Dwa rodzaje punktów nieciągłości (granice funkcji)

 

Ciągłość funkcji w punkcie

Jak wszyscy wiemy (chociażby z mojego Kursu Granic ) funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x_0, gdy:

{lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x)={lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x)=f(x_0)

Czyli gdy granica lewostronna tej funkcji w tym punkcie równa jest granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie równa jest wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli któraś z równości nie jest spełniona, funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x_0, a punkt nazywamy punktem nieciągłości.

W tym nazywaniu można pójść krok dalej i ROZRÓŻNIĆ od siebie punkty nieciągłości. Robimy to tak:

Punkty nieciągłości I rodzaju

Punkt nieciągłości x_0 nazywamy punktem nieciągłości I rodzaju, jeśli granice {lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x),{lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x)skończone (czyli po prostu są liczbami).

Dodatkowo, jeśli te granice są równe sobie, wtedy punkt nieciągłości I rodzaju nazywamy usuwalnym.

Punkty nieciągłości II rodzaju

Punkt nieciągłości x_0 nazywamy punktem nieciągłości II rodzaju, jeśli któraś z granic {lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x),{lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x) nie jest skończona (czyli po prostu jest równa nieskończoności z plusem lub minusem).

 

Przykład 1

Funkcja z punktem nieciągłości I rodzaju

 

 

 

Ta funkcja ma w punkcie x_0=0 punkt nieciągłości (bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest 0, a granica prawostronna 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawo stronna w tym punkcie są skończone (0 i 1). Nie jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice nie są równe sobie.

 

Przykład 2

Funkcja z punktem nieciągłości I rodzaju usuwalnym

 

 

 

 

Ta funkcja ma w punkcie x_0=1 punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe wartości funkcji w tym punkcie). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawostronna są skończone (i równe 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice lewo i prawostronna są sobie równe.

 

Przykład 3

Funkcja z punktem nieciągłości II rodzaju

 

 

 

 

Ta funkcja ma w punkcie x_0=0 punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe sobie). Jest to punkt nieciągłości II rodzaju, bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest -{infty}.

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej