DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Asymptoty poziome i ukośne funkcji

Krystian Karczyński

Związek pomiędzy asymptotami poziomymi i ukośnymi jest następujący: asymptoty poziome to są szczególnymi asymptotami ukośnymi. Każda asymptota pozioma zatem jest asymptotą ukośną, ale nie każda ukośna jest poziomą.

Można i należy to wykorzystać, aby skrócić sobie liczenie asymptot funkcji. Możliwe są bowiem dwa zasadnicze podejścia do tego tematu:

1. Najpierw liczymy asymptoty poziome

Warunkiem na istnienie asymptoty poziomej funkcji jest:

lim{x{right}{infty}}f(x)=liczba lub lim{x{right}-{infty}}f(x)=liczba

Jeżeli wyjdą nam asymptoty poziome, nie liczymy już ukośnych (bo jest tak, jakby ukośne nam już wyszły – pamiętamy, że poziome to ukośne). Jednak jeżeli poziome nam nie wyjdą to mamy kłopot – musimy od nowa liczyć asymptoty ukośne.

Oczywiście sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana: asymptota pozioma może nam „wyjść” w +{infty}, a „nie wyjść” w -{infty}. W takim przypadku nie badalibyśmy istnienia asymptoty ukośnej w +{infty} (bo już nam tam wyszła), ale musielibyśmy badać jej istnienie w -{infty}.

2. Najpierw liczymy asymptoty ukośne

…i wtedy asymptoty poziome wyjdą nam (albo i nie) automatycznie, trzeba będzie tylko właściwie zinterpretować odpowiedzi. Minusem jest to, że na istnienie asymptoty ukośnej funkcji są troszeczkę bardziej skomplikowane warunki:

lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{infty}}({f(x)-ax})=liczba b

lub:

lim{x{right}{-infty}}{{f(x)}/x}=liczba c i lim{x{right}{-infty}}({f(x)-cx})=liczba d

…a plusem jest to, że jak już je policzymy nie trzeba liczyć nic dalej. Jeżeli warunki są spełnione i liczba a (lub c) z warunków na istnienie asymptoty ukośnej wyjdzie równa 0, to znaczy, że asymptota ukośna jest asymptotą poziomą.

Żeby dodatkowo skrócić sobie robotę, można liczyć od razu:

lim{x{right}{{pm}infty}}{{f(x)}/x}=liczba a i lim{x{right}{{pm}infty}}({f(x)-ax})=liczba b

A rozbicie na liczenie osobno warunków dla x{right}{infty} i x{right}-{infty} tylko wtedy, kiedy będzie to konieczne (kiedy będzie robiło różnicę w yniku, czy x dąży do +{infty}, czy do -{infty}).

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Artur pisze:

    A co jeśli podczas liczenia asymptoty skośnej wyjdzie nam nieskończoność?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wtedy asymptota ukośna nie istnieje (no i oczywiście pozioma też, bo każda pozioma to ukośna), tam gdzie wyszła nam nieskończoność (a mogła nam wyjść przy x{right}+{infty} lub x{right}-{infty} lub tu i tu).

  2. Vivson pisze:

    kurcze, jakbys tak jeszce zadnie jakies dal 😀

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No weźmy na przykład funkcję \left( x \right)=\frac{1+x}{1-x}

      Licząc pierwszym podejściem liczę najpierw asymptoty poziome:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{1+x}{1-x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x\left( \frac{1}{x}+1 \right)}{x\left( \frac{1}{x}-1 \right)}=-1

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{1+x}{1-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{x\left( \frac{1}{x}+1 \right)}{x\left( \frac{1}{x}-1 \right)}=-1

      Stwierdzam więc, że asymptoty poziome istnieją (przy x\to \infty i x\to -\infty , o równaniu y=-1) i ukośnych już nie szukam. Bo poziome to są właśnie szczególne ukośne.

      Licząc drugim podejściem liczę najpierw asymptoty ukośne:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\left( \frac{1+x}{1-x}-0\cdot x \right)=-1

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{lim }}\left( \frac{1+x}{1-x}-0\cdot x \right)=-1

      I stwierdzam, że asymptoty ukośne istnieją (przy x\to \infty i x\to -\infty , o równaniu y=-1) i poziomych już nie szukam, bo poziome to i tak szczególne ukośne.

      W tym konkretnym przykładzie punkt dla podejścia pierwszego, ale jakby były ukośne nie-poziome, drugie podejście jest krótsze.

      Mnóstwo przykładów krok-po-kroku na video jest w moim Kursie .

    2. To pisze:

      [latex] \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0 [/latex]

    3. To pisze:

      Z tego wszystkiego nie rozumiem niestety jednego. Skąd wyszło 0 przy obliczaniu asymptoty ukośnej? Mozna skrócić sobie tak po prostu x i x² i z tego wychodzi nam zero?

    4. Krystian Karczyński pisze:

      No bo to idzie tak:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1+x}{1-x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x}{x-{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \tfrac{1}{x}+1 \right)}{{{x}^{2}}\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}

      I teraz wiemy, że stała przez nieskończoność dąży do zera: \left[ \frac{A}{\pm \infty } \right]=0(polecam mój Kurs Granic z omówieniem tych wzorów).

      Tak więc licznik dąży do 1, a mianownik do nieskończoności. Zatem całość do zera:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{x}+1}{x\left( \tfrac{1}{x}-1 \right)}=0

    5. Dionizos pisze:

      Polecam zapoznanie się z pochodnymi i regułą de L’Hospitala. Limes dla f(x)/g(x) = limes dla f’/g'. Więc wyciągając kolejne pochodne pochodnych można dojść w tym wypadku do równania (1+x)/(x-x^2) = 1/(1-2x) = 0/2 = 0 i dlatego współczynnik 'a' w równaniu y=ax+b jest równy 0 czyli pochodna jest pozioma. Co za tym idzie oznacza to obecność ekstremum funkcji w przedziale. Naprawdę ułatwiają te pochodne szybkie i sprawne obliczenia asymptot ukośnych dla wielu funkcji, więc serdecznie polecam 😉

    6. hehe pisze:

      heh

  3. Damian pisze:

    A jest jakas zasada np gdy w dziedzinie wychodzi nam przedzial (-1,1] i bedzie asymptota pionowa w x=-1 to mozna od razu stwierdzic ze nie bedzie ukosnych?
    Mialem wlasnie problem z obliczeniem ukosnych, wrzucilem zadania na forum i dostalem od razu odpowiedz ze skoro jest tylko taki jeden przedzial, to nie bedzie ukosnych.

    (Funckcja jest taka: f(x) = \sqrt{ {1-x} / {1+x} } )

    1. Krystian Karczyński pisze:

      No tak, w pewnym sensie „jest taka zasada” asymptoty ukośne mogą istnieć tylko dla x\to \infty lub x\to -\infty tak więc gdy dziedziną funkcji jest przedział \left. x\in \left( -1,1 \right. \right\rangle , to nie ma nawet gdzie jej szukać i oczywiście nie istnieje.

      Ale nie jest to kwestia jakiś asymptot pionowych.

  4. Magda pisze:

    A co jeżeli mam policzyć asymptoty dla funkcji

    f(x) = pierw. z x^2+1
    ——————-
    x

    Czy to możliwe, żeby asymptoty poziome wyszły +nieskończoność i – nieskończoność i po policzeniu skośnych dla +nieskończoności wyszło 1? Wydaje mi się, że nie umiem za bardzo wykonywać działań z pierwiastkami 🙂

  5. Kuba pisze:

    Witam. Mam pytanie czy jest możliwość żeby funkcji nie miała w ogóle asymptot ? Żadnych.. ?

    1. Cezary pisze:

      Oczywiście, tak. Np. funkcja f(x)=sin x

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Dokładnie. Pełno funkcji nie ma asymptot.

  6. Martyna pisze:

    a jeżeli mam funkcję x^3-x^2-2x / x^2+x-6 to co wtedy? bo nie jestem pewna..

    1. Martyna pisze:

      ten pierwszy już wiem 🙂 ale problem mam z takim przykładem x^3+2x^2-x-1 / x^2+3x+2 , nie mam pojęcia jak to rozpisać, dzieliłam wielomiany przez siebie ale to też nic mi nie dało, nie wiem co i jak.

  7. Sylwia pisze:

    mam problem jak wyznaczyc asymptotę z takiej funkcji f(x)=x-arc tgx

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wyznaczyłem tutaj, zapraszam:

    2. juras pisze:

      Dlaczego nie można tego przykładu policzyć za pomocą reguły De L’Hospitala? Przy x->nieskończoność:
      (x-arctgx)/x daje nam symbol [nieskończoność/nieskończoność].
      Licząc pochodne wychodzi:
      [1+1/(x^2+1)]/1, czyli (x^2+2)/(x^2+1).
      Wyciągamy x^2 przed nawias, skracamy i wychodzi 1.
      Pozdrawiam!

    3. Bartosz Student AiR pisze:

      (x-arctgx)/x daje symbol [nieskończoność – nieskończoność/nieskończoność], ponieważ x-arctgx przy x–>nieskończoności daje wyrażenie nieoznaczone [nieskończoność-nieskończoność], a nie tak jak napisałeś [nieskończoność]. Ponieważ dzieje się tak, musimy zrobić to w taki sposób, w jaki zrobił to Pan Karczyński.
      Pozdrawiam 🙂

    4. J.T pisze:

      Dla potomnych: Zarówno Pan Karczyński, jak i użytkownik Bartosz Student AiR piszą bzdury. Oczywiście jest to symbol nieoznaczony [nieskończoność/nieskończoność] i jak najbardziej ów granicę można policzyć stosując regułę de L’Hospitala (czy jest to sposób optymalny to oczywiście inny temat).Pozdrawiam.

  8. Szymon pisze:

    Witam, mam pytanie odnośnie funkcji y=(x^2 + 4) / x. jakie ona ma asymptoty i ukośne i poziome ? może ktoś wyjaśnić ?

  9. Rafał pisze:

    Witam!
    Mam taki problem. takie zadanie y= 1/x^2
    Df x różny od 0
    więc liczymy granice w -0 i +0 i obie wychodzą +nieskończoność
    więc asymptota pionowa jest prawo Stronna, a w odpowiedziach jest obustronna dlaczego??

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam!

      Granica w -0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +nieskończoność, czy -nieskończoność) -> zatem jest asymptota pionowa lewostronna.
      Granica w +0 wyszła nam nieskończoność (nieważne, czy +, czy -) -> zatem jest asymptota pionowa prawostronna.

      Istnieje granica lewostronna i istnieje granica prawostronna -> zatem istnieje granica obustronna.

      Widać to dobrze na wykresie funkcji:

      1przezx^2

  10. fred pisze:

    co jeżeli przy liczeniu granicy funkcji przy x -> +nieskończoności wychodzi nieskończoność, a przy x-> -nieskończoności wychodzi liczba 0.
    sprawdzam wtedy ukośne tylko przy x_. do -nieskoncznosci czy do +nieskonczonosci rowniez?

    1. fred pisze:

      ok, już wiem, że wtedy badam ukośną tylko przy x-> +nieskończoności 🙂

  11. polaco pisze:

    a mój wykładowca liczy asymptote poziomą normalnie na żywca tzn żę lim dąży do nieskaczonosci z wzoru na funkcje tego co na poczatku zadania…mozna tak?

  12. Agnieszka pisze:

    Badam następującą funkcję: y=((x^3)-1)/((x^2)-4). Policzyłam asymptoty pionowe i wyszły mi x=-2 oraz x=2 (i jest to zgodne z wykresem). Policzyłam również asymptotę ukośną i wyszła mi y=x, ale nie jestem pewna czy jest to poprawne (podejrzewam, że popełniłam błąd). Proszę o pomoc

    1. Kamil Kocot pisze:

      W przypadku asymptot ukośnych (od razu obustronne można liczyć bo wyniki będą podobne) obliczenia powinny być następujące:

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator f \left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction end style over denominator x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction times 1 over x end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x cubed minus 4 x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed open parentheses 1 minus begin display style 1 over x cubed end style close parentheses over denominator x cubed open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 1 minus 1 over x cubed over denominator 1 minus 4 over x squared end fraction equals 1 over 1 equals 1 end cell end table

      czyli a equals 1

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of f \left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus 1 x equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction minus fraction numerator x open parentheses x squared minus 4 close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator open parentheses x cubed minus 1 close parentheses minus open parentheses x cubed minus 4 x close parentheses over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x cubed minus 1 minus x cubed plus 4 x over denominator x squared minus 4 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 x minus 1 over denominator x squared minus 4 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator x open parentheses 4 minus begin display style 1 over x end style close parentheses over denominator x squared open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator 4 minus 1 over x over denominator x open parentheses 1 minus 4 over x squared close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator 4 over denominator plus-or-minus infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna obustronna ma równanie y equals x.

  13. MW pisze:

    mam problem z wyznaczeniem asympmtot w takim przykładzie 3stopnia√x^2−x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Chodzi o coś takiego:

      y=\sqrt[3]{{{x}^{2}}-x}?

    2. MW pisze:

      „- x” jest za pierwiastkiem

  14. Justyna pisze:

    Jak obliczyć asymptoty ukośne tutaj : x^2+1/x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pozwoliłem sobie zinterpretować wzór funkcji tak: f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}(inaczej wykres nie miałby w ogóle asymptot ukośnych)

      Liczę przy x->oo :

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\cdot \frac{1}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}{{{x}^{2}}}=1

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-\frac{{{x}^{2}}}{x} \right)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{x} \right)=0

      i przy x -> -oo :

      \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{{{x}^{2}}+1}{x}}{x}=1– korzystając z poprzednich obliczeń

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{2}}+1}{x}-1\cdot x \right)=0– korzystając z poprzednich obliczeń

      Piszę odpowiedź: y=x jest asymptotą ukośną badanej funkcji zarówno przy x->oo, jak i x-> -oo.

      Co potwierdza wykres funkcji f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}:

      Wykres funkcji (x^2+1)/x

  15. Martyna pisze:

    A jak obliczyć asymptoty ukośne w tej funkcji: y=lnx/x. ??

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Rozwiążę ten przykład od początku:
      \displaystyle y=\frac{{\ln x}}{x}

      1. Dziedzina
      — x>0 (ze względu na logarytm)
      \displaystyle x\ne 0 (z mianownika ułamka)
      czyli:
      \displaystyle Dy:x\in (0,\infty )

      2. Asymptoty pionowe.

      \displaystyle \underset{{x\to {{0}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}=\left[ {\frac{{-\infty }}{{{{0}^{+}}}}} \right]=-\infty
      \displaystyle \underset{{x\to {{0}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}=\left[ {\frac{{-\infty }}{{{{0}^{-}}}}} \right]=\infty

      Mam więc asymptotę pionową \displaystyle x=0Prawostronną (biorę tylko jednostronną ze względu na dziedzinę).

      UWAGA.
      W podstawieniu granicy wyszło mi nieskończoność przez zero. Jednak NIE jest to symbol nieoznaczony. Nieskończoność przez zero to symbol wyrażenia, w którym licznik przyjmuje wartości nieskończenie wielkie, a mianownik nieskończenie małe (w sensie nieskończenie bliskie zera (nie \displaystyle {-\infty })

      Można to porównać ze wzorem na granicę \displaystyle \left[ {\frac{A}{0}} \right], gdzie ta stała A jest bardzo bardzo duża po prostu.

      3. Asymptoty ukośne/poziome.

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{{\ln x}}{x}}}{x}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{{{{x}^{2}}}}\underset{H}{\overset{{\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]}}{\mathop{=}}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {\ln x} \right)'}}{{\left( {{{x}^{2}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{x}}}{{2x}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{{2{{x}^{2}}}}=\left[ {\frac{1}{\infty }} \right]=0

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {\frac{{\ln x}}{x}-0\cdot x} \right)=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\ln x}}{x}\underset{H}{\overset{{\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]}}{\mathop{=}}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {\ln x} \right)'}}{{\left( x \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\frac{1}{x}}}{1}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{x}=0

      Mam więc asymptotę poziomą \displaystyle y=0.

    2. studentpgwpotrzebie pisze:

      czy w tym przykładzie nie powinno sie zbadac tez lim x→(-∞) dla asymptot ukośnych mimo że dziedzina to x>0? robię podobny przykład tylko z pierwiastkiem w mianowniku i nie zgadza mi sie również ze y=0 mogloby byc asymptota poziomą bo wykres przecina OX w x=1 wiec to sie wzajemnie wyklucza. Prosze o pomoc !! 

  16. Martyna pisze:

    a jak a=b ? to są te ukośne czy nie?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Tak, oczywiście są ukośne 😉

      Np. a=b=2 będziemy mieli asymptotę postaci y=2x+2.

      W przypadku gdy a=b=0 to będziemy mieli asymptotę postaci y=0, czyli asymptotę poziomą (a taka też jest ukośną) 🙂

  17. Audrey pisze:

    A jak się zabrać za coś takiego:  f \left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator x hat 2 plus 1 end fraction d l a space open vertical bar x close vertical bar less-than or slanted equal to 4 end cell row cell fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x hat 2 plus x plus 5 end fraction d l a space open vertical bar x close vertical bar greater than 4 space end cell end table close?Należy wyznaczyć wykres asymptoty ukośnej.

    1. Kamil Kocot pisze:

      Korzystając ze wzorów na a i b wyliczamy współczynniki dla prostej y equals a x plus b będącej asymptotą ukośną. Będziemy korzystać ze wzoru 2 funkcji ponieważ granice będą w plus-or-minus infinity.

      Mamy kolejno

      -> dla asymptoty prawostronnej

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator f \left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x greater than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals x on top limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets 2 over infinity close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus infinity of f \left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x greater than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets 2 over infinity close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

      -> dla asymptoty lewostronnej

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f \left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli a equals 0

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f \left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

      czyli b equals 0. Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie y equals 0.

  18. Anna pisze:

    a jak wyznaczać asymptoty takiej funkcji: y=x arcctg 1/xBardzo proszę o odpowiedź i z góry dziękuję! 🙂

    1. Kamil Kocot pisze:

      Aby wyznaczyć asymptoty funkcji y equals x space a r c c t g 1 over x postępujemy zgodnie ze schematem podanym powyżej.

      D subscript f equals R \backslash open curly brackets 0 close curly brackets

      1. Asymptoty pionowe

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets 0 to the power of plus times a r c space c t g 1 over 0 to the power of plus equals 0 to the power of plus times a r c space c t g open parentheses plus infinity close parentheses equals 0 to the power of plus times 0 close square brackets equals 0 limit as x rightwards arrow 0 to the power of minus of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets 0 to the power of minus times a r c space c t g 1 over 0 to the power of minus equals 0 to the power of minus times a r c space c t g open parentheses negative infinity close parentheses equals 0 to the power of plus times straight \pi close square brackets equals 0

      To oznacza, że nie ma asymptoty pionowej. Dodatkowo poniżej wykres funkcji

      y equals a r c c t g x dla przypomnienia granic.

      2. Asymptoty poziome

      limit as x rightwards arrow plus infinity of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets plus infinity times a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus infinity end fraction equals plus infinity times a r c space c t g 0 equals plus infinity times straight \pi over 2 close square brackets equals plus infinity limit as x rightwards arrow negative infinity of space x space a r c c t g 1 over x equals open square brackets negative infinity times a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator negative infinity end fraction equals negative infinity times a r c space c t g 0 equals negative infinity times straight \pi over 2 close square brackets equals negative infinity

      Stąd wniosek, że nie ma asymptot poziomych.

      3. Asymptoty ukośne

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator f \left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator x space a r c c t g 1 over x over denominator x end fraction equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space a r c c t g 1 over x end cell row blank equals cell open square brackets a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus-or-minus infinity end fraction equals a r c space c t g 0 close square brackets equals straight \pi over 2 end cell row blank blank blank row blank blank blank end table

      Stąd a equals straight \pi over 2.

      Dalej

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of open square brackets f \left parenthesis x right parenthesis minus a x close square brackets end cell equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space x space a r c c t g 1 over x minus straight \pi over 2 x equals limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space x open parentheses space a r c c t g 1 over x minus straight \pi over 2 close parentheses end cell row blank equals cell open square brackets plus-or-minus infinity times open parentheses a r c space c t g fraction numerator 1 over denominator plus infinity end fraction minus straight \pi over 2 close parentheses equals plus-or-minus infinity times open parentheses a r c space c t g 0 minus straight \pi over 2 close parentheses equals plus-or-minus infinity times 0 close square brackets end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator a r c c t g 1 over x minus straight \pi over 2 over denominator begin display style bevelled 1 over x end style end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets to the power of H end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of space fraction numerator begin display style fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus open parentheses begin display style bevelled 1 over x end style close parentheses squared end fraction end style times open parentheses negative begin display style 1 over x squared end style close parentheses over denominator negative begin display style bevelled 1 over x squared end style end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow plus-or-minus infinity of fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus open parentheses begin display style bevelled 1 over x end style close parentheses squared end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 1 over denominator 1 plus 0 end fraction close square brackets equals negative 1 end cell end table

      Stąd b equals negative 1.

      Tym samym asymptotą ukośną obustronną jest prosta y equals straight \pi over 2 x minus 1.

  19. bitemyass pisze:

    Jak wyznaczyć asymptotę dla y=xe^1/2  oraz y=xe do potęgi 1/x

    1. Funkcja y equals x e to the power of 1 half end exponent jest funkcją liniową. Może lepiej to będzie widać, jak zapiszemy ją w ten sposób: y equals square root of e x. Funkcja liniowa nie ma żadnych asymptot, niezależnie od jej współczynników.

       

      Sposób wyznaczenia asymptot funkcji y equals x e to the power of 1 over x end exponent znajdziemy w filmiku:

      https://www.youtube.com/watch?v=y_B1G5TmdUw&feature=share

  20. Anna pisze:

    Witam.Chciałam zapytać co wtedy, gdy z dziedziny funkcji „wypadają” nam jakieś liczby, ale granice w tych punktach istnieją?Np. dziedziną funkcji jest open parentheses negative infinity comma 1 close parentheses union open parentheses 1 comma plus infinity close parentheses, ale granica w 1 istnieje. Czy wtedy x=1 jest asymptotą poziomą?

    1. Pani Anno,

      w takim przypadku prosta x equals 1 nie jest asymptotą. 

      Asymptotę pionową prawo- lub lewostronną mamy, gdy granica odpowiednio prawo- lub lewostronna funkcji w punkcie, który nie należy do dziedziny, wynosi plus-or-minus infinity

      Asymptotę poziomą mamy, gdy granica funkcji w plus infinity (asymptota pozioma prawostronna) lub w negative infinity (asymptota pozioma lewostronna) istnieje i jest równa pewnej stałej liczbie.

  21. Krystian pisze:

    Jak należałoby obliczyć asymptoty z y=x^3/x-1?

  22. bitemyass pisze:

    Jak policzyć asymptotę y=xe^2x

    1. Magda pisze:

      Witam,Czu mogę prosić o pomoc w obliczeniu tego zadania? f(x)=fraction numerator x minus 1 over denominator x plus 3 end fraction comma space x greater or equal than 1Mam wyznaczyć asymptotę ukośną funkcji f oraz zbadać monotoniczność funkcji f w przedziale open parentheses 1 comma plus infinity close parenthesesNiestety w sobotę egzamin , a ja na tym utknęłam, bo nie rozumiem tego zupełnie

  23. Kamil pisze:

    Witam, mam problem z asypmtotami funkcji ( e ^ ( x ^ 2 ) ) – 1. Mogę prosić o pomoc?

  24. Agata Bąk pisze:

    Witam, czy byłaby możliwość na podstawie tego: f(2)=f(5)=lim(x->+oo)f(x)=lim(x->2+)f(x)=lim(x->-2-)f(x)=2lim(x->-oo)f(x)=lim(x->-2+)f(x)=lim(x->5)f(x)=f(1)=0lim(x->2-)f(x)=lim(x->6)f(x)=+oostwierdzić, czy*f ma trzy asymptoty pionowe*f ma jedną asymptotę poziomą*f nie ma asymptoty ukośnejMogę prosić o pomoc? Z góry dziękuję 🙂

  25. kuba pisze:

    Mam zbadac funckje 2x-sinx
    Wiadomo pionowe nie istnieja , a ukośne według odpowiedzi tez nie .
    Ale wychodzi mi ze lim f(x)/x=2
    A b wcale nie wychodzi (lim sinx) I
    I co teraz?