Całki oznaczone liczone względem zmiennej y

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Całki oznaczone można liczyć zarówno względem zmiennej x, jaki i zmiennej y, a nawet powinno się, o ile jest wygodniej. Odgrywa to często dużą rolę w zastosowaniach całek, takich jak: obliczanie pól obszarów, długości łuków, objętości i pola powierzchni pól obrotowych. Często zresztą nie mamy nawet wyboru, bo w warunkach zadania jest określone, że krzywa kręci się wokół osi OY, a nie OX.

Jak to zrobić?

Przede wszystkim należy w tym celu wykonać rysunek i zaznaczyć na nim pole/długość łuku/objętość, które mamy policzyć. Bez tego nie ruszymy.

Po drugie należy wyznaczyć granice całkowania na osi OY (analogicznie, jak to się robiło na osi OX).

Teraz wystarczy już tylko krzywe ograniczające dane (na ogół) zmienną x wyznaczyć przy pomocy zmiennej y, np. mając krzywą , wyznaczamy z niej “x” i otrzymujemy w ten sposób dwie funkcje zmiennej y: i .

Potem tworzymy już tylko odpowiednią całkę z granicami całkowania na osi OY i funkcjami zmiennych y, np. w polu obszaru była by to:

Jeszcze raz powtórzę, że podstawa to czytelny, duży wykres!