函数的水平和斜渐近线

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。

函数的水平和斜渐近线之间的关系如下：水平渐近线是特殊的斜渐近线。也就是说，每一个水平渐近线也是斜渐近线，但并不是每个斜渐近线都是水平的。

我们可以并且应该利用这一点来简化计算函数渐近线的过程。有两种主要的方法来处理这个话题：

1. 首先计算水平渐近线

这种方法在我的视频课程《函数行为研究》中有所展示。
函数存在水平渐近线的条件是：

或者

如果我们得到了水平渐近线，那么就不再计算斜渐近线了（因为就好像斜渐近线已经出现了一样 – 记住，水平的就是斜的）。但如果没有水平渐近线出现，那我们就有麻烦了 – 需要重新计算斜渐近线。

当然情况会更复杂一些：水平渐近线可能在 出现，而在 不出现。在这种情况下，我们不会在 研究斜渐近线的存在（因为它已经出现了），但我们需要在 研究它的存在。

2. 首先计算斜渐近线

…然后水平渐近线可能会（或不会）自动出现，我们只需要正确解释答案。这种方法我没有在我的课程中展示。缺点是函数存在斜渐近线的条件稍微复杂一些：

和

或：

和

…而好处是，一旦计算完毕就不需要进一步计算了。如果条件得到满足，且根据斜渐近线存在的条件中的数值 （或 ）等于 ，这意味着斜渐近线实际上是水平渐近线。

为了进一步简化工作，我们可以直接计算：

和

而只有在必要时（即当结果会因为 x 趋向于 或 而有所不同时），才分别计算 和 的条件。