Skąd się bierze stała C w całkach nieoznaczonych? [REMASTERED]

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

W rozwiązaniach całek nieoznaczonych na końcu dopisuje się tajemniczą stałą C. Co ona oznacza i skąd się bierze?

Ano bierze się ona właściwie z samej definicji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona z funkcji to rodzina funkcji pierwotnych do tej funkcji. Funkcję nazywamy pierwotną do wtedy, kiedy jej pochodna równa jest .

Całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych

Mówiąc inaczej całka nieoznaczona z jakiejś funkcji to zbiór wszystkich funkcji, których pochodna daje . Przyjrzyjmy się temu na przykładzie:

Całką nieoznaczoną z funkcji nazwiemy wszystkie funkcje, z których pochodna daje . Jakie mogą być to funkcje? Na przykład:  . Ale nie tylko! Przecież pochodna z funkcji   też daje . Analogicznie:

i ogólnie:

– gdzie C oznacza dowolną stałą.

Stąd więc: 

i stąd właśnie bierze się stała C w wyniku każdej całki nieoznaczonej.

Skoro całka nieoznaczona to cała rodzina funkcji, mamy więc też całą rodzinę wykresów.

Poniżej kilka takich rodzin (całek nieoznaczonych), różniących się o stałą C, którą możesz poustalać sobie dowolnie. Zobacz, jak różnić się mogą ich wykresy.