه ذاتي:

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right ]

مثال 2 (باستخدام مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة)

احسب المتجهات والقيم الذاتية للمصفوفة A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

سأحل المهمة خطوة بخطوة وفقًا لنفس النظام.

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]

3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

أحسب باستخدام قاعدة ساروس وأحصل على:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22

4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

الآن أستخدم حيلة تجميع العبارات (كما في المدرسة الثانوية):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0

\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

إذن:

{{\lambda }^{2}}+11=0 أو -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 ليس لها حلول في الأعداد الحقيقية (لكن إذا كان أستاذك يطلب حساب القيم الذاتية أيضًا في الأعداد المركبة، فإنك هنا ستحصل بالطبع على جذرين – أعداد مركبة).

-\lambda +2 = 0 \lambda = 2

القيمة الذاتية (في الأعداد الحقيقية) للمصفوفة هي: 2.

5.

المتجهات الذاتية لـ {{\lambda }}=2

لـ \lambda=2:

\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]

من هنا (بعد ضرب المصفوفات على اليسار ومقارنتها بالعنصر المناسب من المصفوفة على اليمين):

\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.

تذكر أنه دائمًا ما يكون لدينا نظام غير محدد بعدد لا نهائي من الحلول. لحله، يمكنك استخدام نظرية كرونيكر-كابيلي، لكن هذا النظام بسيط بشكل خاص.

مع الأخذ في الاعتبار أن لدينا من البداية y=0 لدينا من الصيغتين الأخريين:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

ومن هذه المعادلات نحصل على العلاقة z=-x.

وبالتالي، المتجهات الذاتية للقيمة الذاتية \lambda=2 لا نهائية ويمكن وصفها بالعلاقة:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

مثال على المتجه الذاتي يمكن أن يكون:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

كيف تحسب المتجهات والقيم الذاتية في WolframAlpha؟

إذا كنت تحتاج فقط إلى الحلول الجاهزة، أو ترغب في التحقق من نتيجتك، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت Wolfram. اذهب إلى الموقع:

www.wolframalpha.com

ثم أدخل في محرك البحث المصفوفة التي تريد حساب قيمها ومتجهاتها الذاتية بالطريقة التالية:

{{عناصر الصف الأول مفصولة بفواصل},{عناصر الصف الثاني مفصولة بفواصل},…}

على سبيل المثال:

ثم ببساطة اضغط على ENTER للتأكيد.

المتعدد حدود الخصائصي – يمكنك قراءته من خانة Characteristic polynomial

القيم الذاتية – يمكنك قراءتها من خانة Eigenvalues

المتجهات الذاتية – يمكنك قراءتها من خانة Eigenvectors

فيديو

في منشور آخر قمت أيضًا بتسجيل فيديو أوضح فيه كيفية حساب القيم والمتجهات الذاتية على 3 أمثلة، أدعوك لمشاهدته:

القيم والمتجهات الذاتية – 3 أمثلة فيديو

شكرًا

آمل أن تكو ن قد وجدت هذا المنشور مفيدًا وأنك بعد قراءته وتجربة بعض الأمثلة لن تواجه مشاكل في حساب القيم والمتجهات الذاتية في دراستك.

إذا كان لديك أي شكوك، أو أمثلة لا تفهمها – أخبرني في التعليقات أسفل المنشور.