DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Pochodne kierunkowe – znowu coś nowego?

Krystian Karczyński

Miejsce i czas akcji

Obliczanie pochodnych kierunkowych jako temat do przerobienia (czyli do zaliczenia) plasują się właściwie tuż po pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych, które większość studentów przerabia w II semestrze.

Jest to temat na tyle rzadko jednak podejmowany, że nie uwzględniłem go w swoim Kursie do pochodnych cząstkowych i na tyle często, że wrzucę go na bloga – ku pożytkowi tych, którzy pochodnych kierunkowych nauczyć się muszą i tych, którzy są po prostu ciekawi, o co chodzi. Zaznaczam jednak, że tak jak w Kursach skoncentruję dzisiaj prawie wyłącznie na praktyce („jak ja mam to zrobić?”), a nie na teorii („co ja właściwie robię?”).

Pochodne kierunkowe – jak ja mam to zrobić?

W przypadku pochodnej kierunkowej mamy do czynienia z jednoczesnym przyrostem argumentów x i y, któremu oczywiście odpowiada pewien przyrost wartości funkcji f(x,y).

Do zadania potrzebujemy trzech rzeczy:

  1. Funkcji, z której będziemy liczyć pochodną kierunkową.
  2. Punktu, w którym będziemy liczyć pochodną kierunkową.
  3. Kierunku danym w postaci wektora.

Mając powyższe, zadanie sprowadza się do przerobienia wektora na wektor kierunkowy (coś z geometrii analitycznej, pokażę jak to zrobić za moment), a potem wstawienia do wzoru:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*v_x+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*v_y

W którym:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0) to pochodna kierunkowa w punkcie P_0 w kierunku wektora vec{v}

P_0 to punkt, w którym liczymy pochodną kierunkową

v_x,~v_y to współrzędne wektora kierunkowego vec{v}_k

{{partial}f}/{{partial}x}(P_0),~{{partial}f}/{{partial}y}(P_0) to pochodne cząstkowe funkcji f(x,y) w punkcie P_0.

Przykład 1

Oblicz pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=x^4+y^3+2xy+1 w punkcie P(1,2) w kierunku vec{v}=[3,-1].

Rozwiązanie:

Wszystk0 jest dane na tacy, tylko z wektora vec{v}=[3,-1] trzeba zrobić wektor kierunkowy. Wektor kierunkowy to wektor o takim samym kierunku (kto by pomyślał), zwrocie, ale o długości 1. Oblicza się go ze wzoru:

vec{v}_k=1/{delim{|}{vec{v}}{|}}vec{v}

Czyli po prostu dzieli jego współrzędne przez jego długość. No to liczymy długość wektora vec{v}:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{3^2+(-1)^2}=sqrt{9+1}=sqrt{10}

Po czym wychodzimy na wektor kierunkowy:

vec{v}_k=1/sqrt{10}delim{[}{3,-1}{]}=delim{[}{3/sqrt{10},-1/sqrt{10}}{]}

Do wzoru na pochodną kierunkową potrzebna nam będą jeszcze pochodne z funkcji f(x,y)=x^4+y^3+2xy+1 w punkcie P(1,2):

{{partial}f}/{{partial}x}=4x^3+2y

{{partial}f}/{{partial}y}=3y^2+2x

{{partial}f}/{{partial}x}(1,2)=4*1^3+2*2=8

{{partial}f}/{{partial}y}(1,2)=3*2^2+2*1=14

No i mamy wszystko, co potrzebne jest do wzoru:

f{prime}_{vec{v}_k}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*v_x+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*v_y

Podstawiamy tylko i mamy wynik:

f{prime}_{vec{v}_k}(1,2)=8*{3/sqrt{10}}+14*(-1/sqrt{10})=10/sqrt{10}

Zrobione.

Przykład 2

Znajdź pochodną kierunkową funkcji: z=x^3-3x^2{y}+3xy^2+2 w punkcie P(3,1) w kierunku od tego punktu do punktu Q(6,5).

Rozwiązanie

Sprawa o tyle trudniejsza, że wektor kierunku nie jest dany wprost, ale cóż to dla nas. Przesuwamy się od punktu P do punktu Q, wektor przesunięcia więc to wektor [3,4].

Teraz szukamy wektora kierunkowego licząc długość wektora [3,4]:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{3^2+4^2}=5

I mamy wektor kierunkowy:

vec{v}_k={1/5}*delim{[}{3,4}{]}=delim{[}{3/5,4/5}{]}

Teraz liczymy pochodne cząstkowe w punkcie (3,1):

{{partial}z}/{{partial}x}=3x^2-6xy+3y^2

{{partial}z}/{{partial}y}=-3x^2+6xy

{{partial}z}/{{partial}x}(3,1)=3*3^2-6*3*1+3*1^2=12

{{partial}z}/{{partial}y}(3,1)=-3*3^2+6*3*1=-9

No i podstawiamy tylko do wzoru na pochodną kierunkową:

f{prime}_{vec{v}_k}(3,1)=12*{3/5}-9*{4/5}=0

 Przykład 3

Znajdź pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=3x^4+xy+y^4 w punkcie (1,2) w  kierunku tworzącym z dodatnią półosią X kąt {pi}/3.

Rozwiązanie

Zadanie niby trudniejsze, ze względu na brak w danych wektora kierunku. Narysujmy jednak całą rzecz:

Wektor do wyznaczenia

Rozchodzi się o to, żeby znaleźć współrzędne byle jakiego wektora o zaznaczonym kierunku. Korzystamy z tego, że tg{{pi}/3}=sqrt{3} i możemy przyjąć sobie, że nasz wektor ma współrzędne delim{[}{1,sqrt{3}}{]}, jak na rysunku (wystarczyło wybrać byle jaki wektor o kierunku jak kierunek prostej):

Wyznaczony wektor

No i teraz już po staremu. Liczymy wektor kierunkowy:

delim{|}{vec{v}}{|}=sqrt{1^2+(sqrt{3})^2}=2

vec{v}_k={1/2}*delim{[}{1,sqrt{3}}{]}=delim{[}{1/2,sqrt{3}/2}{]}

Potem pochodne cząstkowe w punkcie (1,2):

{{partial}f}/{{partial}x}=12x^3+y

{{partial}f}/{{partial}y}=x+4y^3

{{partial}f}/{{partial}x}(1,2)=12*1^3+2=14

{{partial}f}/{{partial}y}(1,2)=1+4*2^3=33

Podstawiamy do wzoru i mamy wynik:

f{prime}_{vec{v}_k}(1,2)=14*{1/2}+33*{sqrt{3}/2}=7+{33sqrt{3}}/2

Zapraszam do pytań w komentarzach – jak zawsze 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Michał pisze:

    Witam, czy w pierwszym przykładzie do pochodnych cząstkowych nie powinno się podstawić wartości punktu P czyli 1 i 2 a nie, tak jak Pan zrobił, 3 i -1 ?

    1. Patrycja pisze:

      a jak obliczyć pochodną kierunkową 2 rzędu, np.taki przykład f(x,y)=y2-e(do potęgi x) , Po=(!,2) u=[1,-1]

  2. Michał pisze:

    Podobnie w przykładzie 3 – podstawia pan 2,1 zamiast zapowiedzianego w poleceniu 1,2. A swoją drogą, baaaardzo przydatny wpis, zwiększa szanse na zdanie egzaminu, bardzo dziekuję za zamieszczenie 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak ,ma Pan rację w obu przypadkach (Przykład 1 i Przykład 3) z niewiadomych dla mnie przyczyn nie wstawiłem właściwych współrzędnych punktów, co rozwaliło cały wynik.

      Przepraszam!

  3. Krzysztof pisze:

    To moźe by Pan panie Krystianie poprawił, jeśli jest taka możliwość swoje przeoczenie, bo wprowadza to niepotrzeby zamęt.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Poprawiłem, przepraszam!

  4. Ania pisze:

    Mam prośbę! Czy mógłby Pan pokazać jak zrobić takie zadanie ale z 3 zmiennymi?

    1. Ania pisze:

      I najlepiej jakby to było jakieś zadanie, w którym podany jest kąt, a nie wektor.

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne. W przypadku 3 zmiennych mamy daną funkcję:
      f(x,y,z), punkt P_0 i wektor vec{v}.

      Wzór na pochodną kierunkową z funkcji f, w punkcie P_0 w kierunku wektora vec{v} przyjmuje postać (dodajemy po prostu jedną zmienną):

      f{prime}_{vec{v}_k}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*v_x+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*v_y+{{partial}f}/{{partial}z}(P_0)*v_z

      Współrzędne v_x,v_y,v_z to NIE są współrzędne wektora vec{v}, tylko jego wektora kierunkowego vec{v}_k, co pokazywałem w poście wyżej.

      Opcjonalnie zamiast wektora kierunek może wyznaczać oś OS o zadanych kątach nachylenia do osi układu współrzędnych OX, OY i OZ. Mamy wtedy dane: f(x,y,z), punkt P_0 i trzy kąty nachylenia do osi (powiedzmy alpha do osi OX, beta do osi OY, gamma do osi OZ). Zamiast kątów możemy też mieć dane np. ich cosinusy, a to nawet lepiej, bo wtedy wzór na pochodną kierunkową przyjmuje postać:

      f{prime}_{OS}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*cos{alpha}+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*cos{beta}+{{partial}f}/{{partial}z}(P_0)*cos{gamma}

      , no a cosinusy z danych kątów liczy się chyba łatwiej, niż współrzędne wektora kierunkowego z danego wektora.

      Przykład

      Oblicz pochodną z funkcji f(x,y,z)=x^2+y^3+2z w punkcie (1,0,-2) w kierunku osi OS, której kąty nachylenia do osi układu współrzędnych wynoszą: do osi OX 45^0, do osi OY 60^0, do osi OZ 90^0.

      Przypomnijmy ogólny wzór:

      f{prime}_{OS}(P_0)={{partial}f}/{{partial}x}(P_0)*cos{alpha}+{{partial}f}/{{partial}y}(P_0)*cos{beta}+{{partial}f}/{{partial}z}(P_0)*cos{gamma}

      Wstawiamy do niego wszystko z marszu, licząc w pamięci pochodne:

      f{prime}_{OS}(P_0)=2*1*cos45^0+3*{0^2}*cos60^0+2*cos90^0=2*{{sqrt{2}}/2}+0+0=sqrt{2}

      KONIEC

    3. Ania pisze:

      Dziękuję ;))

  5. Paweł pisze:

    witam.Mam pytanie czy przy wyliczeniu ekstremó lokalnych ( niestety nie pamietam funckcji) pochodne drugiego rzedu moga wyjsc takie :

    fxx=6x fxy=3
    fyx=3 fyy=-6

    Chodzi mi o to ze nie otrzymalismy nic z „y” Czy tak moze byc ?
    Pochodne wynosiły:
    fx=3x^2+3y
    fy=3x-6y

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Mogą wyjść i może tak być, nie ma problemu 🙂

  6. Paweł pisze:

    a jak teraz bedzie wyglądac wyliczenie 4 punktów podejrzanych o ekstrema ?:)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Współrzędne każde z nich wrzucasz po kolei do wyznacznika:

      delim{|}{matrix{2}{2}{{6x} 3 3 {-6}}}{|} (oczywiście w tym przypadku tylko ich wspórzędną x-ową w elemencie 6x) i orientujesz się, jaki wyjdzie znak wyznacznika 🙂

  7. Paweł pisze:

    a jak włąsnie wyliczyc tego x ?:)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie wylicza się, tylko za 'x' wstawia współrzędne x-sowe punktu podejrzanego o nieciągłość.

      Wrzucę może cały schemat, jak to się robi (pokazuję też to dokładnie w swoim Kursie):

      Schemat obliczania ekstremów lokalnych funkcji 2 zmiennych

  8. Paweł pisze:

    Chodzi mi o przyrównanie do 0.Jak to wyliczyc ?

  9. Paweł pisze:

    Błagam , bo nie wiem jak to ma wyglądac w wypadku gdy wulicza sie tylko dla X a w weekend mam poprawe z matematyki 🙁

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pochodne wyszły takie:

      f_x{prime}=3x^2+3y
      f_y{prime}=3x-6y

      prawda?

      Teraz trzeba utworzyć układ równań:

      3x^2+3y=0
      3x-6y=0

      Wyznaczyć np. y z pierwszego równania:
      3y=-3x^2 /:3
      y=-x^2

      Wstawić do drugiego równania:
      3x-6(~-x^2)=0
      3x+6x^2=0
      3x(1+2x)=0
      x=0 lub 1+2x=0
      x=0 lub 2x=-1
      x=0 lub x=-1/2

      I mamy wyznaczone współrzędne x-sowe punktów podejrzanych o to, że mogą być ekstremami – czy o to chodziło? To właśnie te współrzędne trzeba będzie wstawić w II etapie zadania za 'x' w wyrażeniu '6x' (oczywiście trzeba jeszcze do nich doliczyć współrzędne y-kowe ze wzoru: y=-x^2). Wyjdą dwa punkty podejrzane o bycie ekstremami.

  10. Paweł pisze:

    Czyli P1=0 a P2=-1/2 ?czy P1=0,0 a P2=-1/2,-1/4
    delim{|}{matrix{2}{2}{{6x} 3 3 {-6}}}{|} Wstawiam do tego za „x” i w pierwszej sytuacji wyjdzie mi -9 a w drugiej 9 ? Czyli ekstremum bedzie w P2 ? DObrze to zrobiłem ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      P1=(0,0), a P2=(-1/2.-1/4). Tak, dobrze Pan zrobił, o to chodzi. Ekstremum będzie w P2.

  11. Paweł pisze:

    a Od czego to zalezy , bo czesto ( jak nie zawsze) wychodziło nam na zajeciach 4 punkty podejrzane o ekstrema.Czemu np. w tym przypadku są 2 ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma żadnej zasady, czasami w ogóle nie ma punktów podejrzanych o ekstrema, czasami jest jeden taki punkt, czasami więcej.

      Taki akurat wyszedł układ równań z pochodnych cząstkowych, że miał dwa rozwiązania.

      Powodzenia w weekend!

  12. Pawel pisze:

    Wielkie dzieki za pomoc! 🙂

  13. Paweł pisze:

    Panie Krystianie jeszcze jedno małe , szybkie pytanko bo znalazłem funkcje z któej wyliczałem tą pochodną :
    f(x,y)=x^3+3xy-3y^2+1

    Pochodne wyszły takie
    fx=3x^2+3y
    fy=3x-6y

    Dobrze mi wyszło ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobrze 🙂

  14. Asia pisze:

    Panie Krystianie skoro już jesteśmy przy pochodnych może będzie Pan w stanie mi pomóc w pewnym zadanku bo z wykładów nie wiele można wyciągnąć. Chodzi o :
    Znajdź kierunek najszybszego wzrostu funkcji f(x,y,z)=(xy)^3+(y+z)^2 w pkt. A (1,1,1)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, jasne, to nawet bardzo a’propos pytanie.

      Kierunek najszybszego wzrostu funkcji w jakimś punkcie to po prostu wartość jej gradientu w tym punkcie (więcej o liczeniu gradientów jest w moim Kursie):

      Czyli mając funkcję: f(x,y,z)=(xy)^3+(y+z)^2

      Liczymy jej pochodne cząstkowe:

      f_x{prime}=3{(xy)^2}y
      f_y{prime}=3{(xy)^2}x+2(y+z)
      f_z{prime}=2(y+z)

      Mamy więc gradient:
      grad(f)=delim{[}{3y(xy)^2,3x(xy)^2+2(y+z),2(y+z)}{]}

      No i jego wartość w punkcie A(1,1,1), czyli konkretny, wybrany wektor z pola wektorowego:
      delim{[}{3*1(1*1)^2,3*1(1*1)^2+2(1+1),2(1+1)}{]}=delim{[}{3,5,2}{]}

      Ten właśnie wektor wskazuje na kierunek najszybszego wzrostu funkcji (można jakoś \intuicyjne to zrozumieć, że w tym punkcie wartości funkcji zwiększają się „najszybciej” w tym samym kierunku, co ten wektor). Jeżeli na zajęciach tego wymagają, być może trzeba będzie jeszcze wyznaczyć z tego wektora kierunkowy do niego.

    2. Asia pisze:

      Dziękuję serdecznie mam jeszcze pytanie czy długość wektora przy 3 zmiennych liczy się analogicznie jak przy 2 zmiennych oraz czy przechodzi się na wektor kierunkowy w 3 zmiennych tak samo jak w dwóch? Pozdrawiam

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Analogicznie 🙂

    4. mm pisze:

      A nie powinno być [3,7,4] ? bo tam jest dodawanie np.: 2(1+1)

  15. Paweł pisze:

    Panie Krystianie jesczze jedno szybkie pytanko.Znajomi ze studiów zarzucaja mi ze z tych x i y powinno sie stworzyc kombinacje kazdy „x” z kazdym”y” i powinno byc P1(0,0) P2(0,-1/4)P3(-1/2,0)P4(-1/2,-1/4). Ja twierdez ze to jeden pieron bo tak naprawde potrzebujemy tutaj tylko X do sprawdzenia czy sa extrema wiec liczac te 4 punkty to tylko powielamy to samo( wystarczyłyby 2).Choc z drugiej strony pozniej przy podstawieniu pod funkcje wyszedłby nam inny wynik.ALe przeciez tez nie moze byc tak ze są 2 max. lokalne prawda ?:) kto ma racje ? i czy gdyby w tym zadaniu w macierzy powstałej z pochodnych II rzedu mielibysmy tez równiez gdzies y to wóczas trzebaby stworzyc 4 punkty podejrzane o ekstrema a wiec tak jak móia moi znajomi?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      1. Nie powinno się tworzyć tych kombinacji, znajomi nie mają racji.

      2. Jednak funkcja spokojnie może mieć nawet 20 ekstremów lokalnych. Niech Pan weźmie np. takie Tatry. Każdy czubek góry to było by maksimum lokalne i nie ma z tym większych problemów.

      Naprawdę mocno polecam też mój Kurs Funkcje Wielu Zmiennych, tam spokojnie na obrazkach i przykładach tłumaczę te sprawy 🙂

  16. Ania pisze:

    Witam, wykładowca podał nam wzór aby liczyć pochodne kierunkowe, zupełnie inny aniżeli w/w. Wygląda on tak : lim t->0 = f(a + tp) – (a)/t
    gdzie a – współrzędne punktu
    p – współrzędne wektora;
    Licząc pana sposobem i sposobem wykładowcy wyniki się różnią. Wolałabym jednak korzystać z pana wzoru, stąd moja prośba; czy mógłby się p. postarać się wyjaśnić różnicę. Z góry bardzo dziękuję 🙂

    1. Ania pisze:

      przepraszam, pomyłka we wzorze : lim t ->0 = f(a + tp) – f(a)/t

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Witam

      „Mój” wzór i Pani wzór to wzory równoważne. Czyli wyniki powinny wyjść takie same. Mój wzór wymaga różniczkowalności pochodnej w punkcie, ale to niuans i pewno nie na tym polega różnica.

      Zgaduję że chodzi o to, że Pani wykładowca nie wymaga, aby wektor 'p' z Pani wzoru był wektorem jednostkowym, czy o to chodzi?

      Jeśli tak, to na pewno tłumaczy to różnicę w wynikach.

  17. Paweł pisze:

    zdane na 3.5.Dziękuje serdecznie.Gdyby nie Pana pomoc i kursy to byłbym w d… 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy, gratuluję!

  18. Łukasz pisze:

    Witam!

    Panie Krystianie, świetnie rozumiem Pana sposób liczenia i nie mam problemów przy rozwiązywaniu zadań typu „Znajdź pochodną kierunkową funkcji: w punkcie P w kierunku od tego punktu do punktu Q.”
    Problemy zaczynają się bowiem gdy pojawia się zadanie typu
    „Oblicz pochodną kierunkową funkcji z=ln(x+y) w pkt. M(1,2) w kierunku stycznej poprowadzonej do paraboli y^2=4x ”
    lub
    „Pochodna kierunkowa f. z=y^2/x w kierunku prostej prostopadłej do stycznej elipsy 2x^2+y^2=1 w dowolnym punkcie” Nie bardzo wiem jak mogę użyć Pana metodę do tych zadań… Bardzo proszę o pomoc i schematyczny tok postępowania z wyżej wymienonymi zadaniami.

    Nota Bene, jestem Pana wielkim fanem:)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam!


      Zacytowane zadania to tylko cegła postawiona na fundamencie zadań typu „znajdź pochodną kierunkową od punktu P do Q”.

      Wystarczy w nich wyznaczyć po prostu równanie rzeczonej stycznej (albo normalnej jak w drugim), obrać na niej dwa byle jakie punkty i mam już punkty P i Q.

      Z tymi równaniami stycznych i normalnych to szło tak:

      I. Jeżeli mamy funkcję w postaci jawnej y=f( x)i mamy wyznaczyć styczną/normalną w punkcie M(x_0,y_0) to:

      Równanie stycznej: y-{{y}_{0}}={f}'( {{x}_{0}} )( x-{{x}_{0}})

      Równanie normalnej (prostej prostopadłej do stycznej): x-{{x}_{0}}+{f}'( {{x}_{0}} )( y-{{y}_{0}} )=0

      W Pan pierwszym przykładzie funkcję łatwo przerobić na postać jawną:
      {{y}^{2}}=4x
      y=2\sqrt{x}\quad \vee \quad y=-2\sqrt{x}
      Z czego wybieram y=2\sqrt{x}, bo punkt M(1,2) należy do tej właśnie krzywej.

      Czyli podstawiając do wzoru wyżej mam równanie stycznej:

      y-2=\frac{1}{2\sqrt{1}}\left( x-1 \right)
      y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+2
      y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

      (Wyznaczanie równań stycznej i normalnej w postaci jawnej pokazane jest także w moim Kursie Video: Kurs Pochodne Itd. )

      Teraz biorę sobie dwa BYLE jakie punkty leżące na tej prostej (np. mogę sobie wziąść za x-sa zero i za x-sa 1 i w głowie „doliczyć” y-ki): (0,\frac{3}{2}) , (1,2) i mam moje punkty P i Q. Dalej liczy Pan już według znanego schematu.

      II. Jeżeli mam funkcję daną w postaci uwikłanej F(x,y)=0 i mamy policzyć styczną/normalną w punkcie M(x_0,y_0) , wzory są takie:

      Na styczną: \frac{\partial F}{\partial x}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( y-{{y}_{0}} \right)=0
      Na normalną: \frac{\partial F}{\partial y}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)-\frac{\partial F}{\partial x}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( y-{{y}_{0}} \right)=0

      W Pana zadanie chodzi o „proste prostopadłe do stycznej”, czyli o normalne. Nie wyznacza się też tylko jednej z nich, tylko w ogóle całą ich pakę w dowolnym punkcie \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right).

      Podstawiam więc co trzeba do wzoru na normalną:

      2y\left( x-{{x}_{0}} \right)-4x\left( y-{{y}_{0}} \right)=0

      Mam w ten sposób ogólne równanie normalnych w dowolnym punkcie elipsy \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right).

      Teraz zadanie robi się trochę niefajne, bo nie wiadomo w sumie, w którym konkretnie punkcie liczyć tą pochodną kierunkową. Czy Panu profesorowi chodziło o to, żeby wybrać sobie samemu arbitralnie jakiś dowolny punkt, czy o to, żeby po prostu wyznaczyć ogólną rodzinę pochodnych kierunkowych jako funkcję punktów? Wynika to jakoś z treści zadania?

  19. Szymon pisze:

    tyle ile ma pan cierpliwosci i checi to ja chyba nigdy nie bede mial :))) a co do zadan to perfekcyjnie wytlumaczone, po prostu teraz wszystko jasne

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, cieszę się, że się przydało.

  20. anna pisze:

    super wyjasnienia;)

  21. anna pisze:

    bardzo mi sie przydalo;D;D

  22. Agnieszka pisze:

    POMOCY> pochodne cząstkowe f(x,y)=x√(y²+1) -sin(xy)+3x^4y^4 oraz ekstremum lokalne dla f(x,y)=11-6x*8y-x²+y² bardzo proszę o pomoc:*

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Pochodne cząstkowe funkcji  f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals x square root of y ² plus 1 end root space minus sin \left parenthesis x y right parenthesis plus 3 x to the power of 4 y to the power of 4  zostały obliczone w tym filmiku 🙂

    2. Ekstrema lokalne funkcji f \left parenthesis x comma y right parenthesis equals 11 minus 6 x plus 8 y minus x squared plus y \squared zostały przedstawione tutaj:

  23. Aneta pisze:

    Witam serdecznie.
    Mam problem z zadaniem, gdzie wszystko jest podane, a wyliczyć trzeba wektor (wersor konkretnie). Mógłby Pan pokazać sposób na obliczenie tego.
    (w tym przypadku moje zadanie brzmi „Wyznaczyć wersor V tak, aby pochodna w pkt (-1,1) fukncji f(x,y)=x^3 +ln(x^2 -x) w kierunku tego wektora była równa 0”).
    Byłabym naprawdę wdzięczna za pomoc.
    Pozdrawiam serdecznie 🙂

  24. Michael pisze:

    a co w wypadku gdy pytaja nas o wektor w kierunku którego przyrosty f(x,y) są NAJMNIEJSZE? jak podejść do tego?

    1. Matti pisze:

      Też tego szukałem.
      Nie jestem pewien ale to będzie wektor prostopadły do gradientu funkcji.

  25. Asia pisze:

    Proszę o pomoc 🙂

    1. Oblicz pochodną kierunkową funkcji f (x,y)= ln(1+√(x^2+y^2) ) w punkcie (3,4) w kierunku wersora tworzącego kąt 45° z dodatnim kierunkiem osi OX. Dla jakiego wersora Ϭf/Ϭv (3,4) ma wartość największą?

    Można to policzyć tak jak to Pan robił w przykładzie 3 czy można tutaj skorzystać z wzoru Ϭf/Ϭv(x,y)= Ϭf/Ϭx• cosα + Ϭf/Ϭy•sinα i wtedy wersor byłby ( √2/2,√2/2) ? I jak polczyć z tego wartość największą?

  26. Przemysław O pisze:

    Dwa zadania ode mnie:

    Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=x^4 – 1/y w punkcie P(- 3^1/2, – 2) w kierunku prostej 1 + x*3^1/2 – y = 0

    Oblicz pochodną kierunkową w kierunku gradientu: M(2-2;1) u=(x^2)+(y^2)+(z^2)

    Za pomoc byłbym bardzo wdzięczny.

  27. Michał T pisze:

    Panie Krzysztofie, a co jeśli nie mamy podanego punktu, a jedynie wektor? Jak rozwiązać taki przykład?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Trzeba zamiast współrzędnych punktu (liczb) wziąć zmienne x,y (a może i z, jeśli bawimy się w 3 wymiarach). Rozwiązaniem będzie jakaś ogólna funkcja dwóch zmiennych (albo trzech), ze zmiennymi x,y,(z), a nie konkretna liczba.

  28. krawczyk pisze:

    x*dy/dx + y = xsinx jak obliczyc wartość takiego wyrażenia. Bardzo proszę o pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Chodzi o to, żeby rozwiązać to równanie różniczkowe?

      Nie ma sprawy, to jest zupełnie standardowe równanie różniczkowe liniowe. Rozwiążę je metodą uzmienniania stałej, którą pokazałem i wytłumaczyłem dokładnie w moim Kursie Równań Różniczkowych.
      x\frac{dy}{dx}+y=x\sin x
      x\frac{dy}{dx}+y=0
      x\frac{dy}{dx}=-y\quad /:x\quad /\cdot dx\quad /:y
      \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}
      \ln \left| y \right|=-\ln \left| x \right|+C
      \ln \left| y \right|=\ln {{\left| x \right|}^{-1}}+C\quad /{{e}^{\left( \ldots \right)}}
      {{e}^{\ln \left| y \right|}}={{e}^{\ln {{\left| x \right|}^{-1}}+C}}
      y={{e}^{ln{{\left| x \right|}^{-1}}}}{{e}^{c}}
      y=C\cdot \frac{1}{x}
      y=\frac{C}{x}
      y=\frac{C\left( x \right)}{x}
      {y}'=\frac{{C}'\left( x \right)x-C\left( x \right){x}'}{{{x}^{2}}}
      {y}'=\frac{{C}'\left( x \right)x-C\left( x \right)}{{{x}^{2}}}
      x\frac{{C}'\left( x \right)x-C\left( x \right)}{{{x}^{2}}}+\frac{C\left( x \right)}{x}=x\sin x
      \frac{{C}'\left( x \right)x-C\left( x \right)}{x}+\frac{C\left( x \right)}{x}=x\sin x
      \frac{{C}'\left( x \right)x}{x}-\frac{C\left( x \right)}{x}+\frac{C\left( x \right)}{x}=x\sin x
      {C}'\left( x \right)=x\sin x
      C\left( x \right)=\int{x\sin xdx}
      C\left( x \right)=\sin x-x\cos x+C
      y=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x}

  29. Mateusz pisze:

    Witam Panie Krystianie.
    Ostatnio na egzaminie miałem takie zadanie: Oblicz pochodną kierunkową w punkcie P(3,4) f-cji f(x,y) = ln(x^2 + y^2)^1/2 w kierunku gradientu tej f-cji w tym punkcie. Szczerze mówiąc nie mam pojęcia jak się za to zabrać, mógłby Pan rozwiązać takie zadanie 🙂
    Z góry dziękuje.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Trzeba obliczyć gradient tej funkcji w tym punkcie, a potem jej pochodną w kierunku tego gradientu 🙂

      Jedziemy:

      f\left( x,y \right)=\ln \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}– jak rozumiem 🙂 ?

      1. Liczę gradient ogólnie

      Liczę, tak jak pokazałem w moim Kursie Całek Wielokrotnych :

      gradf=\left[ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right]=\left[ \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}2x,\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}2y \right]=\left[ \frac{x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right]

      2. Liczę gradient w punkcie P(3,4)

      gradf\left( 3,4 \right)=\left[ \frac{3}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}},\frac{4}{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}} \right]=\left[ \frac{3}{25},\frac{4}{25} \right]

      3. Liczę wektor kierunkowy do tego gradientu (pokazałem to w poście):

      \left| \left[ \frac{3}{25},\frac{4}{25} \right] \right|=\sqrt{{{\left( \frac{3}{25} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{25}{{{25}^{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}

      {{\vec{v}}_{k}}=\frac{1}{\tfrac{1}{5}}\left[ \frac{3}{25},\frac{4}{25} \right]=\left[ \frac{3}{5},\frac{4}{5} \right]

      4. Liczę pochodne cząstkowe funkcji w punkcie

      Już je mam, bo liczyłem przy okazji liczenia gradientu w punkcie.

      5. Podstawiam do wzoru:

      {{{{f}'}}_{{{{\vec{v}}}_{k}}}}\left( P \right)=\frac{3}{25}\cdot \frac{3}{5}+\frac{4}{25}\cdot \frac{4}{5}=\frac{9}{125}+\frac{16}{125}=\frac{25}{125}=\frac{1}{5}

      Koniec 🙂

  30. Mariusz pisze:

    Witam, Panie Krystianie.
    Pani doktor u mnie na kolokwium nie uznała mi zadania policzonego Pańską metodą na pochodną kierunkową twierdząc, że nie zna takiego wzoru. Uznałaby mi to jeśli pokazałbym jej to w fachowej literaturze lub wytłumaczył co się skąd wzięło.
    Czy ten wzór jest w jakiejś książce?
    Czy pochodną kierunkową liczyć również tą metodą:
    Pozdrawiam i dziękuję za to co Pan robi 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wzór jest wzięty po prostu z Krysickiego-Włodarskiego z rozdziału „Pochodne jednostronne i pochodne w kierunku osi” – u mnie tom II s.29, ale ja mam starsze wydanie.

      W „oryginale” wzór wygląda tak:

      {{\left( \frac{\partial f}{\partial s} \right)}_{0}}={{{f}'}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)cos \alpha +{{{f}'}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)cos \beta

      gdzie: cos \alpha , cos \beta to cosinusy nachylenia wektora kierunkowego do osi układu współrzędnych. Pozwoliłem sobie zastąpić je współrzędnymi wektora kierunkowego (bo można) i dostałem „mój” wzór:

      {{{f}'}_{{{{\vec{v}}}_{k}}}}\left( {{P}_{0}} \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left( {{P}_{0}} \right){{v}_{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\left( {{P}_{0}} \right){{v}_{y}}

      Jest on oczywiście równoważny z wzorem wykorzystującym pojęcie gradientu, np: \frac{\partial f}{\partial {{{\vec{v}}}_{k}}}=\nabla f\circ {{\vec{v}}_{k}}

      W Krysickim-Włodarskim bierze się on ze zdefiniowania pochodnej kierunkowej jako: {{\left( \frac{\partial f}{\partial s} \right)}_{0}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{f\left( {{x}_{0}}+tcos \alpha ,{{y}_{0}}+tcos \beta \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}, gdzie {{x}_{0}}+tcos \alpha , {{y}_{0}}+tcos \beta pochodzą z równania osi' w kierunku której liczymy pochodną.

      Jeśli weźniemy sobie funkcję złożoną:

      F\left( t \right)=f\left( {{x}_{0}}+tcos \alpha ,{{y}_{0}}+tcos \beta \right)

      …i potraktujemy jako funkcję złożoną jednej zmiennej, licząc jej pochodną (tak, jak pokazywałem to w Kursie Funkcji Wielu Zmiennych na Lekcji 4), wyjdziemy na nasz wzór (jeśli trzeba, mogę powolutku pokazać jak – ale bez definicji pochodnych cząstkowych jako takich się oczywiście nie obejdzie).

      Stąd bierze się wzór.

      Natomiast co do metody z linku to różni się od „mojej” tym, że do wskazania kierunku używa wektora, który NIE jest jednostkowy (a ja używam jednostkowych tylko). W myśl podanej przeze mnie i przez Krysickiego-Włodarskiego definicji był by to błąd (cosinusy kierunkowe nie są wtedy równe współrzędnym wektora), ale, jak pisze Wikipedia , jest to czasami dopuszczalne (przy przerobieniu definicji, oczywiście).

      Mam nadzieję, że jakoś pomogłem, służę szczegółowym wyprowadzeniem wzoru z definicji, w razie czego.

  31. Andrzej pisze:

    Witam.
    Dziękuje Panie Krystianie za ten temat, dzięki niemu zaliczyłem koło. Pamiętam jak kilka lat temu zaliczałem matmę na inżynierze. Wtedy jeszcze chodziłem do Pana na korepetycje na ul. Reymonta dzięki temu zaliczyłem. A teraz dalej walczę z matematyką na magisterce i znowu potrzebuję pomocy. Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma sprawy, miło wspominam Reymonta, pozdrawiam!

  32. Krzysztof pisze:

    A jak obliczyć takie zdanie:
    Oblicz pochodną kierunkową funkcji f(x,y)= x^(y^2)w punkcie (1,1) w kierunku osi OX ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Standardowo ze wzoru:

      {{{f}'}_{{{{\vec{v}}}_{k}}}}\left( {{P}_{0}} \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left( {{P}_{0}} \right)\cdot {{v}_{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\left( {{P}_{0}} \right)\cdot {{v}_{y}}

      z tym, że jeśli mamy liczyć w kierunku osi OX przyjmujemy sobie za wektor kierunkowy wersor {{\vec{v}}_{k}}=\left[ 1,0 \right]– zwróć uwagę, że jest to dokładnie wektor o kierunku osi OX i długości 1, czyli wektor kierunkowy.

      Teraz już tylko liczymy odpowiednie pochodne metodami pokazanymi w moim Kursie Funkcji Wielu Zmiennych:

      \frac{\partial f}{\partial x}={{\left( {{x}^{{{y}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{y}^{2}}{{x}^{{{y}^{2}}-1}}przykład w WolframAlpha

      \frac{\partial f}{\partial y}={{\left( {{x}^{{{y}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{x}^{{{y}^{2}}}}\ln x\cdot {{\left( {{y}^{2}} \right)}^{\prime }}=2y{{x}^{{{y}^{2}}}}\ln xprzykład w WolframAlpha

      oraz wartości tych pochodnych w punkcie \left( 1,1 \right):

      \frac{\partial f}{\partial x}\left( 1,1 \right)={{1}^{2}}{{1}^{{{1}^{2}}-1}}=1

      \frac{\partial f}{\partial y}\left( 1,1 \right)=2\cdot 1\cdot {{1}^{{{1}^{2}}}}\ln 1=0

      Podstawiamy wszystko do wzoru i mamy wynik:

      {{{{f}'}}_{\left[ 1,0 \right]}}\left( 1,1 \right)=1\cdot 1+0\cdot 0=1

  33. Paulina pisze:

    Dzień dobry,
    mam jedno pytanie, jak rozwiązać zadanie w którym należy policzyć pochodną kierunkową w kierunku dowolnego wektora?

    Z góry bardzo dziękuję za pomoc ;))

  34. Krystian pisze:

    Witam,
    Czy dobrze rozumiem, że zapis ∇⋅(f*v) można utożsamiać z pochodną kierunkową? (v to oczywiście nasz wektor).
    Jest to część równania z którego mam wyznaczyć wektor v. Czy da się to zrobić?

    Pozdrawiam i z góry dziękuję (choć ostatnio mało aktywny ten wątek).

  35. Ania pisze:

    Mam do rozwiązania takie zadanie:
    Oblicz pochodną funkcji f(x,y,z)=x√y ∛(z^2 ) e^(-√x+y-z^2 ) w punkcie P(1,1,1) w kierunku wektora l=[√2/3,√3/3, cosβ]

  36. Kasia pisze:

    Witam!
    Mam problem z takim zadaniem:
    Wyznaczyć taki wersor aby pochodna kierunkowa w pukcie (1,-1) była równa 1. dla funkcji f(x,y)=x^2+y^2. dla jakiego wersora pochodna kierunkowa w punkcie (1,-1) przyjmuje największą wartość? jaka jest ta wartość?

    Z góry dziękuję za pomoc.

  37. Damian pisze:

    Świetny artykuł, idealna pomoc dla studentów!
    Jedno małe „ALE” symbol „x” jako operacja mnożeina bardzo mylący z iloczynem wektorowym !

  38. Ida pisze:

    Witam Panie Krystianie,
    jeżeli przy funkcji dwóch zmiennych mam podane jedynie nachylenie kąta do osi OX, to nachylenie do osi OY bedzie wynosić 90 odjąć nachylenie do OX ?

  39. Pawel pisze:

    Jak tu jest to prosto i fajnie opisane. Czemu znalazłem to dopiero w trakcie „kampani wrześniowej”. Naprawde pomagasz !! Dziękuję
    PS. filmiki na youtube bardzo pomocne

  40. Rafał pisze:

    Panie Krystianie, odnośnie pierwszego przykładu, podobne zadanie jest w książce Banaś Wędrychowicz „Zbiór zadań z analizy matematycznej” (str. 77 zad.54), tyle że tam w odpowiedzi nie ma pierwiastka, jak u Pana. Mógłby Pan jeszcze raz wytłumaczyć dlaczego on tam musi być ?

  41. Kasia pisze:

    Witam,
    Mam problem z podobnym zadaniem. Znajdz df(1, 1, 1) oraz pochodna w punkcie (1, 1, 1) w kierunku wektora (3, 2, 1) funkcji
    f(x, y, z) = x/y + y/z. Z Pana nieopisaną pomocą chyba poradziłam sobie z częścią drugą zadania tzn(Znajdz pochodna w punkcie (1, 1, 1) w kierunku wektora (3, 2, 1) funkcji f(x, y, z) = x/y + y/z) Wyszło mi 4/pierwiastek z 14. Ale niestety w ogole nie wiem jak mam się zabrać za pierwszą część zadania co to jest df(1, 1, 1)? Pochodna funkcji x/y +y/z w punkcie (1,1,1)?

    Mam jeszcze jedno zadanie które sprawia mi dużo problemów: Niech f = f(t, u, v) — funkcja rózniczkowalna. Policzyc pochodne czastkowe funkcji
    g(x, y) = f(x^2 + y^2, x^2 − y^2, 2x). Tutaj to już w ogóle nie mam pomysłu 🙁

    Byłabym wdzięczna gdyby mi Pan pomógł 🙂 Z góry dziękuję i pozdrawiam 🙂

  42. Tomek pisze:

    Witam serdecznie, mam pytanie czy znajdę w Pana kursach rozwiązania takich zadań jak:
    1.Zbadaj różniczkowalność funkcji?
    f(x,y) =xy/(1+|x|+|y|)

    Pozdrawiam serdecznie

  43. Wiktor pisze:

    Witam! Nie wiem czy Pana sposób można zastosować do przykładu, w którym mamy policzyć pochodną kierunkową funkcji f(x,y)=(x^4 + (y-1)^4)^(1/4) w kierunku wektora (1/2^(1/2);1/2^(1/2)) w punkcie (0,1). Pochodne w tym punkcie się zerują i wychodzi wynik 0. Czy to jest poprawnie?
    Dziękuję i pozdrawiam!

  44. Paulina pisze:

    Wyznaczyć wszystkie wersory v dla których pochodna kierunkowa funkcji f(x,y)= ln(xy^2)/x w punkcie (e,e) w kierunku wersora v = 2/e^2 . Jak poradzić sobie z takim zadaniem ?:)

  45. alochowicz pisze:

    czy mógłbyś dodać do bloga kalkulator do owych funkcji ?

  46. Paweł Motyka pisze:

    Dlaczego kiedy w przykładzie trzecim zamiast vektora [1, \sqrt(3) ] użyłem [sqrt(3),1] wyszedł inny wynik? Przecież kierunek tego wektora i długość tego wektora jest taka sama, prawda?

  47. Karolina pisze:

    A w jaki sposób rozwiązać zadanie gdzie trzeba policzyć pochodną cząstkową w punkcie ale nie ma nic o żadnym wektorze? Znalazłam na forum tu: że trzeba policzyć pochodną kierunkową w tym punkcie… Ale jak to skoro nie ma żadnego wektora?