blog

Asymptoty poziome i ukośne funkcji

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Związek pomiędzy asymptotami poziomymi i ukośnymi jest następujący: asymptoty poziome to są szczególnymi asymptotami ukośnymi. Każda asymptota pozioma zatem jest asymptotą ukośną, ale nie każda ukośna jest poziomą.

Można i należy to wykorzystać, aby skrócić sobie liczenie asymptot funkcji. Możliwe są bowiem dwa zasadnicze podejścia do tego tematu:

1. Najpierw liczymy asymptoty poziome

Warunkiem na istnienie asymptoty poziomej funkcji jest:

lim{x{right}{infty}}f(x)=liczba lub lim{x{right}-{infty}}f(x)=liczba

Jeżeli wyjdą nam asymptoty poziome, nie liczymy już ukośnych (bo jest tak, jakby ukośne nam już wyszły – pamiętamy, że poziome to ukośne). Jednak jeżeli poziome nam nie wyjdą to mamy kłopot – musimy od nowa liczyć asymptoty ukośne.

Oczywiście sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana: asymptota pozioma może nam “wyjść” w +{infty}, a “nie wyjść” w -{infty}. W takim przypadku nie badalibyśmy istnienia asymptoty ukośnej w +{infty} (bo już nam tam wyszła), ale musielibyśmy badać jej istnienie w -{infty}.

2. Najpierw liczymy asymptoty ukośne

…i wtedy asymptoty poziome wyjdą nam (albo i nie) automatycznie, trzeba będzie tylko właściwie zinterpretować odpowiedzi. Minusem jest to, że na istnienie asymptoty ukośnej funkcji są troszeczkę bardziej skomplikowane warunki:

lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{infty}}({f(x)-ax})=liczba b

lub:

lim{x{right}{-infty}}{{f(x)}/x}=liczba c i lim{x{right}{-infty}}({f(x)-cx})=liczba d

…a plusem jest to, że jak już je policzymy nie trzeba liczyć nic dalej. Jeżeli warunki są spełnione i liczba a (lub c) z warunków na istnienie asymptoty ukośnej wyjdzie równa 0, to znaczy, że asymptota ukośna jest asymptotą poziomą.

Żeby dodatkowo skrócić sobie robotę, można liczyć od razu:

lim{x{right}{{pm}infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{{pm}infty}}({f(x)-ax})=liczba b

A rozbicie na liczenie osobno warunków dla x{right}{infty} i x{right}-{infty} tylko wtedy, kiedy będzie to konieczne (kiedy będzie robiło różnicę w yniku, czy x dąży do +{infty}, czy do -{infty}).

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Jestem zadowolony z kursu. Logika zaliczona. Do łba przez prawie miesiąc nic nie nie wchodziło a tu raptem w trakcie kursu doznałem olśnienia. Dodam, iż dokonałem jego zakupu dwa dni przed ogłoszeniem wyroku i to wystarczyło, aby go odroczyć – mam nadzieję, że na zawsze. Teraz studiuję pozostałe kursy i patrzę jasno w przyszłość. Polecam go każdemu a w szczególności tym koleżankom i kolegom, którzy uważają, że wszystko jest stracone.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. kuba pisze:

    Mam zbadac funckje 2x-sinx
    Wiadomo pionowe nie istnieja , a ukośne według odpowiedzi tez nie .
    Ale wychodzi mi ze lim f(x)/x=2
    A b wcale nie wychodzi (lim sinx) I
    I co teraz?

  2. Agata Bąk pisze:

    Witam, czy byłaby możliwość na podstawie tego: f(2)=f(5)=lim(x->+oo)f(x)=lim(x->2+)f(x)=lim(x->-2-)f(x)=2lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-2+)f(x)=lim(x->5)f(x)=f(1)=0lim(x->2-)f(x)=lim(x->6)f(x)=+oostwierdzić, czy*f ma trzy asymptoty pionowe*f ma jedną asymptotę poziomą*f nie ma asymptoty ukośnejMogę prosić o pomoc? Z góry dziękuję 🙂

  3. Kamil pisze:

    Witam, mam problem z asypmtotami funkcji ( e ^ ( x ^ 2 ) ) – 1. Mogę prosić o pomoc?

  4. bitemyass pisze:

    Jak policzyć asymptotę y=xe^2x

    1. Magda pisze:

      Witam,Czu mogę prosić o pomoc w obliczeniu tego zadania? f(x)=fraction numerator x minus 1 over denominator x plus 3 end fraction comma space x greater or equal than 1Mam wyznaczyć asymptotę ukośną funkcji f oraz zbadać monotoniczność funkcji f w przedziale open parentheses 1 comma plus infinity close parenthesesNiestety w sobotę egzamin , a ja na tym utknęłam, bo nie rozumiem tego zupełnie88/9c/79a6ea4f38d699f43eb23d0cf0e4.png” alt=”plus infinity” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/math»” /> (asymptota pozioma prawostronna) lub w negative infinity (asymptota pozioma lewostronna) istnieje i jest równa pewnej stałej liczbie.e3/10/01673a57d2bb45516dda4702ad94.png” alt=”y equals x” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math»” />.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  5. Krystian pisze:

    Jak należałoby obliczyć asymptoty z y=x^3/x-1?

  6. Anna pisze:

    Witam.Chciałam zapytać co wtedy, gdy z dziedziny funkcji “wypadają” nam jakieś liczby, ale granice w tych punktach istnieją?Np. dziedziną funkcji jest open parentheses negative infinity comma 1 close parentheses union open parentheses 1 comma plus infinity close parentheses, ale granica w 1 istnieje. Czy wtedy x=1 jest asymptotą poziomą?0a/00/ff93c2d394fe1e8c73e8818a900b.png” alt=”a equals 1″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»” />

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus 1 x equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus fraction numerator x open parentheses x squared minus 4 close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator open parentheses x cubed minus 1 close parentheses minus open parentheses x cubed minus 4 x close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 minus x cubed plus 4 x over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 x minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x open parentheses 4 minus begin display style 1 over x end style close parentheses over denominator x squared open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 minus 1 over x over denominator x open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator 4 over denominator plus-or-minus infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

    czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna obustronna ma równanie y equals x.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

    -> dla asymptoty lewostronnej

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

    czyli a equals 0

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

    czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

    76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

    całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

    95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

    e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

    open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

    z equals C times e to the power of x squared end exponent

    Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

    z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

    z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

    Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

    z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

    C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

    integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

    C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

    Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

    z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

    Ponieważ z equals 1 over y squared, to

    y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

     

     

    ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

    p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

    u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

    v apostrophe minus 2 v equals 0

    fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

    fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

    integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

    ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

    Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

    e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

    open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

    v equals e to the power of 2 x end exponent

    Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

    u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

    u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

    1. Anna Zalewska pisze:

      Pani Anno,

      w takim przypadku prosta x equals 1 nie jest asymptotą. 

      Asymptotę pionową prawo- lub lewostronną mamy, gdy granica odpowiednio prawo- lub lewostronna funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, wynosi plus-or-minus infinity

      Asymptotę poziomą mamy, gdy granica funkcji w plus infinity (asymptota pozioma prawostronna) lub w negative infinity (asymptota pozioma lewostronna) istnieje i jest równa pewnej stałej liczbie.

      e3/10/01673a57d2bb45516dda4702ad94.png” alt=”y equals x” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math»” />.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  7. bitemyass pisze:

    Jak wyznaczyć asymptotę dla y=xe^1/2  oraz y=xe do potęgi 1/x

    1. Anna Zalewska pisze:

      Funkcja y equals x e to the power of 1 half end exponent jest funkcją liniową. Może lepiej to będzie widać, jak zapiszemy ją w ten sposób: y equals square root of e x. Funkcja liniowa nie ma żadnych asymptot, niezależnie od jej współczynników.

       

      Sposób wyznaczenia asymptot funkcji y equals x e to the power of 1 over x end exponent znajdziemy w filmiku:

      https://www.youtube.com/watch?v=y_B1G5TmdUw&feature=share8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna obustronna ma równanie y equals x.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  8. Anna pisze:

    a jak wyznaczać asymptoty takiej funkcji: y=x arcctg 1/xBardzo proszę o odpowiedź i z góry dziękuję! 🙂

    1. Kamil Kocot pisze:

      Aby wyznaczyć asymptoty funkcji y equals x space a r c c t g 1 over x postępujemy zgodnie ze schematem podanym powyżej.

      D subscript f equals R backslash open curly brackets 0 close curly brackets

      1. Asymptoty pionowe

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets 0 to the power of plus times a r c space c t g 1 over 0 to the power of plus equals 0 to the power of plus times a r c space c t g open parentheses plus infinity close parentheses equals 0 to the power of plus times 0 close square brackets equals 0 limit as x rightwards arrow 0 to the power of minus of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets 0 to the power of minus times a r c space c t g 1 over 0 to the power of minus equals 0 to the power of minus times a r c space c t g open parentheses negative infinity close parentheses equals 0 to the power of plus times straight pi close square brackets equals 0

      To oznacza, że nie ma asymptoty pionowej. Dodatkowo poniżej wykres funkcji

      y equals a r c c t g x dla przypomnienia granic.

      2. Asymptoty poziome

      limit as x rightwards arrow plus infinity of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets plus infinity times a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus infinity end fraction equals plus infinity times a r c space c t g 0 equals plus infinity times straight pi over 2 close square brackets equals plus infinity limit as x rightwards arrow negative infinity of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets negative infinity times a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator negative infinity end fraction equals negative infinity times a r c space c t g 0 equals negative infinity times straight pi over 2 close square brackets equals negative infinity

      Stąd wniosek, że nie ma asymptot poziomych.

      3. Asymptoty ukośne

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator x space a r c c t g 1 over x over denominator x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space a r c c t g 1 over x end cell row blank equals cell open square brackets a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus-or-minus infinity end fraction equals a r c space c t g 0 close square brackets equals straight pi over 2 end cell row blank blank blank row blank blank blank end table

      Stąd a equals straight pi over 2.

      Dalej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of open square brackets f left parenthesis x right parenthesis minus a x close square brackets end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space x space a r c c t g 1 over x minus straight pi over 2 x equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space x open parentheses space a r c c t g 1 over x minus straight pi over 2 close parentheses end cell row blank equals cell open square brackets plus-or-minus infinity times open parentheses a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus infinity end fraction minus straight pi over 2 close parentheses equals plus-or-minus infinity times open parentheses a r c space c t g 0 minus straight pi over 2 close parentheses equals plus-or-minus infinity times 0 close square brackets end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator a r c c t g 1 over x minus straight pi over 2 over denominator begin display style bevelled 1 over x end style end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets to the power of H end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator begin display style fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus open parentheses begin display style bevelled 1 over x end style close parentheses squared end fraction end style times open parentheses negative begin display style 1 over x squared end style close parentheses over denominator negative begin display style bevelled 1 over x squared end style end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus open parentheses begin display style bevelled 1 over x end style close parentheses squared end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus 0 end fraction close square brackets equals negative 1 end cell end table

      Stąd b equals negative 1.

      Tym samym asymptotą ukośną obustronną jest prosta y equals straight pi over 2 x minus 1.cc/2f/fdb6f730c9c1f2b126b3cbfafc83.png” alt=”x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin left parenthesis b t right parenthesis close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»” />

       

      Dla naszego przykładu:

      s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i

      całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  9. Audrey pisze:

    A jak się zabrać za coś takiego:  f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator x hat 2 plus 1 end fraction d l a space open vertical bar x close vertical bar less-than or slanted equal to 4 end cell row cell fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x hat 2 plus x plus 5 end fraction d l a space open vertical bar x close vertical bar greater than 4 space end cell end table close?Należy wyznaczyć wykres asymptoty ukośnej.95/66/633f82dd0f99d86afe68fd799db3.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x squared end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
    equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
    equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 3 x squared equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 x to the power of 4 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»`«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 2 y equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 3 x squared equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses 2 over 3 y close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 2 y equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 8 over 9 y squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent39/fe/61ab0e5992af85a04dc74214335d.png” alt=”C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x
    C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x
    C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by integral
    C open parentheses x close parentheses equals integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x
    integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals integral x squared d x plus integral 2 x d x plus integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»:«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»” />

    Czyli:

    C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

    Moje rozwiązanie równania jest więc równe:

    Odp. y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x


    Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.

     42/99/551fd746382cfc89fce576167f15.png” alt=”y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mo»§#8710;«/mo»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»” />cb/01/b72e7db9d1268925a296a051502e.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos left parenthesis b t right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin left parenthesis b t right parenthesis” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»” />

    całka ogólna: x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin left parenthesis b t right parenthesis close parentheses

     

    Dla naszego przykładu:

    s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i

    całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t

    całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

    95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

    e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

    open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

    z equals C times e to the power of x squared end exponent

    Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

    z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

    z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

    Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

    z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

    C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

    integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

    C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

    Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

    z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

    Ponieważ z equals 1 over y squared, to

    y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

     

     

    ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

    p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

    u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

    v apostrophe minus 2 v equals 0

    fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

    fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

    integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

    ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

    Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

    e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

    open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

    v equals e to the power of 2 x end exponent

    Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

    u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

    u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

    1. Kamil Kocot pisze:

      Korzystając ze wzorów na a i b wyliczamy współczynniki dla prostej y equals a x plus b będącej asymptotą ukośną. Będziemy korzystać ze wzoru 2 funkcji ponieważ granice będą w plus-or-minus infinity.

      Mamy kolejno

      -> dla asymptoty prawostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x greater than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals x on top limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets 2 over infinity close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x greater than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets 2 over infinity close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  10. Martyna pisze:

    a jak a=b ? to są te ukośne czy nie?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Tak, oczywiście są ukośne 😉

      Np. a=b=2 będziemy mieli asymptotę postaci y=2x+2.

      W przypadku gdy a=b=0 to będziemy mieli asymptotę postaci y=0, czyli asymptotę poziomą (a taka też jest ukośną) 🙂

  11. Martyna pisze:

    A jak obliczyć asymptoty ukośne w tej funkcji: y=lnx/x. ??

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Rozwiążę ten przykład od początku:
      \displaystyle y=\frac{{\ln x}}{x}

      1. Dziedzina
      — x>0 (ze względu na logarytm)
      \displaystyle x\ne 0 (z mianownika ułamka)
      czyli:
      \displaystyle Dy:x\in (0,\infty )

      2. Asymptoty pionowe.

      \displaystyle \underset{{x\to {{0}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}=\left[ {\frac{{-\infty }}{{{{0}^{+}}}}} \right]=-\infty
      \displaystyle \underset{{x\to {{0}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}=\left[ {\frac{{-\infty }}{{{{0}^{-}}}}} \right]=\infty

      Mam więc asymptotę pionową \displaystyle x=0Prawostronną (biorę tylko jednostronną ze względu na dziedzinę).

      UWAGA.
      W podstawieniu granicy wyszło mi nieskończoność przez zero. Jednak NIE jest to symbol nieoznaczony. Nieskończoność przez zero to symbol wyrażenia, w którym licznik przyjmuje wartości nieskończenie wielkie, a mianownik nieskończenie małe (w sensie nieskończenie bliskie zera (nie \displaystyle {-\infty })

      Można to porównać ze wzorem na granicę \displaystyle \left[ {\frac{A}{0}} \right], gdzie ta stała A jest bardzo bardzo duża po prostu.

      3. Asymptoty ukośne/poziome.

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{\ln x}}{x}}}{x}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{{{{x}^{2}}}}\underset{H}{\overset{{\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]}}{\mathop{=}}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {\ln x} \right)'}}{{\left( {{{x}^{2}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{x}}}{{2x}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}=\left[ {\frac{1}{\infty }} \right]=0

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\ln x}}{x}-0\cdot x} \right)=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}\underset{H}{\overset{{\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]}}{\mathop{=}}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {\ln x} \right)'}}{{\left( x \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{x}}}{1}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{x}=0

      Mam więc asymptotę poziomą \displaystyle y=0.

    2. studentpgwpotrzebie pisze:

      czy w tym przykładzie nie powinno sie zbadac tez lim x→(-∞) dla asymptot ukośnych mimo że dziedzina to x>0? robię podobny przykład tylko z pierwiastkiem w mianowniku i nie zgadza mi sie również ze y=0 mogloby byc asymptota poziomą bo wykres przecina OX w x=1 wiec to sie wzajemnie wyklucza. Prosze o pomoc !! 

  12. Justyna pisze:

    Jak obliczyć asymptoty ukośne tutaj : x^2+1/x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pozwoliłem sobie zinterpretować wzór funkcji tak: f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}(inaczej wykres nie miałby w ogóle asymptot ukośnych)

      Liczę przy x->oo :

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\cdot \frac{1}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}}=1

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-\frac{{{x}^{2}}}{x} \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x} \right)=0

      i przy x -> -oo :

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=1– korzystając z poprzednich obliczeń

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=0– korzystając z poprzednich obliczeń

      Piszę odpowiedź: y=x jest asymptotą ukośną badanej funkcji zarówno przy x->oo, jak i x-> -oo.

      Co potwierdza wykres funkcji f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}:

      Wykres funkcji (x^2+1)/x

  13. MW pisze:

    mam problem z wyznaczeniem asympmtot w takim przykładzie 3stopnia√x^2−x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Chodzi o coś takiego:

      y=\sqrt[3]{{{x}^{2}}-x}?

    2. MW pisze:

      “- x” jest za pierwiastkiem

  14. Agnieszka pisze:

    Badam następującą funkcję: y=((x^3)-1)/((x^2)-4). Policzyłam asymptoty pionowe i wyszły mi x=-2 oraz x=2 (i jest to zgodne z wykresem). Policzyłam również asymptotę ukośną i wyszła mi y=x, ale nie jestem pewna czy jest to poprawne (podejrzewam, że popełniłam błąd). Proszę o pomoc

    1. Kamil Kocot pisze:

      W przypadku asymptot ukośnych (od razu obustronne można liczyć bo wyniki będą podobne) obliczenia powinny być następujące:

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction end style over denominator x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction times 1 over x end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x cubed minus 4 x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed open parentheses 1 minus begin display style 1 over x cubed end style close parentheses over denominator x cubed open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 1 minus 1 over x cubed over denominator 1 minus 4 over x squared end fraction equals 1 over 1 equals 1 end cell end table

      czyli a equals 1

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus 1 x equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus fraction numerator x open parentheses x squared minus 4 close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator open parentheses x cubed minus 1 close parentheses minus open parentheses x cubed minus 4 x close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 minus x cubed plus 4 x over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 x minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x open parentheses 4 minus begin display style 1 over x end style close parentheses over denominator x squared open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 minus 1 over x over denominator x open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator 4 over denominator plus-or-minus infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna obustronna ma równanie y equals x.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  15. polaco pisze:

    a mój wykładowca liczy asymptote poziomą normalnie na żywca tzn żę lim dąży do nieskaczonosci z wzoru na funkcje tego co na poczatku zadania…mozna tak?

  16. fred pisze:

    co jeżeli przy liczeniu granicy funkcji przy x -> +nieskończoności wychodzi nieskończoność, a przy x-> -nieskończoności wychodzi liczba 0.
    sprawdzam wtedy ukośne tylko przy x_. do -nieskoncznosci czy do +nieskonczonosci rowniez?

    1. fred pisze:

      ok, już wiem, że wtedy badam ukośną tylko przy x-> +nieskończoności 🙂

  17. Rafał pisze:

    Witam!
    Mam taki problem. takie zadanie y= 1/x^2
    Df x różny od 0
    więc liczymy granice w -0 i +0 i obie wychodzą +nieskończoność
    więc asymptota pionowa jest prawo Stronna, a w odpowiedziach jest obustronna dlaczego??

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam!

      Granica w -0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +nieskończoność, czy -nieskończoność) -> zatem jest asymptota pionowa lewostronna.
      Granica w +0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +, czy -) -> zatem jest asymptota pionowa prawostronna.

      Istnieje granica lewostronna i istnieje granica prawostronna -> zatem istnieje granica obustronna.

      Widać to dobrze na wykresie funkcji:

      1przezx^2

  18. Szymon pisze:

    Witam, mam pytanie odnośnie funkcji y=(x^2 + 4) / x. jakie ona ma asymptoty i ukośne i poziome ? może ktoś wyjaśnić ?

  19. Sylwia pisze:

    mam problem jak wyznaczyc asymptotę z takiej funkcji f(x)=x-arc tgx

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wyznaczyłem tutaj, zapraszam:

    2. juras pisze:

      Dlaczego nie można tego przykładu policzyć za pomocą reguły De L’Hospitala? Przy x->nieskończoność:
      (x-arctgx)/x daje nam symbol [nieskończoność/nieskończoność].
      Licząc pochodne wychodzi:
      [1+1/(x^2+1)]/1, czyli (x^2+2)/(x^2+1).
      Wyciągamy x^2 przed nawias, skracamy i wychodzi 1.
      Pozdrawiam!

    3. Bartosz Student AiR pisze:

      (x-arctgx)/x daje symbol [nieskończoność – nieskończoność/nieskończoność], ponieważ x-arctgx przy x–>nieskończoności daje wyrażenie nieoznaczone [nieskończoność-nieskończoność], a nie tak jak napisałeś [nieskończoność]. Ponieważ dzieje się tak, musimy zrobić to w taki sposób, w jaki zrobił to Pan Karczyński.
      Pozdrawiam 🙂

    4. J.T pisze:

      Dla potomnych: Zarówno Pan Karczyński, jak i użytkownik Bartosz Student AiR piszą bzdury. Oczywiście jest to symbol nieoznaczony [nieskończoność/nieskończoność] i jak najbardziej ów granicę można policzyć stosując regułę de L’Hospitala (czy jest to sposób optymalny to oczywiście inny temat).Pozdrawiam.

  20. Martyna pisze:

    a jeżeli mam funkcję x^3-x^2-2x / x^2+x-6 to co wtedy? bo nie jestem pewna..

    1. Martyna pisze:

      ten pierwszy już wiem 🙂 ale problem mam z takim przykładem x^3+2x^2-x-1 / x^2+3x+2 , nie mam pojęcia jak to rozpisać, dzieliłam wielomiany przez siebie ale to też nic mi nie dało, nie wiem co i jak.

  21. Kuba pisze:

    Witam. Mam pytanie czy jest możliwość żeby funkcji nie miała w ogóle asymptot ? Żadnych.. ?

    1. Cezary pisze:

      Oczywiście, tak. Np. funkcja f(x)=sin x

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Dokładnie. Pełno funkcji nie ma asymptot.

  22. Magda pisze:

    A co jeżeli mam policzyć asymptoty dla funkcji

    f(x) = pierw. z x^2+1
    ——————-
    x

    Czy to możliwe, żeby asymptoty poziome wyszły +nieskończoność i – nieskończoność i po policzeniu skośnych dla +nieskończoności wyszło 1? Wydaje mi się, że nie umiem za bardzo wykonywać działań z pierwiastkami 🙂

  23. Damian pisze:

    A jest jakas zasada np gdy w dziedzinie wychodzi nam przedzial (-1,1] i bedzie asymptota pionowa w x=-1 to mozna od razu stwierdzic ze nie bedzie ukosnych?
    Mialem wlasnie problem z obliczeniem ukosnych, wrzucilem zadania na forum i dostalem od razu odpowiedz ze skoro jest tylko taki jeden przedzial, to nie bedzie ukosnych.

    (Funckcja jest taka: f(x) = \sqrt{ {1-x} / {1+x} } )

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No tak, w pewnym sensie “jest taka zasada” asymptoty ukośne mogą istnieć tylko dla x\to \infty lub x\to -\infty tak więc gdy dziedziną funkcji jest przedział \left. x\in \left( -1,1 \right. \right\rangle , to nie ma nawet gdzie jej szukać i oczywiście nie istnieje.

      Ale nie jest to kwestia jakiś asymptot pionowych.

  24. Vivson pisze:

    kurcze, jakbys tak jeszce zadnie jakies dal 😀

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No weźmy na przykład funkcję left( x right)=frac{1+x}{1-x}

      Licząc pierwszym podejściem liczę najpierw asymptoty poziome:

      underset{xto infty }{mathop{lim }}frac{1+x}{1-x}=underset{xto infty }{mathop{lim }}frac{xleft( frac{1}{x}+1 right)}{xleft( frac{1}{x}-1 right)}=-1

      underset{xto -infty }{mathop{lim }}frac{1+x}{1-x}=underset{xto -infty }{mathop{lim }}frac{xleft( frac{1}{x}+1 right)}{xleft( frac{1}{x}-1 right)}=-1

      Stwierdzam więc, że asymptoty poziome istnieją (przy xto infty i xto -infty , o równaniu y=-1) i ukośnych już nie szukam. Bo poziome to są właśnie szczególne ukośne.

      Licząc drugim podejściem liczę najpierw asymptoty ukośne:

      underset{xto infty }{mathop{lim }}frac{frac{1+x}{1-x}}{x}=underset{xto infty }{mathop{lim }}frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=underset{xto infty }{mathop{lim }}frac{xleft( tfrac{1}{x}+1 right)}{{{x}^{2}}left( tfrac{1}{x}-1 right)}=0

      underset{xto infty }{mathop{lim }}left( frac{1+x}{1-x}-0cdot x right)=-1

      underset{xto -infty }{mathop{lim }}frac{frac{1+x}{1-x}}{x}=underset{xto -infty }{mathop{lim }}frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=underset{xto -infty }{mathop{lim }}frac{xleft( tfrac{1}{x}+1 right)}{{{x}^{2}}left( tfrac{1}{x}-1 right)}=0

      underset{xto -infty }{mathop{lim }}left( frac{1+x}{1-x}-0cdot x right)=-1

      I stwierdzam, że asymptoty ukośne istnieją (przy xto infty i xto -infty , o równaniu y=-1) i poziomych już nie szukam, bo poziome to i tak szczególne ukośne.

      W tym konkretnym przykładzie punkt dla podejścia pierwszego, ale jakby były ukośne nie-poziome, drugie podejście jest krótsze.

      Mnóstwo przykładów krok-po-kroku na video jest w moim Kursie .

    2. To pisze:

      [latex] \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0 [/latex]

    3. To pisze:

      Z tego wszystkiego nie rozumiem niestety jednego. Skąd wyszło 0 przy obliczaniu asymptoty ukośnej? Mozna skrócić sobie tak po prostu x i x² i z tego wychodzi nam zero?

    4. Krystian Karczyński pisze:

      No bo to idzie tak:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}

      I teraz wiemy, że stała przez nieskończoność dąży do zera: \left[ \frac{A}{\pm \infty } \right]=0(polecam mój Kurs Granic z omówieniem tych wzorów).

      Tak więc licznik dąży do 1, a mianownik do nieskończoności. Zatem całość do zera:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

    5. Dionizos pisze:

      Polecam zapoznanie się z pochodnymi i regułą de L’Hospitala. Limes dla f(x)/g(x) = limes dla f’/g’. Więc wyciągając kolejne pochodne pochodnych można dojść w tym wypadku do równania (1+x)/(x-x^2) = 1/(1-2x) = 0/2 = 0 i dlatego współczynnik ‘a’ w równaniu y=ax+b jest równy 0 czyli pochodna jest pozioma. Co za tym idzie oznacza to obecność ekstremum funkcji w przedziale. Naprawdę ułatwiają te pochodne szybkie i sprawne obliczenia asymptot ukośnych dla wielu funkcji, więc serdecznie polecam 😉

    6. hehe pisze:

      heh

  25. Artur pisze:

    A co jeśli podczas liczenia asymptoty skośnej wyjdzie nam nieskończoność?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wtedy asymptota ukośna nie istnieje (no i oczywiście pozioma też, bo każda pozioma to ukośna), tam gdzie wyszła nam nieskończoność (a mogła nam wyjść przy x{right}+{infty} lub x{right}-{infty} lub tu i tu).

  26. marek pisze:

    Super wyjaśnione 🙂