حجم الجسم الدوراني – مسألة بخدعة

Krystian Karczyński

مؤسس ورئيس موقع eTrapez.

حاصل على درجة الماجستير في الرياضيات من الجامعة التقنية في بوزنان (بولندا). معلم خصوصي للرياضيات بخبرة عديدة سنوات. مبتكر أول دورات eTrapez، التي حققت شعبية كبيرة بين الطلاب في جميع أنحاء بولندا.

يعيش في شتشيتسين (بولندا). يحب النزهات في الغابة، الاستجمام على الشاطئ، وركوب الكاياك.

في المسائل الأصعب عن التكاملات المحددة، من الجيد دائمًا أن تظل متيقظًا – يمكن حل مسألة تبدو صعبة للغاية بصيغة بسيطة من المدرسة المتوسطة.

مسألة عن حجم جسم دوراني

لنقل إن علينا حساب حجم الجسم الناتج عن دوران منحنى:

يدور (حسنًا، لنقل “يتحرك دورانيًا”) حول محور OX. بعض الحركات المنظمة المعروفة من المدرسة الثانوية…

…وندرك أن منحنانا ما هو إلا دائرة بمركز في النقطة (2,0) وبنصف قطر 2. ماذا الآن؟ نستخلص y من الصيغة وندفع بالتكامل المحدد: ?

الحل

لا… دعونا نتوقف للحظة. لنتنفس الهواء. فلنفكر. دائرة صغيرة… تدور… ما الذي سينتج عن هذا الدوران؟ بالطبع، ستكون كرة. نعرف صيغة حجم الكرة من المدرسة المتوسطة:

نعرف النصف قطر بالفعل (يساوي اثنين)، وهذا يعني:

وهكذا لدينا الإجابة، دون حتى أن نلمس التكاملات 🙂