Potrzeba rozwiązywania układów równań dla coraz większej liczby równań i niewiadomych wymusiła właściwie rozwój badań nad macierzami jako takimi i to już w starożytnym Babilonie i Chinach.
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Rozwiązać układ równań liniowych możemy równie dobrze:
– metodą Cramera w połączeniu z tw. Kroneckera – Capellego
– metodą Gaussa
Muszę powiedzieć, że metoda Gaussa ma zdecydowaną przewagę. Nie tyle ze względu na jej uniwersalność (Cramerem i Kroneckerem-Capellim również rozprawisz się z każdym układem), ale ze względu na łatwość (względną) obliczeń. Nie wymaga ona liczenia wyznaczników, co w przypadku układów np. 10 równań i 12 niewiadomych nabiera znaczenia…
Dlatego naprawdę polecam Gaussa!
15 Komentarzy
Kris
Witam, czy jest możliwe żeby po rozwiązaniu układu równań twierdzeniem Kroneckera-Capellego i metodą Gaussa przedstawioną przez Pana wyszły inne wyniki?
Układ równań:
2x-y+z=3
x+4z=-1
4x-y+3z=1
wyznacznik z macierzy A = -6
rząd macierzy A to wg wykładowcy 2
macierz A|B czyli uzupełniona przez dodanie kolumny wyrazów wolnych po prawej stronie i jej rząd równy 3,
układ niby ma wiele rozwiązań a rozwiązując metodą Gaussa wychodzą mi rozwiązania. Proszę o wytłumaczenie 🙂
Romek
Czy da się wyliczyć takie zadanie metodą Gaussa – równania nie posiadają jedynki, na podstawie której mógłbym „zerować” kolumny do macierzy schodkowej.
6x + 5y = 1
3x + 2y + 9z + 6w = 4
5x + 4y + 3z − 4w = 2
4x + 3y + 6z − 4w = 3
Krystian Karczyński
Pewnie, że się da. Niech Pan np. przemnoży czwarty wiersz przez -1i doda do trzeciego i już mamy jedynkę.
No i trzeba pamiętać, że „zerować” w ogóle nie trzeba jedynką…
Romek
Rzeczywiście – ma Pan rację. Chodziło mi oczywiście o takie rozwiązanie, dzięki któremu nie będę musiał uciekać w ułamki.
Na tym konkretnym przykładzie zrozumiałem sposób postępowania.
Ogromne dzięki 🙂
Daniel
A czy ten przykład powyżej da radę rozwiązać inaczej niż z Gaussa? Mam coś do rozwiązania, i faktycznie Gaussem bym to zrobił. Tylko że na zajęciach przerobiliśmy dopiero Cramera i Kroneckera…..
Krystian Karczyński
Pewnie, że się da 🙂
Daniel
A mniej więcej jak by to było? Jak policzyłem rząd R(A) i R(U) to oba wyszły 3. Wyznacznik macierzy czwartego stopnia wynosi zero. Natomiast są niezerowe wyznaczniki 3 ego stopnia, jak wykreśliłem trzeci wiersz i trzecią kolumnę. Tylko nie wiem dlaczego miałbym wykreślić trzeci wiersz i pozbyć się niewiadomej z.. Wyszło mi x=6, y=-7 a „z”i „w” 0. Ale nie wiem czy mógłbym pozbyć się trzeciego wiersza i trzeciej kolumny. A jezeli tak to dlaczego? Bez tego wiersza i kolumy bardzo ładnie wychodzi x,y,z,w z Cramera.
Pozdrawiam
Krystian Karczyński
Policzyłem ten przykład tutaj:
https://blog.etrapez.pl/macierze/rzad-macierzy-w-twierdzeniu-kroneckera-capellego/#comment-2710
Zapraszam 🙂
Malwina
Zadanie z egzaminu: w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego oraz wzory cramera rozwiazać układ równań:
3x-4y+z+3t=2
-6x+8y+3z-6t=3
Bardzo bym prosiła o pomoc w dalszym rozwiązaniu. Wyliczyłam rzędy -rząd macierzy głównej =rzędowi macierzy uzupełnionej=2 liczba niewiadomych n=4, czyli mamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 2 parametrów, tak? i jaki jest kolejny krok? mogę prosić o dokończenie zadania?
Krystian Karczyński
Tak, dokładnie, nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.
Niech Pani zerknie na mój „Wykład” na blogu:
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Tam napisane jest, co trzeba robić ogólnie.
A w pani konkretnym przykładzie, bierzemy macierz główną:
\left[ \begin{matrix}
3 & -4 & 1 & 3 \\
-6 & 8 & 3 & -6 \end{matrix} \right]
Szukamy w niej byle jakiego wyznacznika stopnia 2 (bo taki jest rząd macierzy głównej i uzupełnionej). Może to być na przykład wyznacznik ze współczynników przy zmiennych y i z, czyli:
\left| \begin{matrix}
-4 & 1 \\
8 & 3 \end{matrix} \right|=-12-8=-20\ne 0
Niezerowy wyznacznik jest ze współczynników przy zmiennych y i z, pozostałe więc zmienne zastępujemy parametrami:
x={{\alpha }_{1}}
t={{\alpha }_{2}}
tworzymy nowy układ równań (tutaj akurat nie musimy wykreślać żadnych wierszy):
\{ \begin{matrix}
& 3{{\alpha }_{1}}-4y+z+3{{\alpha }_{2}}=2 \\
& -6{{\alpha }_{1}}+8y+3z-6{{\alpha }_{2}}=3 \end{matrix}
Czyli:
\{ \begin{matrix}
& -4y+z=2-3{{\alpha }_{1}}-3{{\alpha }_{2}} \\
& 8y+3z=3+6{{\alpha }_{1}}+6{{\alpha }_{2}} \end{matrix}
I rozwiązujemy go, najlepiej po prostu tak jak w gimnazjum. Z pierwszego równania wyznaczamy zmienną z:
z=2-3{{\alpha }_{1}}-3{{\alpha }_{2}}+4y
Wstawiamy do drugiego równania:
8y+3\left( 2-3{{\alpha }_{1}}-3{{\alpha }_{2}}+4y \right)=3+6{{\alpha }_{1}}+6{{\alpha }_{2}}
20y=-3+15{{\alpha }_{1}}+15{{\alpha }_{2}}\quad /:20
y=-\frac{3}{20}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{1}}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{2}}
ywyliczony, teraz liczymy z:
z=2-3{{\alpha }_{1}}-3{{\alpha }_{2}}+4\left( -\frac{3}{20}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{1}}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{2}} \right)
z=2-3{{\alpha }_{1}}-3{{\alpha }_{2}}-\frac{3}{5}+3{{\alpha }_{1}}+3{{\alpha }_{2}}
z=1\frac{2}{5}
Czyli pełne rozwiązanie to:
\{ \begin{matrix}
& x={{\alpha }_{1}} \\
& y=-\frac{3}{20}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{1}}+\frac{3}{4}{{\alpha }_{2}} \\
& z=1\frac{2}{5} \\
& t={{\alpha }_{2}} \end{matrix}
Gdzie {\alpha }_{1}, {\alpha }_{2}to dowolne liczby rzeczywiste.
malwina
serdeczne dzięki za pomoc 🙂
S.
Dziękuję 😉 o wiele bardziej rozumiem, to co Pan przedstawia, niż to czego wymaga mój wykładowca… no ale… nikt nie powiedział, że student ma lekko.
Krystian Karczyński
Nikt nie ma lekko 🙂
Dzięki i pozdrawiam.
S.
Witam 😉 Mam pytanie odnośnie przedstawionej przez Pana metody Gaussa. Otóż przestawia Pan w niej kolumny, podczas, gdy u mnie na wykładach wyraźnie zaznacza się, że możemy dokonywać operacji TYLKO na wierszach. O co w tym wszystkim chodzi? Zbliża się kolokwium i nie chciałabym, aby moje rozwiązanie było od razu skreślone. Proszę o jak najszybszą odpowiedź 😉 Dziękuję 😉
Krystian Karczyński
Witam, dzięki za dobre pytanie.
Niektórzy profesorzy żeby nie motać studen\tom (kolumny przestawiać można tylko z zastrzeżeniami – o nie ruszaniu kolumny wyrazów wolnych i o zmianie oznaczeń nad kolumną) nie wprowadzają w ogóle zamiany miejscami kolumn.
Inni w ogóle nie nauczają o oznaczeniach nad kolumną – wtedy w naturalny sposób zamieniać kolumny NIE MOŻNA.
Sama jednak „możliwość” zamiany kolumn jest bardzo łatwa do zrozumienia, beż żadnych złożonych „dowodów”.
Weźmy byle jaki przykładowy układ równań:
4x+2y+3z+5t=4
2x+2y+5z+8t=5
3x+5y+4z+7t=6
2x+2y+2z+9t=1
Oczywistym jest, że jeżeli zapiszemy go w ten sposób:
2y+4x+3z+5t=4
2y+2x+5z+8t=5
5y+3x+4z+7t=6
2y+2x+2z+9t=1
…jest to nadal ten sam układ równań z tym samy rozwiązaniem (dodawanie jest przemienne).
Postać macierzowa „pierwszego” układu do postaci Gaussa to była by:
x y z t
4 2 3 5 | 4
2 2 5 8 | 5
3 5 4 7 | 6
2 2 2 9 | 1
…a do „drugiego” (który jak już wiemy jest taki sam jak „pierwszy”):
y x z t
2 4 3 5 | 4
2 2 5 8 | 5
5 3 4 7 | 6
2 2 2 9 | 1
Czyli zamiana kolumn miejscami to po prostu zmiana kolejności niewiadomych (trzeba jednak koniecznie pamiętać o zmianie oznaczeń!).