Wyrażenia nieoznaczone w granicach ciągu

 

Granica ciągu Wykład 3

 

Temat: Wyrażenia nieoznaczone

 

Streszczenie

W artykule przybliżę, czym są wyrażenia nieoznaczone pojawiające się w zadaniach na granicę ciągu.

Łatwe do wyznaczenia granice ciągu

Jak obliczać granice ciągu? Jeśli zetknąłeś się z tym tematem na studiach, albo gdzie indziej, z pewnością kojarzy Ci się on z metodami, wyciąganiem przed nawias, mnożeniem przez sprzężenie itd. I słusznie. Ale wiele ciągów ma tak prostą do obliczenia granicę, że korzystanie z jakiś złożonych metod w najlepszym razie jest stratą czasu i wysiłku.

Przykład 1

Przeanalizujmy ciąg:

a_n=1/{n+1}

Kolejne wyrazy ciągu wyglądały by tak:

1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,...,1/100,...,1/1000,... itd.

Widzimy, że jego wyrazy są coraz mniejsze, mniejsze i dążą do zera. Po zastanowieniu można dojść do wniosku, że podobny wynik granicy otrzymamy w każdej sytuacji, w której licznik zmierzać będzie do stałej liczby, a mianownik rozbiegać w nieskończoność. Granica równa będzie wtedy zawsze zero – bo przy coraz większym i większym mianowniku całe wyrażenie będzie coraz mniejsze i mniejsze – dążące do zera. Zatem:

delim{[}{A/{infty}}{]}=0

…niezależnie od tego, jaki konkretnie ciąg jest na dole w mianowniku, jeśli tylko rozbiega do nieskończoności.

Kiedy będzie to wyglądało inaczej?

Wyrażenia nieoznaczone typu {infty}/{infty}

Przykład 2

Weźmy dwa ciągi: a_n=n^2-1 i b_n=n^2+1. Oba rozbiegają w nieskończoność. Jeśli podzielimy ich odpowiadające sobie wyrazy otrzymamy nowy ciąg:

{n^2-1}/{n^2+1}

Symbolicznie taką sytuację oznaczamy delim{[}{{infty}/{infty}}{]} – jest to oznaczenie na ciąg złożony z dzielenia dwóch innych rozbiegających w nieskończoność. Jaka będzie jego granica?

Rozpisując {n^2-1}/{n^2+1} otrzymamy:

0,3/5,8/10,15/17,24/26,35/37,48/50,63/65,80/82,99/101,...

Te liczby zbliżają się coraz bardziej do jeden. Dla tego konkretnego ciągu więc delim{[}{{infty}/{infty}}{]}{right}1

Przykład 3
Weźmy sobie dwa inne ciągi: a_n=4n+1 i b_n=n^2. Oba rozbiegają w nieskończoność. Dzieląc ich wyrazy otrzymamy następujący ciąg:

{4n+1}/{n^2}

Jest to ciąg, w którym znowu w liczniku i mianowniku mamy ciągi rozbiegające w nieskończoność, a zatem znowu sytuację delim{[}{{infty}/{infty}}{]}. Jaka jednak tym razem będzie jego granica?

Rozpisując kolejne wyrazy ciągu {4n+1}/{n^2} otrzymamy:

5,2{1/4},1{4/9},1{1/16},21/25,25/36,29/49,33/64,37/81,41/100,...

Czyli zauważyć można, że mianownik rozbiega jakby “szybciej” do nieskończoności od licznika, a całe wyrażenie dąży do 0.

W obu przykładach (2 i 3) mieliśmy tą samą sytuację: delim{[}{{infty}/{infty}}{]} i dwa różne wyniki: 1 i 0. Nietrudno wyobrazić sobie różne inne możliwości, na przykład licznik rozbiegający “szybciej” od mianownika – wtedy ciąg rozbiegał będzie w nieskończoność.

W sytuacji delim{[}{{infty}/{infty}}{]} nie jesteśmy więc w stanie określić na samym starcie, jaka jest granica ciągu i trzeba w niej stosować różne przekształcenia wyrażenia, z którego liczymy granicę.

Wyrażenia nieoznaczone ogólnie

Tego typu wyrażenia nazywamy “symbolami nieoznaczonymi” (jest ich w sumie siedem). Policzenia granicy ciągu z symboli nieoznaczonych wymaga użycia różnych metod, natomiast jeśli w ciągu wyrażenia nieoznaczone nie występują – jest to na ogół ciąg, którego granicę wyznaczyć bardzo prosto.

Wypiszmy więc wszystkie symbole nieoznaczone:

delim{[}{{infty}/{infty}}{]},delim{[}{0/0}{]},delim{[}{0*{infty}}{]},delim{[}{{infty}-{infty}}{]},delim{[}{1^{infty}}{]},delim{[}{0^0}{]},delim{[}{{infty}^0}{]}

Ważną rzeczą jest zrozumienie tego, że wyrażenie nieoznaczone jest pewnym symbolem, które niesie treści różne od tych, do których się może przyzwyczailiśmy. Na przykład symbol 0 w wyrażeniach nieoznaczonych NIE oznacza liczby zero (jak wielu ludziom się błędnie wydaje…) tylko ciąg o granicy równej zero – a to zupełnie coś innego, prawda? W symbolu delim{[}{0/0}{]} nie mamy więc “dzielenia przez zero”, tylko iloraz dwóch ciągów dążących do zera.

 

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak liczyć granice ciągu z definicji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby poznać definicję granicy niewłaściwej ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Albert pisze:

    Witam zrobi pan zadanie z kursu pochodne lekcja 4?L i m subscript x minus greater than fraction numerator straight pi space over denominator 2 end fraction end subscript space space left parenthesis t g x right parenthesis to the power of fraction numerator 1 over denominator x minus begin display style straight pi over 2 end style end fraction end exponentRobię ze wzoru a to the power of b equals e to the power of b ln a end exponent  potem robię oddzielną granice i mam fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator x minus begin display style straight pi over 2 end style end fraction equals open square brackets fraction numerator ln begin display style infinity end style over denominator begin display style straight pi over 2 minus straight pi over 2 end style end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 0 close square brackets no i co mam z tym z zrobić?fb/3b/4bffc7e7836d77fcdfeb8548e5a1.png” alt=”x to the power of 906″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»906«/mn»«/msup»«/math»” /> a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared rightwards arrow 0 space gdy x rightwards arrow infinity.

     

     

    28/1d/cbc71ef47ed4377643b75f73d53a.png” alt=”limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” /> (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

    60/75/e2988f85dee73f69ab942f8888a0.png” alt=”open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mi»§#949;«/mi»«/math»” />

    Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

    Bierzemy się za nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

    fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

    Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

    Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

    fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

    Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

    open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Obie strony możemy zlogarytmować:

    ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

    ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Korzystając z własności logarytmu:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

    Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

    Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Zastanówmy się, co z tego wynika.

    Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    A więc faktycznie:

    for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

  2. Mikołaj pisze:

    Witam, jak należy zabrać się za granicę takiego typu?limit as x rightwards arrow infinity of square root of x times sin left parenthesis square root of x plus 1 end root minus square root of x right parenthesisPozdrawiam!40/d8/d3abe7410ab6e8c806133607ac48.png” alt=”limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin left parenthesis x squared minus 4 right parenthesis over denominator sin left parenthesis x minus 2 right parenthesis end fraction” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/math»” />Czy może Pan pomóc mi w tym??81/ca/d41f39e01554d782c9079f8df28e.png” alt=”open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»453«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»453«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»453«/mn»«/msup»«/math»” />, skróciłem x to the power of 906 a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared rightwards arrow 0 space gdy x rightwards arrow infinity.

     

     

    28/1d/cbc71ef47ed4377643b75f73d53a.png” alt=”limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” /> (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

    60/75/e2988f85dee73f69ab942f8888a0.png” alt=”open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mi»§#949;«/mi»«/math»” />

    Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

    Bierzemy się za nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

    fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

    Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

    Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

    fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

    Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

    open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Obie strony możemy zlogarytmować:

    ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

    ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Korzystając z własności logarytmu:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

    Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

    Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Zastanówmy się, co z tego wynika.

    Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    A więc faktycznie:

    for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

  3. Jakub Burakowski pisze:

    Witam, mam zadanie obliczyć granice bez użycia pochodnych. Czy to możliwe. Na Pana kursach w ogóle nie są poruszane takie zagadnienia, albo nie mogę ich znaleźć.limit as x rightwards arrow infinity of left parenthesis fraction numerator x minus 3 over denominator x plus 2 end fraction right parenthesis to the power of 3 x end exponent limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin left parenthesis x squared minus 4 right parenthesis over denominator sin left parenthesis x minus 2 right parenthesis end fractionCzy może Pan pomóc mi w tym??81/ca/d41f39e01554d782c9079f8df28e.png” alt=”open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»453«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mn»453«/mn»«/msup»«msup»«mi»b«/mi»«mn»453«/mn»«/msup»«/math»” />, skróciłem x to the power of 906 a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared rightwards arrow 0 space gdy x rightwards arrow infinity.

     

     

    28/1d/cbc71ef47ed4377643b75f73d53a.png” alt=”limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” /> (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

    table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

    60/75/e2988f85dee73f69ab942f8888a0.png” alt=”open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mi»§#949;«/mi»«/math»” />

    Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

    Bierzemy się za nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

    fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

    Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

    Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

    fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

    Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

    open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Obie strony możemy zlogarytmować:

    ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

    ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Korzystając z własności logarytmu:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

    Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

    Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Zastanówmy się, co z tego wynika.

    Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    A więc faktycznie:

    for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

  4. maja pisze:

    również mam problem ponieważ mam granice lim x->oo (2x^2 +1)^453 /2^450 *(x^3+3n)^302 . nie mam pomyslu na ta granice

    1. Kamil Kocot pisze:

      Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem i mamy tu na myśli granicę limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction. W takich przykładach trzeba umiejętnie “wyłowić” to co istotne. Tutaj x zbiega do nieskończoności zatem to będzie najważniejszy punkt, trzeba standardowo wyłączyć przed nawias x w najwyższej potędze co krok po kroku postaram się zrobić:

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open square brackets x squared open parentheses 2 plus begin display style 1 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open square brackets x cubed open parentheses 1 plus begin display style 3 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 302 end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses x squared close parentheses to the power of 453 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed close parentheses to the power of 302 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 plus bold 1 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 open parentheses 1 plus bold 3 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times 1 end fraction equals 2 cubed equals 8 end cell end table

      Po drodze skorzystałem z własności potęg open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453, skróciłem x to the power of 906 a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared rightwards arrow 0 space gdy x rightwards arrow infinity.

       

       

      28/1d/cbc71ef47ed4377643b75f73d53a.png” alt=”limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»n«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mn»4«/mn»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” /> (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

      60/75/e2988f85dee73f69ab942f8888a0.png” alt=”open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mi»§#949;«/mi»«/math»” />

      Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

      Bierzemy się za nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

      fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

      Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

      Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

      fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

      Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

      open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Obie strony możemy zlogarytmować:

      ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

      ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Korzystając z własności logarytmu:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

      Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

      Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Zastanówmy się, co z tego wynika.

      Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      A więc faktycznie:

      for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  5. Nikodem pisze:

    Witam mam problem z pewną granicą, a mianowicie chodzi o policzenie as. poziomych dla (x^2/e^x). W obu wychodzi symbol nieoznaczony i co należy dalej zrobić?

  6. Jakub pisze:

    ja mam takie dość durne zadanie na kolosa i za bardzo nie mam pomysłu jak sie za to zabrac fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator left parenthesis negative 4 right parenthesis to the power of n end fractionjakieś propozycjef1/5a/9937c1ce000bb918584aabf92dde.png” alt=”limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses n square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 n close parentheses squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open square brackets n open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses close square brackets squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n squared open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses squared end style over denominator begin display style n squared cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»n«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mroot»«mrow»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/mfrac»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»n«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mroot»«mrow»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/mfrac»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«msup»«mi»n«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mroot»«mrow»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«msup»«mi»n«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mstyle»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/math»” />

    equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses square root of 1 plus fraction numerator begin display style 1 end style over denominator n squared end fraction end root plus 2 close parentheses squared end style over denominator begin display style cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction plus fraction numerator begin display style 2 end style over denominator n to the power of 5 end fraction end root end style end fraction equals fraction numerator open parentheses square root of 1 plus 2 close parentheses squared over denominator cube root of fraction numerator begin display style 1 end style over denominator begin display style 8 end style end fraction end root end fraction equals fraction numerator 9 over denominator begin display style 1 half end style end fraction equals 18

     94/13/a31ca36c749a5bb341b331b9879f.png” alt=”fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math»” />).

    Dowód

    Musimy pokazać, że niezależnie jak bardzo małe epsilon greater than 0 sobie obierzemy, od pewnych wartości n “w górę”, czyli dla wszystkich n większych od jakiegoś N zachodzi zawsze nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

    Bierzemy się za nierówność:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

    open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

    Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

    fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

    Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

    Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

    fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

    Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

    open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Obie strony możemy zlogarytmować:

    ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

    ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Korzystając z własności logarytmu:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

    Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

    Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

    n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

    Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Zastanówmy się, co z tego wynika.

    Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

    A więc faktycznie:

    for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

    Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

    1. Jakub pisze:

      Najgorsze są właśnie te różne potęgi i nie wiem jak sie ich wyzbyć

    2. Kamil Kocot pisze:

      Witam

      Granicę z potęgami najczęściej rozwiązujemy zapisując wszystkie liczby do potęgi n tzn. jeśli przykładowo w granicy pojawia się 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent to rozpisujemy to jako 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent equals open parentheses 2 cubed close parentheses to the power of n times 2 to the power of 1 equals 8 to the power of n times 2. Następnie dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę z mianownika, mam tu na myśli potęgi liczb np. 2 to the power of n comma space 3 to the power of n itd. Trzeba mieć świadomość, że wyrażenia tego typu dążą “szybciej” do nieskończoności niż wyrażenia typu n squared comma space n cubed itd. Tym samym granicę podaną przez Pana można rozwiązać następująco:

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator open parentheses negative 4 close parentheses to the power of n end fraction end cell equals cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 space space divided by 4 to the power of n over denominator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n space space space divided by 4 to the power of n end fraction end cell row blank equals cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent over denominator 4 to the power of n end fraction end style plus begin display style fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction end style space space over denominator begin display style fraction numerator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n over denominator 4 to the power of n end fraction end style space end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table

      Dalej ponieważ limit as n rightwards arrow infinity of open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n equals 0 oraz limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0 (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy 

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

      60/75/e2988f85dee73f69ab942f8888a0.png” alt=”open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»q«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi»q«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#60;«/mo»«mi»§#949;«/mi»«/math»” />

      Umawiamy się więc, że q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses i że bierzemy sobie jakieś dowolne epsilon . Nie określamy dokładnie jakie, bo epsilon musi być zupełnie dowolny.

      Bierzemy się za nierówność:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Mianownik po lewej już jest wspólny, czyli:

      open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n minus 1 over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      open vertical bar fraction numerator negative q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction close vertical bar less than epsilon

      Wartość bezwzględna po lewej jest równoważna:

      fraction numerator begin display style open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style open vertical bar 1 minus g close vertical bar end style end fraction less than epsilon

      Co do licznika, wiadomo, że open vertical bar negative q to the power of n close vertical bar equals open vertical bar q to the power of n close vertical bar, ale nie możemy tak po prostu wartości bezwzględnej opuścić, bo q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, czyli q to the power of n może też przyjmować wartości ujemne dla pewnych q.

      Co do mianownika, skoro q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses, to 1 minus q jest zawsze dodatnie. Wartość bezwzględną możemy więc pominąć. Mamy:

      fraction numerator begin display style open vertical bar q to the power of n close vertical bar end style over denominator begin display style 1 minus q end style end fraction less than epsilon

      Obie strony możemy pomnożyć przez 1 minus q i na pewno nie zmieni to znaku nierówności (q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses).

      open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Obie strony możemy zlogarytmować:

      ln open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Prawdą jest też, że: open vertical bar q to the power of n close vertical bar less than open vertical bar q close vertical bar to the power of n, czyli mamy:

      ln open vertical bar q close vertical bar to the power of n less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Korzystając z własności logarytmu:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses

      Teraz bardzo ważna rzecz. Dzieląc obie strony nierówności przez ln open vertical bar q close vertical bar wiemy, że dzielmy na pewno przez liczbę UJEMNĄ, ponieważ q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses. Argument logarytmu jest więc mniejszy od 1, a z wykresu funkcji logarytmicznej wiemy, że dla takich argumentów wartości logarytmu są ujemne.

      Skoro dzielimy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:

      n ln open vertical bar q close vertical bar less than ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses space space space space space divided by colon ln open vertical bar q close vertical bar
n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction

      Pokazaliśmy więc, że nierówność open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy zachodzi nierówność n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Zastanówmy się, co z tego wynika.

      Powiedzmy, że wybieramy sobie jakieś dowolne epsilon greater than 0. Dla tego wybranego przez nas, dowolnego, epsilon greater than 0 wyliczyć możemy sobie liczbę fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      Skoro jednak pokazaliśmy, że n greater than fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction, oznacza to, że niezależnie jaka by ta fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction nie była, od pewnych wartości n będą one większe od fraction numerator ln epsilon open parentheses 1 minus q close parentheses over denominator ln open vertical bar q close vertical bar end fraction.

      A więc faktycznie:

      for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 1 minus q end fraction close vertical bar less than epsilon

      Dowodzi to, że faktycznie granicą ciągu fraction numerator 1 minus q to the power of n over denominator 1 minus g end fraction przy q element of open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses jest fraction numerator 1 over denominator 1 minus g end fraction.f9/e7/679e551ab38fffc4328d16bbc3c7.png” alt=”u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»” />

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  7. Katarzyna pisze:

    nie wiem jak obliczyć granicę z n!/n czy jest to jakiś wyjątek?

  8. Kuba pisze:

    Witam ,czy symbol oo^0 zawsze będzie dawał 1

  9. Marcus Vassenlexs pisze:

    Przepraszam czy mógłby mi pan pomóc w pewnym zagadnieniu?Otóż zastanawiam się ile wynosi wynik (-x)^∞ gdzie x należy do liczb dodatnich.

  10. Proszę o Pana uzasadnienie wprowadzenia do tego zestawu symboli nieoznaczonych 0 do potęgi nieskończoność?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To nie jest symbol nieoznaczony, znalazł się tam przez pomyłkę. Przepraszam, poprawiam.

  11. witam!
    Czy mógłbym Pan rozpisać rozwiazanie zadania 10 z działu Granic, lekcji 4(twierdzenie o trzech ciągach) ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Bardzo proszę.

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right) \right]

      Ograniczam od dołu i od góry:

      n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)

      Obliczam granice z ograniczeń z dołu i z góry:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}=1

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=1

      Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica tego ciągów równa jest 1.

  12. m994 pisze:

    Jeśli mamy nieskończoność + nieskończoność to jest to symbol oznaczony prawda ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, ale takiego zwrotu jak: “symbol oznaczony” nie ma.

      Prawidłowo powinno się powiedzieć: “to nie jest symbol nieoznaczony”.

  13. Aneta pisze:

    Witam.
    Mam problem z tym zadaniem:
    Pokaż, że 2arctg(x) + arcsin(2x/1+x^2)=π*sgn(x), dla abs(x)>=1.

    Proszę o pomoc.

  14. Problem pisze:

    Witam !
    Proszę o wyjaśnienie(najlepiej rozpisanie obliczeń) do takiej granicy(z wyjaśnieniem gdy n zmierza do nieskończoności oraz do -nieskończoności):
    (-5+4^(-1+n))/(-7+4^n)

    Wyniki z wolfram\alpha
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-5%2B4%5E%28-1%2Bn%29%29%2F%28-7%2B4%5En%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Przy n dążącym do -nieskończoności? A to jest granica ciągu?

      Przy n do +nieskończoności to pójdzie tak (metodami z mojego Kursu):

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1}}{{4}^{n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-5}{{{4}^{n}}}+{{4}^{-1}} \right)}{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-7}{{{4}^{n}}}+1 \right)}={{4}^{-1}}=\frac{1}{4}

      Zakładając, że to NIE jest granica ciągu, tylko np. funkcji, w której zmienna oznaczona jest jako “n”:

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=

      \left[ \frac{-5+{{4}^{-1-\infty }}}{-7+{{4}^{-\infty }}} \right]=\left[ \frac{-5+{{4}^{-\left( 1+\infty \right)}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{{{4}^{1+\infty }}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{\infty }}{-7+\tfrac{1}{\infty }} \right]=\left[ \frac{-5+0}{-7+0} \right]=\left[ \frac{5}{7} \right]

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\frac{5}{7}

  15. Tomasz pisze:

    Nie wiem, czy pan jeszcze odpowiada na komentarze, ale mam pewne pytanie.
    Jak wiadomo [ \infty – \infty ] to symbol nieoznaczony, który mówi, że od czegoś bardzo dużego odejmujemy coś bardzo dużego.
    Co jednak kiedy mamy sytuację [- \infty + \infty ], gdzie do czegoś bardzo małego dodajemy coś bardzo dużego. Czy to jest to samo co poprzednie, czy nie?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To samo 🙂

  16. Rafał pisze:

    we wzorach w kursie granice jest taki wzór na “a do potęgi nieskończoność”. I tam jest że gdy a = 1, to “a do potęgi nieskończoność”=1 ale to jest symbol nieoznaczony, więc o co z tym chodzi.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, to dobre pytanie.

      Chodzi o to, że znak “1” użyty w symbolu nieoznaczonym: \left[ {{1}^{\infty }} \right]i znak “1” użyty we wzorze na {{a}^{\infty }}: {{a}^{\infty }}=\{ \begin{matrix}
      \infty \quad dla a>1 \\
      1\quad dla a=1 \\
      0\quad dla \left| a \right|<1
      \end{matrix}

      …oznaczają coś innego.

      W symbolu nieoznaczonym \left[ {{1}^{\infty }} \right]"jedynka" oznacza ("symbolizuje") liczbę nieskończenie blisko liczby 1 (bardziej fachowo powiedziało by się: wyrażenie, którego granicą jest 1).

      We wzorze na {{a}^{\infty }}"jedynka" oznacza po prostu liczbę równo 1.

      Stąd różnice w "wynikach".

      Jeśli liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki itd. w nieskończoność nie można od razu powiedzieć, jaki będzie wynik takiej operacji (symbol nieoznaczony).

      Jeśli jednak równo jeden pomnożymy przez 1 potem pomnożymy przez 1 itd. w nieskończoność wiadomo, że wynikiem będzie 1.

      Na tej samej zasadzie symbol "0" w każdym symbolu nieoznaczonym nie oznacza liczby równo 0, a symbol \infty nie oznacza jakiejś konkretnej, bardzo wielkiej liczby.

      Więcej na ten temat może Pan przeczytać w tym poście, zapraszam:
      https://blog.etrapez.pl/granice/granica-ciagu/klopoty-z-symbolami-nieoznaczonymi/