Wzory na pochodne

Temat: Wzory na pochodne – wprowadzenie. Wyprowadzenie wzoru na pochodną z funkcji potęgowej.

Streszczenie

Na wykładzie pokażę, w jaki sposób wyprowadzać wzory na pochodne i sam wyprowadzę wzór na pochodną funkcji potęgowej 🙂

Wyprowadzanie wzorów na pochodna – ogólna metoda postępowania

Wzory na pochodne zawarte tablicach, podawanie na wykładach, ćwiczeniach nie wzięły się z kosmosu. Pochodna z funkcji f(x) w punkcie , jak wiemy z poprzednich wykładów to pewnego rodzaju granica funkcji, mianowicie:

$f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}$

Aby wyprowadzić ogólny wzór na pochodną w dowolnym punkcie (bez ograniczania się do tylko do punktu ) wystarczy więc obliczyć ogólną granicę…

…której wynik oznaczać będzie wartość pochodnej w punkcie x. Rozwiązując powyższą granicę otrzymamy wzór na pochodną funkcji f(x).

Przykład 1 – wzór na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem naturalnym

Chyba najczęściej używanym wzorkiem na pochodną, jest wzór na pochodną z funkcji potęgowej: :

$(x^n){prime}=nx^{n-1}$

Wyprowadźmy go. Sprawdzimy, skąd się wziął 🙂

Na początku załóżmy, że liczba ‘n’ jest liczbą naturalną. Dowolną. Nie ograniczamy się więc tylko do jednej funkcji. Nasze funkcje, których pochodną mamy wyprowadzić były by to na przykład: i każdą z nich “obejmujemy” jakby tym wzorem.

Pochodna z funkcji wyglądać będzie (z definicji pochodnej – bo jaki wynik mamy dostać na końcu to już wiemy z tablic) tak:

Teraz zastanówmy się chwilkę. – ten wzór oznacza, że każdemu argumentowi funkcji przyporządkowujemy wartość równą temu argumentowi podniesionemu do n-tej potęgi. Ile więc równa będzie . Konsekwentnie – funkcja f przyporządkowuje każdemu argumentowi ten argument podniesiony do n-tej potęgi, otrzymamy więc: $f(x+{Delta}x)=(x+{Delta}x)^n$ .

Wracając do naszej granicy:

$f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}$

Teraz zatrzymajmy się już na naprawdę dłuższą chwilę, żeby zastanowić się, jak rozpisać wyrażenie: $(x+{Delta}x)^n$ . Oczywiście absolutnie nie: $(x+{Delta}x)^n=x^n+({Delta}x)^n$ . Nie, nie, nie. Nie.

Skorzystamy tutaj z tzw. wzoru Newtona (może miałeś w szkole średniej, a może nie miałeś):

$(a+b)^n=(matrix{2}{1}{n 0})a^n+(matrix{2}{1}{n 1}){a^{n-1}}{b^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){a^{n-2}}{b^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{b^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){a^1}{b^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){b^n}$

Gdzie te dziwne znaczki w nawiasach (nie mylić z ułamkami w nawiasach) to tzw. symbole Newtona, liczone wg. wzoru:

Na przykład:

$(a+5)^4=(matrix{2}{1}{4 0})a^4+(matrix{2}{1}{4 1}){a^3}{5^1}+(matrix{2}{1}{4 2}){a^2}{5^2}+(matrix{2}{1}{4 3}){a^1}{5^3}+(matrix{2}{1}{4 4}){5^4}$

$~=a^4+4{a^3}5+6{a^2}25+4a125+625=a^4+4{a^3}5+150{a^2}+500a+625$

Wzór Newtona można udowodnić indukcyjnie, zatem dotyczy on tylko n naturalnych (można go uogólnić, ale zostawmy to). Niestety, żeby nie rozwlekać wykładu nie będę tego robił. Jeśli kompletnie się w tym momencie zgubiłeś, może rozważ zrobienie krótkiej przerwy i porobienie kilku ćwiczeń z zakresu wzoru Newtona -wystarczy (oczywiście jeśli będzie Ci się chciało go udowadniać to w ogóle super) 🙂

Przypomnijmy teraz naszą pochodną-granicę do policzenia:

${lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}$

Korzystając w liczniku ze wzoru Newtona otrzymamy:

${lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}=$

${lim}under{{Delta}x{right}0}{(matrix{2}{1}{n 0})x^n+(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}-x^n}/{{Delta}x}$

$={lim}under{{Delta}x{right}0}{x^n+(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}-x^n}/{{Delta}x}$

$={lim}under{{Delta}x{right}0}{(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}}/{{Delta}x}$

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias w liczniku mam:

$={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}x((matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^1}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-3}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^{n-1}})}/{{Delta}x}$

się skraca i mam:

${lim}under{{Delta}x{right}0}((matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^1}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-3}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^{n-1}})$

Jeśli składniki z się skrócą i wyjdę na:

$(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}$

Teraz:

Czyli nasza granica równa jest:

$nx^{n-1}$

Co też było dokładnie do wykazania.

W naszym przykładzie 1 założyliśmy jednak, że n jest liczbą naturalną. Mamy więc wzór na pochodną z funkcji itd. ale nie mamy wykazanego wzoru na pochodną z funkcji np. $x^{-1}$ albo $x^{1/2}$ .

Przykład 2 – wzór na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem rzeczywistym

Wykażemy teraz wzór: $(x^n){prime}=nx^{n-1}$ nie ograniczając się tylko do n będących liczbami naturalnymi. Nasz wzór obejmie więc też przypadki pochodnych z funkcji $x^{-2},x^{1/3}$ itd.

Wychodząc ze wzoru na pochodną jako granicę funkcji dostaniemy:

$f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}$

Wzór Newtona z przykładu 1 tym razem nie będzie nam pomocą (przynajmniej w takiej postaci, w jakiej go tam wprowadziliśmy).

Aby obliczyć powyższą granicę, a więc wyprowadzić wzór na pochodną doprowadzimy ją do wzoru:

${lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n$

Najpierw jednak udowodnijmy ten wzór.

Mamy do policzenia:

${lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha$

Stosujemy podstawienie:

Z którego wynika, że:

A po zlogarytmowaniu obu stron:

A to ze znanego wzoru na logarytmy równe jest:

Czyli:

Wracamy teraz do naszej granicy i przekształcamy ją (korzystając z powyższych zależności):

${lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha={lim}under{{alpha}{right}0}beta/alpha$

Ta granica równa jest:

(wyprowadziliśmy to wyżej) zatem mamy:

Zarówno jak i dążą do 1 (z podstawowego wzoru na granice funkcji), zatem pokazaliśmy, że:

${lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n$

Wracajmy więc do naszej granicy funkcji:

$f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}$

Przekształcamy, wyciągając w nawiasie x przed nawias:

$~={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x(1+{{Delta}x}/x))^n-x^n}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{x^n}(1+{{Delta}x}/x)^n-x^n}/{{Delta}x}$

$~={lim}under{{Delta}x{right}0}{x^n((1+{{Delta}x}/x)^n-1)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}x^n{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x{x}}$

$~={lim}under{{Delta}x{right}0}x^{n-1}{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x}$

Tu korzystamy z udowodnionego wyżej wzoru:

${lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n$

I mamy:

$~={lim}under{{Delta}x{right}0}x^{n-1}{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x}=x^{n-1}n=nx^{n-1}$

Zatem wzór został udowodniony dla dowolnych n, nie tylko naturalnych!

Zastosowanie wzoru na pochodne funkcji potęgowej

Mając wyprowadzony wzór na pochodną funkcji potęgowej: $(x^n){prime}=nx^{n-1}$ mamy do dyspozycji naprawdę potężne narzędzie do obliczania pochodnych nie tylko z prostych:

$(x^4){prime}=4x^3$

Ale i bardziej zakręconych funkcji:

$(1/x){prime}=(x^{-1}){prime}=-1x^{-2}=-1/x^2$

$(1/x^2){prime}=(x^{-2}){prime}=-2x^{-3}=-1/x^3$

$(sqrt{x}){prime}=(x^{1/2}){prime}={1/2}x^{-1/2}={1/2}{1/{x^{1/2}}}={1/2}{1/{sqrt{x}}}=1/{2sqrt{x}}$

$(root{3}{x}){prime}=(x^{1/3}){prime}={1/3}x^{-2/3}={1/3}{1/{x^{2/3}}}={1/3}{1/{root{3}{x^2}}}=1/{3root{3}{x^2}}$

Podsumowanie

Jak widać na powyższym przykładzie, zagadnienie znalezienia ogólnego wzoru na pochodną funkcji f(x) sprowadza się do policzenia odpowiedniej granicy funkcji. Nie granicy z funkcji f(x), tylko granicy:

Szkolne przykłady na wykazywanie z definicji to wyprowadzanie wzorów na pochodne z funkcji liniowej, kwadratowej, pierwiastka, sinusa lub cosinusa. Zachęcam Cię jednak to próby swoich sił z wyprowadzaniem jakiś innych ciekawych wzorów na pochodne, na przykład na pochodną z funkcji e do x, albo z jakiejś funkcji wykładniczej, albo z tangensa…

Powodzenia!

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak badać istnienie pochodnej funkcji w punkcie (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak wykazać można wzory na pochodne z funkcji cyklometrycznych korzystając z…twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Michau pisze:

31 lipca 2020 o 00:57

Genialne i genialny cały blog.

Sporo się naszukałem zanim trafiłem na tę stronkę. Wyszukiwarka z maniakalnym uporem kierowała mnie do stron z informacjami czym jest pochodna i przykładami jak ją policzyć, natomiast żadna z nich nie dawała odpowiedzi jak wyznaczyć wzór na pochodną.

Gorąco polecam !!!

Odpowiedz
Piter pisze:

13 października 2015 o 12:02

Świetne, dzięki ! 🙂

Odpowiedz

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz darmowe lekcje

Wzory na pochodne