fbpx

Wyrażenia nieoznaczone w granicach ciągu

Granica ciągu Wykład 3

Temat: Wyrażenia nieoznaczone

Streszczenie

W artykule przybliżę, czym są wyrażenia nieoznaczone pojawiające się w zadaniach na granicę ciągu.

Łatwe do wyznaczenia granice ciągu

Jak obliczać granice ciągu? Jeśli zetknąłeś się z tym tematem na studiach, albo gdzie indziej, z pewnością kojarzy Ci się on z metodami, wyciąganiem przed nawias, mnożeniem przez sprzężenie itd. I słusznie. Ale wiele ciągów ma tak prostą do obliczenia granicę, że korzystanie z jakiś złożonych metod w najlepszym razie jest stratą czasu i wysiłku.

Przykład 1

Przeanalizujmy ciąg:

Kolejne wyrazy ciągu wyglądały by tak:

 itd.

Widzimy, że jego wyrazy są coraz mniejsze, mniejsze i dążą do zera. Po zastanowieniu można dojść do wniosku, że podobny wynik granicy otrzymamy w każdej sytuacji, w której licznik zmierzać będzie do stałej liczby, a mianownik rozbiegać w nieskończoność. Granica równa będzie wtedy zawsze zero – bo przy coraz większym i większym mianowniku całe wyrażenie będzie coraz mniejsze i mniejsze – dążące do zera. Zatem:

…niezależnie od tego, jaki konkretnie ciąg jest na dole w mianowniku, jeśli tylko rozbiega do nieskończoności.

Kiedy będzie to wyglądało inaczej?

Wyrażenia nieoznaczone typu

Przykład 2

Weźmy dwa ciągi: . Oba rozbiegają w nieskończoność. Jeśli podzielimy ich odpowiadające sobie wyrazy otrzymamy nowy ciąg:

Symbolicznie taką sytuację oznaczamy  – jest to oznaczenie na ciąg złożony z dzielenia dwóch innych rozbiegających w nieskończoność. Jaka będzie jego granica?

Rozpisując  otrzymamy:

Te liczby zbliżają się coraz bardziej do jeden. Dla tego konkretnego ciągu więc

Przykład 3
Weźmy sobie dwa inne ciągi: . Oba rozbiegają w nieskończoność. Dzieląc ich wyrazy otrzymamy następujący ciąg:

Jest to ciąg, w którym znowu w liczniku i mianowniku mamy ciągi rozbiegające w nieskończoność, a zatem znowu sytuację . Jaka jednak tym razem będzie jego granica?

Rozpisując kolejne wyrazy ciągu otrzymamy:

Czyli zauważyć można, że mianownik rozbiega jakby “szybciej” do nieskończoności od licznika, a całe wyrażenie dąży do 0.

W obu przykładach (2 i 3) mieliśmy tą samą sytuację: i dwa różne wyniki: 1 i 0. Nietrudno wyobrazić sobie różne inne możliwości, na przykład licznik rozbiegający “szybciej” od mianownika – wtedy ciąg rozbiegał będzie w nieskończoność.

W sytuacji nie jesteśmy więc w stanie określić na samym starcie, jaka jest granica ciągu i trzeba w niej stosować różne przekształcenia wyrażenia, z którego liczymy granicę.

Wyrażenia nieoznaczone ogólnie

Tego typu wyrażenia nazywamy “symbolami nieoznaczonymi” (jest ich w sumie siedem). Policzenia granicy ciągu z symboli nieoznaczonych wymaga użycia różnych metod, natomiast jeśli w ciągu wyrażenia nieoznaczone nie występują – jest to na ogół ciąg, którego granicę wyznaczyć bardzo prosto.

Wypiszmy więc wszystkie symbole nieoznaczone:

Ważną rzeczą jest zrozumienie tego, że wyrażenie nieoznaczone jest pewnym symbolem, które niesie treści różne od tych, do których się może przyzwyczailiśmy. Na przykład symbol  w wyrażeniach nieoznaczonych NIE oznacza liczby zero (jak wielu ludziom się błędnie wydaje…) tylko ciąg o granicy równej zero – a to zupełnie coś innego, prawda? W symbolu  nie mamy więc “dzielenia przez zero”, tylko iloraz dwóch ciągów dążących do zera.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak liczyć granice ciągu z definicji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby poznać definicję granicy niewłaściwej ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Lukas pisze:

    moje dziecko dostało zadanie
    2 x … = Nieskończoność
    czyli : dwa razy (jakaś cyfra) równa się nieskończoność
    czy ktoś poradzi?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Czy to wyrażenie jest granicą? To już jakieś końcowe przekształcenia, czy fragment jakiegoś zadania?

      Trudno mi określić jednoznacznie, ale jeśli mamy równanie (raczej w granicy)

      2*coś=nieskończoność

      to x jest liczbą dążącą do nieskończoności.

  2. Anita pisze:

    Witam, jak obliczyć granicę n³/2^pierwiastek z n?

  3. Anita pisze:

    Witam, jak obliczyć granicę \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 3 } } { 2 ^ { \sqrt { n } } } 

  4. Albert pisze:

    Witam zrobi pan zadanie z kursu pochodne lekcja 4?L i m subscript x minus greater than fraction numerator straight \pi space over denominator 2 end fraction end subscript space space \left parenthesis t g x \right parenthesis to the power of fraction numerator 1 over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction end exponentRobię ze wzoru a to the power of b equals e to the power of b ln a end exponent  potem robię oddzielną granice i mam fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction equals open square brackets fraction numerator ln \begin display style infinity end style over denominator \begin display style straight \pi over 2 minus straight \pi over 2 end style end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 0 close square brackets no i co mam z tym z zrobić?

  5. Mikołaj pisze:

    Witam, jak należy zabrać się za granicę takiego typu?limit as x \rightwards arrow infinity of square root of x times sin \left parenthesis square root of x plus 1 end root minus square root of x \right parenthesisPozdrawiam!

  6. Jakub Burakowski pisze:

    Witam, mam zadanie obliczyć granice bez użycia pochodnych. Czy to możliwe. Na Pana kursach w ogóle nie są poruszane takie zagadnienia, albo nie mogę ich znaleźć.limit as x \rightwards arrow infinity of \left parenthesis fraction numerator x minus 3 over denominator x plus 2 end fraction \right parenthesis to the power of 3 x end exponent limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin \left parenthesis x squared minus 4 \right parenthesis over denominator sin \left parenthesis x minus 2 \right parenthesis end fractionCzy może Pan pomóc mi w tym??

  7. maja pisze:

    również mam problem ponieważ mam granice lim x->oo (2x^2 +1)^453 /2^450 *(x^3+3n)^302 . nie mam pomyslu na ta granice

    1. Kamil Kocot pisze:

      Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem i mamy tu na myśli granicę limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction. W takich przykładach trzeba umiejętnie “wyłowić” to co istotne. Tutaj x zbiega do nieskończoności zatem to będzie najważniejszy punkt, trzeba standardowo wyłączyć przed nawias x w najwyższej potędze co krok po kroku postaram się zrobić:

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction end cell equals cell limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open square brackets x squared open parentheses 2 plus \begin display style 1 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open square brackets x cubed open parentheses 1 plus \begin display style 3 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 302 end fraction equals limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses x squared close parentheses to the power of 453 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed close parentheses to the power of 302 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction equals limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 plus bold 1 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 open parentheses 1 plus bold 3 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times 1 end fraction equals 2 cubed equals 8 end cell end table

      Po drodze skorzystałem z własności potęg open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453, skróciłem x to the power of 906 a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared \rightwards arrow 0 space gdy x \rightwards arrow infinity.

       

       

  8. Nikodem pisze:

    Witam mam problem z pewną granicą, a mianowicie chodzi o policzenie as. poziomych dla (x^2/e^x). W obu wychodzi symbol nieoznaczony i co należy dalej zrobić?

  9. Jakub pisze:

    ja mam takie dość durne zadanie na kolosa i za bardzo nie mam pomysłu jak sie za to zabrac fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator \left parenthesis negative 4 \right parenthesis to the power of n end fractionjakieś propozycje

    1. Jakub pisze:

      Najgorsze są właśnie te różne potęgi i nie wiem jak sie ich wyzbyć

    2. Kamil Kocot pisze:

      Witam

      Granicę z potęgami najczęściej rozwiązujemy zapisując wszystkie liczby do potęgi n tzn. jeśli przykładowo w granicy pojawia się 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent to rozpisujemy to jako 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent equals open parentheses 2 cubed close parentheses to the power of n times 2 to the power of 1 equals 8 to the power of n times 2. Następnie dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę z mianownika, mam tu na myśli potęgi liczb np. 2 to the power of n comma space 3 to the power of n itd. Trzeba mieć świadomość, że wyrażenia tego typu dążą “szybciej” do nieskończoności niż wyrażenia typu n squared comma space n cubed itd. Tym samym granicę podaną przez Pana można rozwiązać następująco:

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator open parentheses negative 4 close parentheses to the power of n end fraction end cell equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 space space divided by 4 to the power of n over denominator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n space space space divided by 4 to the power of n end fraction end cell row blank equals cell limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator \begin display style fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent over denominator 4 to the power of n end fraction end style plus \begin display style fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction end style space space over denominator \begin display style fraction numerator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n over denominator 4 to the power of n end fraction end style space end fraction equals limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator \begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator \begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table

      Dalej ponieważ limit as n \rightwards arrow infinity of open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n equals 0 oraz limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0 (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n \rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator \begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator \begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

  10. Katarzyna pisze:

    nie wiem jak obliczyć granicę z n!/n czy jest to jakiś wyjątek?

  11. Kuba pisze:

    Witam ,czy symbol oo^0 zawsze będzie dawał 1

  12. Marcus Vassenlexs pisze:

    Przepraszam czy mógłby mi pan pomóc w pewnym zagadnieniu?Otóż zastanawiam się ile wynosi wynik (-x)^∞ gdzie x należy do liczb dodatnich.

  13. Proszę o Pana uzasadnienie wprowadzenia do tego zestawu symboli nieoznaczonych 0 do potęgi nieskończoność?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To nie jest symbol nieoznaczony, znalazł się tam przez pomyłkę. Przepraszam, poprawiam.

  14. witam!
    Czy mógłbym Pan rozpisać rozwiazanie zadania 10 z działu Granic, lekcji 4(twierdzenie o trzech ciągach) ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Bardzo proszę.

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right) \right]

      Ograniczam od dołu i od góry:

      n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)

      Obliczam granice z ograniczeń z dołu i z góry:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}=1

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=1

      Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica tego ciągów równa jest 1.

  15. m994 pisze:

    Jeśli mamy nieskończoność + nieskończoność to jest to symbol oznaczony prawda ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, ale takiego zwrotu jak: “symbol oznaczony” nie ma.

      Prawidłowo powinno się powiedzieć: “to nie jest symbol nieoznaczony”.

  16. Aneta pisze:

    Witam.
    Mam problem z tym zadaniem:
    Pokaż, że 2arctg(x) + arcsin(2x/1+x^2)=π*sgn(x), dla abs(x)>=1.

    Proszę o pomoc.

  17. Problem pisze:

    Witam !
    Proszę o wyjaśnienie(najlepiej rozpisanie obliczeń) do takiej granicy(z wyjaśnieniem gdy n zmierza do nieskończoności oraz do -nieskończoności):
    (-5+4^(-1+n))/(-7+4^n)

    Wyniki z wolframalpha
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-5%2B4%5E%28-1%2Bn%29%29%2F%28-7%2B4%5En%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Przy n dążącym do -nieskończoności? A to jest granica ciągu?

      Przy n do +nieskończoności to pójdzie tak (metodami z mojego Kursu):

      \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1}}{{4}^{n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-5}{{{4}^{n}}}+{{4}^{-1}} \right)}{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-7}{{{4}^{n}}}+1 \right)}={{4}^{-1}}=\frac{1}{4}

      Zakładając, że to NIE jest granica ciągu, tylko np. funkcji, w której zmienna oznaczona jest jako “n”:

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=

      \left[ \frac{-5+{{4}^{-1-\infty }}}{-7+{{4}^{-\infty }}} \right]=\left[ \frac{-5+{{4}^{-\left( 1+\infty \right)}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{{{4}^{1+\infty }}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{\infty }}{-7+\tfrac{1}{\infty }} \right]=\left[ \frac{-5+0}{-7+0} \right]=\left[ \frac{5}{7} \right]

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\frac{5}{7}

  18. Tomasz pisze:

    Nie wiem, czy pan jeszcze odpowiada na komentarze, ale mam pewne pytanie.
    Jak wiadomo [ \infty – \infty ] to symbol nieoznaczony, który mówi, że od czegoś bardzo dużego odejmujemy coś bardzo dużego.
    Co jednak kiedy mamy sytuację [- \infty + \infty ], gdzie do czegoś bardzo małego dodajemy coś bardzo dużego. Czy to jest to samo co poprzednie, czy nie?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To samo 🙂

  19. Rafał pisze:

    we wzorach w kursie granice jest taki wzór na “a do potęgi nieskończoność”. I tam jest że gdy a = 1, to “a do potęgi nieskończoność”=1 ale to jest symbol nieoznaczony, więc o co z tym chodzi.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, to dobre pytanie.

      Chodzi o to, że znak “1” użyty w symbolu nieoznaczonym: \left[ {{1}^{\infty }} \right]i znak “1” użyty we wzorze na {{a}^{\infty }}: {{a}^{\infty }}=\{ \begin{matrix}
      \infty \quad dla a>1 \\
      1\quad dla a=1 \\
      0\quad dla \left| a \right|<1\end{matrix}

      …oznaczają coś innego.

      W symbolu nieoznaczonym \left[ {{1}^{\infty }} \right]"jedynka" oznacza ("symbolizuje") liczbę nieskończenie blisko liczby 1 (bardziej fachowo powiedziało by się: wyrażenie, którego granicą jest 1).

      We wzorze na {{a}^{\infty }}"jedynka" oznacza po prostu liczbę równo 1.

      Stąd różnice w "wynikach".

      Jeśli liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki itd. w nieskończoność nie można od razu powiedzieć, jaki będzie wynik takiej operacji (symbol nieoznaczony).

      Jeśli jednak równo jeden pomnożymy przez 1 potem pomnożymy przez 1 itd. w nieskończoność wiadomo, że wynikiem będzie 1.

      Na tej samej zasadzie symbol "0" w każdym symbolu nieoznaczonym nie oznacza liczby równo 0, a symbol \infty nie oznacza jakiejś konkretnej, bardzo wielkiej liczby.

      Więcej na ten temat może Pan przeczytać w tym poście, zapraszam:
      https://blog.etrapez.pl/granice/granica-ciagu/klopoty-z-symbolami-nieoznaczonymi/