Pochodne kierunkowe – znowu coś nowego?

Miejsce i czas akcji

Obliczanie pochodnych kierunkowych jako temat do przerobienia (czyli do zaliczenia) plasują się właściwie tuż po pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, które większość studentów przerabia w II semestrze.

Jest to temat na tyle rzadko jednak podejmowany, że nie uwzględniłem go w swoim Kursie do pochodnych cząstkowych i na tyle często, że wrzucę go na bloga – ku pożytkowi tych, którzy pochodnych kierunkowych nauczyć się muszą i tych, którzy są po prostu ciekawi, o co chodzi. Zaznaczam jednak, że tak jak w Kursach skoncentruję dzisiaj prawie wyłącznie na praktyce („jak ja mam to zrobić?”), a nie na teorii („co ja właściwie robię?”).

Pochodne kierunkowe – jak ja mam to zrobić?

W przypadku pochodnej kierunkowej mamy do czynienia z jednoczesnym przyrostem argumentów x i y, któremu oczywiście odpowiada pewien przyrost wartości funkcji f(x,y).

Do zadania potrzebujemy trzech rzeczy:

  1. Funkcji, z której będziemy liczyć pochodną kierunkową.
  2. Punktu, w którym będziemy liczyć pochodną kierunkową.
  3. Kierunku danym w postaci wektora.

Mając powyższe, zadanie sprowadza się do przerobienia wektora na wektor kierunkowy (coś z geometrii analitycznej, pokażę jak to zrobić za moment), a potem wstawienia do wzoru:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*v_x+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*v_y

W którym:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0) to pochodna kierunkowa w punkcie P_0 w kierunku wektora vec{v}

P_0 to punkt, w którym liczymy pochodną kierunkową

v_x,~v_y to współrzędne wektora kierunkowego vec{v}_k

{{partial}f}/{{partial}x}(P_0),~{{partial}f}/{{partial}y}(P_0) to pochodne cząstkowe funkcji f(x,y) w punkcie P_0.

 

Przykład 1

Oblicz pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=x^4+y^3+2xy+1 w punkcie P(1,2) w kierunku vec{v}=[3,-1].

Rozwiązanie:

Wszystk0 jest dane na tacy, tylko z wektora vec{v}=[3,-1] trzeba zrobić wektor kierunkowy. Wektor kierunkowy to wektor o takim samym kierunku (kto by pomyślał), zwrocie, ale o długości 1. Oblicza się go ze wzoru:

vec{v}_k=1/{delim{|}{vec{v}}{|}}vec{v}

Czyli po prostu dzieli jego współrzędne przez jego długość. No to liczymy długość wektora vec{v}:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{3^2+(-1)^2}=sqrt{9+1}=sqrt{10}

Po czym wychodzimy na wektor kierunkowy:

vec{v}_k=1/sqrt{10}delim{[}{3,-1}{]}=delim{[}{3/sqrt{10},-1/sqrt{10}}{]}

Do wzoru na pochodną kierunkową potrzebna nam będą jeszcze pochodne z funkcji f(x,y)=x^4+y^3+2xy+1 w punkcie P(1,2):

{{partial}f}/{{partial}x}=4x^3+2y

{{partial}f}/{{partial}y}=3y^2+2x

{{partial}f}/{{partial}x}(1,2)=4*1^3+2*2=8

{{partial}f}/{{partial}y}(1,2)=3*2^2+2*1=14

No i mamy wszystko, co potrzebne jest do wzoru:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*v_x+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*v_y

Podstawiamy tylko i mamy wynik:

f{prime}_{vec{v}_k}(1,2)=8*{3/sqrt{10}}+14*(-1/sqrt{10})=10/sqrt{10}

Zrobione.

 

Przykład 2

Znajdź pochodną kierunkową funkcji: z=x^3-3x^2{y}+3xy^2+2 w punkcie P(3,1) w kierunku od tego punktu do punktu Q(6,5).

Rozwiązanie

Sprawa o tyle trudniejsza, że wektor kierunku nie jest dany wprost, ale cóż to dla nas. Przesuwamy się od punktu P do punktu Q, wektor przesunięcia więc to wektor [3,4].

Teraz szukamy wektora kierunkowego licząc długość wektora [3,4]:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{3^2+4^2}=5

I mamy wektor kierunkowy:

vec{v}_k={1/5}*delim{[}{3,4}{]}=delim{[}{3/5,4/5}{]}

Teraz liczymy pochodne cząstkowe w punkcie (3,1):

{{partial}z}/{{partial}x}=3x^2-6xy+3y^2

{{partial}z}/{{partial}y}=-3x^2+6xy

{{partial}z}/{{partial}x}(3,1)=3*3^2-6*3*1+3*1^2=12

{{partial}z}/{{partial}y}(3,1)=-3*3^2+6*3*1=-9

No i podstawiamy tylko do wzoru na pochodną kierunkową:

f{prime}_{vec{v}_k}(3,1)=12*{3/5}-9*{4/5}=0

 

 Przykład 3

Znajdź pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=3x^4+xy+y^4 w punkcie (1,2) w  kierunku tworzącym z dodatnią półosią X kąt {pi}/3.

Rozwiązanie

Zadanie niby trudniejsze, ze względu na brak w danych wektora kierunku. Narysujmy jednak całą rzecz:

Wektor do wyznaczenia

Rozchodzi się o to, żeby znaleźć współrzędne byle jakiego wektora o zaznaczonym kierunku. Korzystamy z tego, że tg{{pi}/3}=sqrt{3} i możemy przyjąć sobie, że nasz wektor ma współrzędne delim{[}{1,sqrt{3}}{]}, jak na rysunku (wystarczyło wybrać byle jaki wektor o kierunku jak kierunek prostej):

Wyznaczony wektor

No i teraz już po staremu. Liczymy wektor kierunkowy:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{1^2+(sqrt{3})^2}=2

vec{v}_k={1/2}*delim{[}{1,sqrt{3}}{]}=delim{[}{1/2,sqrt{3}/2}{]}

Potem pochodne cząstkowe w punkcie (1,2):

{{partial}f}/{{partial}x}=12x^3+y

{{partial}f}/{{partial}y}=x+4y^3

{{partial}f}/{{partial}x}(1,2)=12*1^3+2=14

{{partial}f}/{{partial}y}(1,2)=1+4*2^3=33

Podstawiamy do wzoru i mamy wynik:

f{prime}_{vec{v}_k}(1,2)=14*{1/2}+33*{sqrt{3}/2}=7+{33sqrt{3}}/2

 

Zapraszam do pytań w komentarzach – jak zawsze 🙂