blog

Dwa rodzaje punktów nieciągłości (granice funkcji)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Ciągłość funkcji w punkcie

Jak wszyscy wiemy (chociażby z mojego Kursu Granic ) funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x_0, gdy:

{lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x)={lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x)=f(x_0)

Czyli gdy granica lewostronna tej funkcji w tym punkcie równa jest granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie równa jest wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli któraś z równości nie jest spełniona, funkcja f(x) nie jest ciągła w punkcie x_0, a punkt nazywamy punktem nieciągłości.

W tym nazywaniu można pójść krok dalej i ROZRÓŻNIĆ od siebie punkty nieciągłości. Robimy to tak:

Punkty nieciągłości I rodzaju

Punkt nieciągłości x_0 nazywamy punktem nieciągłości I rodzaju, jeśli granice {lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x),{lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x)skończone (czyli po prostu są liczbami).

Dodatkowo, jeśli te granice są równe sobie, wtedy punkt nieciągłości I rodzaju nazywamy usuwalnym.

Punkty nieciągłości II rodzaju

Punkt nieciągłości x_0 nazywamy punktem nieciągłości II rodzaju, jeśli któraś z granic {lim}under{x{right}{x_0}^{-}}f(x),{lim}under{x{right}{x_0}^{+}}f(x) nie jest skończona (czyli po prostu jest równa nieskończoności z plusem lub minusem).

Przykład 1

Funkcja z punktem nieciągłości I rodzaju

Ta funkcja ma w punkcie x_0=0 punkt nieciągłości (bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest 0, a granica prawostronna 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawo stronna w tym punkcie są skończone (0 i 1). Nie jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice nie są równe sobie.

Przykład 2

Funkcja z punktem nieciągłości I rodzaju usuwalnym

Ta funkcja ma w punkcie x_0=1 punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe wartości funkcji w tym punkcie). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawostronna są skończone (i równe 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice lewo i prawostronna są sobie równe.

Przykład 3

Funkcja z punktem nieciągłości II rodzaju

Ta funkcja ma w punkcie x_0=0 punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe sobie). Jest to punkt nieciągłości II rodzaju, bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest -{infty}.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie spotkałem się z tak łopatologicznym (i skutecznym) tłumaczeniem Królowy Nauk. Nie jeden z moich towarzyszy niedoli na polibudzie chwalił te kursy (każdy, który z nich skorzystał). Nie jeden uważa, że za ects powinno się Panu Krystianowi postawić pomnik na kampusie. Kursy ogląda się z wielką przyjemnością gdyż po kilku porażkach nauki z pomocą dydaktyczną z ćwiczeń i wykładów człowiek tracił wiarę w siebie. Jednak po każdej minucie z e-trapezem odzyskuje się wiarę w siebie gdyż wszystko staje się jasne. Polecam!

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. sssss11 pisze:

    Wreszcie w jakiś logicczny sposob zostalo to wytlumaczone !!
    DZIEKUJE!!

  2. Wiki pisze:

    Witam.
    Chciałam zapytać jak należy narysować punkt nieciągłości drugiego rodzaju na wykresie funkcji?

  3. Rafał pisze:

    Witam!!
    W książce analiza matematyczna Krysicki, Włodarski, jest parę takich zadań
    piszę żeby zbadać ciągłość funkcji, jest podana funkcja np. f(x)=x+1/x ale niema podanych tych punktów.
    Jak takie coś się liczy??

    1. Krystian Karczyński pisze:

      W tym przypadku wystarczy wyznaczyć dziedzinę. Funkcja oczywiście nie jest ciągła w punktach, które w ogóle nie należą do dziedziny.

      W przypadku np. funkcji f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}funkcja jest ciągła w przedziale R\backslash \left\{ 0 \right\}.

    2. Sebastian pisze:

      Zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera to nie przedział tylko suma przedziałów!

  4. Magda pisze:

    Hej! A co jeśli w dziedzinie funkcji występuje np x>0 , x =0 ? Co z granicą prawostronną?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Hej! Chodzi o przedział dziedziny \left. \left\langle 0,\infty \right. \right)? x=0 nie jest wtedy na pewno wykresem asymptoty prawostronnej i jeśli funkcja nie istnieje na lewo od zera to nie jest również lewostronnej.

  5. Stefan pisze:

    Ja miałbym do Pana takie pytanie z „innej beczki”. Czy da się w jakiś prosty sposób sprawdzać granice ciągów z definicj? Mam tu na myśli np. ciągi wymierne(z drugimi i trzecimi stopniami potęgi) i wykładnicze.