Granica ciągu Wykład 3
Temat: Wyrażenia nieoznaczone
Streszczenie
W artykule przybliżę, czym są wyrażenia nieoznaczone pojawiające się w zadaniach na granicę ciągu.
Łatwe do wyznaczenia granice ciągu
Jak obliczać granice ciągu? Jeśli zetknąłeś się z tym tematem na studiach, albo gdzie indziej, z pewnością kojarzy Ci się on z metodami, wyciąganiem przed nawias, mnożeniem przez sprzężenie itd. I słusznie. Ale wiele ciągów ma tak prostą do obliczenia granicę, że korzystanie z jakiś złożonych metod w najlepszym razie jest stratą czasu i wysiłku.
Przykład 1
Przeanalizujmy ciąg:
Kolejne wyrazy ciągu wyglądały by tak:
itd.
Widzimy, że jego wyrazy są coraz mniejsze, mniejsze i dążą do zera. Po zastanowieniu można dojść do wniosku, że podobny wynik granicy otrzymamy w każdej sytuacji, w której licznik zmierzać będzie do stałej liczby, a mianownik rozbiegać w nieskończoność. Granica równa będzie wtedy zawsze zero – bo przy coraz większym i większym mianowniku całe wyrażenie będzie coraz mniejsze i mniejsze – dążące do zera. Zatem:
…niezależnie od tego, jaki konkretnie ciąg jest na dole w mianowniku, jeśli tylko rozbiega do nieskończoności.
Kiedy będzie to wyglądało inaczej?
Wyrażenia nieoznaczone typu ![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
Przykład 2
Weźmy dwa ciągi: . Oba rozbiegają w nieskończoność. Jeśli podzielimy ich odpowiadające sobie wyrazy otrzymamy nowy ciąg:
Symbolicznie taką sytuację oznaczamy
Rozpisując
Te liczby zbliżają się coraz bardziej do jeden. Dla tego konkretnego ciągu więc
Przykład 3
Weźmy sobie dwa inne ciągi:
Jest to ciąg, w którym znowu w liczniku i mianowniku mamy ciągi rozbiegające w nieskończoność, a zatem znowu sytuację
Rozpisując kolejne wyrazy ciągu
Czyli zauważyć można, że mianownik rozbiega jakby “szybciej” do nieskończoności od licznika, a całe wyrażenie dąży do 0.
W obu przykładach (2 i 3) mieliśmy tą samą sytuację:
W sytuacji
Wyrażenia nieoznaczone ogólnie
Tego typu wyrażenia nazywamy “symbolami nieoznaczonymi” (jest ich w sumie siedem). Policzenia granicy ciągu z symboli nieoznaczonych wymaga użycia różnych metod, natomiast jeśli w ciągu wyrażenia nieoznaczone nie występują – jest to na ogół ciąg, którego granicę wyznaczyć bardzo prosto.
Wypiszmy więc wszystkie symbole nieoznaczone:
Ważną rzeczą jest zrozumienie tego, że wyrażenie nieoznaczone jest pewnym symbolem, które niesie treści różne od tych, do których się może przyzwyczailiśmy. Na przykład symbol
Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak liczyć granice ciągu z definicji (poprzedni Wykład) <–
Kliknij, aby poznać definicję granicy niewłaściwej ciągu (następny Wykład) –>
moje dziecko dostało zadanie
2 x … = Nieskończoność
czyli : dwa razy (jakaś cyfra) równa się nieskończoność
czy ktoś poradzi?
Czy to wyrażenie jest granicą? To już jakieś końcowe przekształcenia, czy fragment jakiegoś zadania?
Trudno mi określić jednoznacznie, ale jeśli mamy równanie (raczej w granicy)
2*coś=nieskończoność
to x jest liczbą dążącą do nieskończoności.
Witam, jak obliczyć granicę n³/2^pierwiastek z n?
Witam, jak obliczyć granicę \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 3 } } { 2 ^ { \sqrt { n } } }
Witam zrobi pan zadanie z kursu pochodne lekcja 4?![L i m subscript x minus greater than fraction numerator straight \pi space over denominator 2 end fraction end subscript space space \left parenthesis t g x \right parenthesis to the power of fraction numerator 1 over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![L i m subscript x minus greater than fraction numerator straight \pi space over denominator 2 end fraction end subscript space space \left parenthesis t g x \right parenthesis to the power of fraction numerator 1 over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ca/10/eddcee52dec0f1b15a2426c4bbc9.png)
Robię ze wzoru ![a to the power of b equals e to the power of b ln a end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![a to the power of b equals e to the power of b ln a end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/ad/e0/38464ad0324e64c714dd2b827100.png)
potem robię oddzielną granice i mam ![fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction equals open square brackets fraction numerator ln \begin display style infinity end style over denominator \begin display style straight \pi over 2 minus straight \pi over 2 end style end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 0 close square brackets](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator x minus \begin display style straight \pi over 2 end style end fraction equals open square brackets fraction numerator ln \begin display style infinity end style over denominator \begin display style straight \pi over 2 minus straight \pi over 2 end style end fraction close square brackets equals open square brackets infinity over 0 close square brackets](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/7c/fd/25c96989d2130e696b6d8c82e8e5.png)
no i co mam z tym z zrobić?
Witam, jak należy zabrać się za granicę takiego typu?![limit as x \rightwards arrow infinity of square root of x times sin \left parenthesis square root of x plus 1 end root minus square root of x \right parenthesis](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as x \rightwards arrow infinity of square root of x times sin \left parenthesis square root of x plus 1 end root minus square root of x \right parenthesis](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/9d/e2/137089ed07e1f27472b47b1394b2.png)
Pozdrawiam!
Witam, mam zadanie obliczyć granice bez użycia pochodnych. Czy to możliwe. Na Pana kursach w ogóle nie są poruszane takie zagadnienia, albo nie mogę ich znaleźć.![limit as x \rightwards arrow infinity of \left parenthesis fraction numerator x minus 3 over denominator x plus 2 end fraction \right parenthesis to the power of 3 x end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as x \rightwards arrow infinity of \left parenthesis fraction numerator x minus 3 over denominator x plus 2 end fraction \right parenthesis to the power of 3 x end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/b1/98/caa00f5f92f384c0663aa47248d3.png)
![limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin \left parenthesis x squared minus 4 \right parenthesis over denominator sin \left parenthesis x minus 2 \right parenthesis end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin \left parenthesis x squared minus 4 \right parenthesis over denominator sin \left parenthesis x minus 2 \right parenthesis end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/40/d8/d3abe7410ab6e8c806133607ac48.png)
Czy może Pan pomóc mi w tym??
również mam problem ponieważ mam granice lim x->oo (2x^2 +1)^453 /2^450 *(x^3+3n)^302 . nie mam pomyslu na ta granice
Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem i mamy tu na myśli granicę![limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as x \rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/90/0a/b334cb5b32c56c2762efee4c606c.png)
. W takich przykładach trzeba umiejętnie “wyłowić” to co istotne. Tutaj x zbiega do nieskończoności zatem to będzie najważniejszy punkt, trzeba standardowo wyłączyć przed nawias x w najwyższej potędze co krok po kroku postaram się zrobić:
Po drodze skorzystałem z własności potęg![open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/81/ca/d41f39e01554d782c9079f8df28e.png)
, skróciłem ![x to the power of 906](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x to the power of 906](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/fb/3b/4bffc7e7836d77fcdfeb8548e5a1.png)
a pod koniec ![1 over x squared comma space 3 over x squared \rightwards arrow 0 space](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![1 over x squared comma space 3 over x squared \rightwards arrow 0 space](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/36/64/b8a25fe674318da00bbeefadd6d1.png)
gdy ![x \rightwards arrow infinity](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![x \rightwards arrow infinity](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/6d/8c/86670907924d3687823d35adb486.png)
.
Witam mam problem z pewną granicą, a mianowicie chodzi o policzenie as. poziomych dla (x^2/e^x). W obu wychodzi symbol nieoznaczony i co należy dalej zrobić?
ja mam takie dość durne zadanie na kolosa i za bardzo nie mam pomysłu jak sie za to zabrac![fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator \left parenthesis negative 4 \right parenthesis to the power of n end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator \left parenthesis negative 4 \right parenthesis to the power of n end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/9d/93/3599f01dfc8a029da3fd41c34da9.png)
jakieś propozycje
Najgorsze są właśnie te różne potęgi i nie wiem jak sie ich wyzbyć
Witam
Granicę z potęgami najczęściej rozwiązujemy zapisując wszystkie liczby do potęgi n tzn. jeśli przykładowo w granicy pojawia się![2 to the power of 3 n plus 1 end exponent](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![2 to the power of 3 n plus 1 end exponent](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/f3/57/e29a8e63eb816257809f8b325443.png)
to rozpisujemy to jako ![2 to the power of 3 n plus 1 end exponent equals open parentheses 2 cubed close parentheses to the power of n times 2 to the power of 1 equals 8 to the power of n times 2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![2 to the power of 3 n plus 1 end exponent equals open parentheses 2 cubed close parentheses to the power of n times 2 to the power of 1 equals 8 to the power of n times 2](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/62/65/99f4ab594c88e2ea52ab130072fe.png)
. Następnie dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę z mianownika, mam tu na myśli potęgi liczb np. ![2 to the power of n comma space 3 to the power of n](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![2 to the power of n comma space 3 to the power of n](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/af/ea/613debee605a58a64791c03d7dca.png)
itd. Trzeba mieć świadomość, że wyrażenia tego typu dążą “szybciej” do nieskończoności niż wyrażenia typu ![n squared comma space n cubed](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![n squared comma space n cubed](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/23/8f/44e95f97fca6585b782d34658621.png)
itd. Tym samym granicę podaną przez Pana można rozwiązać następująco:
Dalej ponieważ![limit as n \rightwards arrow infinity of open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as n \rightwards arrow infinity of open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/10/3f/d8c79e54b2ea9d02fd9114a36dfe.png)
oraz ![limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/28/1d/cbc71ef47ed4377643b75f73d53a.png)
(jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera “szybciej” niż licznik!) dostajemy
nie wiem jak obliczyć granicę z n!/n czy jest to jakiś wyjątek?
Witam ,czy symbol oo^0 zawsze będzie dawał 1
Przepraszam czy mógłby mi pan pomóc w pewnym zagadnieniu?Otóż zastanawiam się ile wynosi wynik (-x)^∞ gdzie x należy do liczb dodatnich.
Proszę o Pana uzasadnienie wprowadzenia do tego zestawu symboli nieoznaczonych 0 do potęgi nieskończoność?
To nie jest symbol nieoznaczony, znalazł się tam przez pomyłkę. Przepraszam, poprawiam.
witam!
Czy mógłbym Pan rozpisać rozwiazanie zadania 10 z działu Granic, lekcji 4(twierdzenie o trzech ciągach) ?
Bardzo proszę.
\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right) \right]
Ograniczam od dołu i od góry:
n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)
Obliczam granice z ograniczeń z dołu i z góry:
\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}=1
\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=1
Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica tego ciągów równa jest 1.
Jeśli mamy nieskończoność + nieskończoność to jest to symbol oznaczony prawda ?
Tak, ale takiego zwrotu jak: “symbol oznaczony” nie ma.
Prawidłowo powinno się powiedzieć: “to nie jest symbol nieoznaczony”.
Witam.
Mam problem z tym zadaniem:
Pokaż, że 2arctg(x) + arcsin(2x/1+x^2)=π*sgn(x), dla abs(x)>=1.
Proszę o pomoc.
Witam !
Proszę o wyjaśnienie(najlepiej rozpisanie obliczeń) do takiej granicy(z wyjaśnieniem gdy n zmierza do nieskończoności oraz do -nieskończoności):
(-5+4^(-1+n))/(-7+4^n)
Wyniki z wolframalpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-5%2B4%5E%28-1%2Bn%29%29%2F%28-7%2B4%5En%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-
Przy n dążącym do -nieskończoności? A to jest granica ciągu?
Przy n do +nieskończoności to pójdzie tak (metodami z mojego Kursu):
\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1}}{{4}^{n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-5}{{{4}^{n}}}+{{4}^{-1}} \right)}{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-7}{{{4}^{n}}}+1 \right)}={{4}^{-1}}=\frac{1}{4}
Zakładając, że to NIE jest granica ciągu, tylko np. funkcji, w której zmienna oznaczona jest jako “n”:
\underset{n\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=
\left[ \frac{-5+{{4}^{-1-\infty }}}{-7+{{4}^{-\infty }}} \right]=\left[ \frac{-5+{{4}^{-\left( 1+\infty \right)}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{{{4}^{1+\infty }}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{\infty }}{-7+\tfrac{1}{\infty }} \right]=\left[ \frac{-5+0}{-7+0} \right]=\left[ \frac{5}{7} \right]
\underset{n\to -\infty }{\mathop{lim }}\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\frac{5}{7}
Nie wiem, czy pan jeszcze odpowiada na komentarze, ale mam pewne pytanie.
Jak wiadomo [ \infty – \infty ] to symbol nieoznaczony, który mówi, że od czegoś bardzo dużego odejmujemy coś bardzo dużego.
Co jednak kiedy mamy sytuację [- \infty + \infty ], gdzie do czegoś bardzo małego dodajemy coś bardzo dużego. Czy to jest to samo co poprzednie, czy nie?
To samo 🙂
we wzorach w kursie granice jest taki wzór na “a do potęgi nieskończoność”. I tam jest że gdy a = 1, to “a do potęgi nieskończoność”=1 ale to jest symbol nieoznaczony, więc o co z tym chodzi.
Dzięki, to dobre pytanie.
Chodzi o to, że znak “1” użyty w symbolu nieoznaczonym: \left[ {{1}^{\infty }} \right]i znak “1” użyty we wzorze na {{a}^{\infty }}: {{a}^{\infty }}=\{ \begin{matrix}
\infty \quad dla a>1 \\
1\quad dla a=1 \\
0\quad dla \left| a \right|<1\end{matrix}
…oznaczają coś innego.
W symbolu nieoznaczonym \left[ {{1}^{\infty }} \right]"jedynka" oznacza ("symbolizuje") liczbę nieskończenie blisko liczby 1 (bardziej fachowo powiedziało by się: wyrażenie, którego granicą jest 1).
We wzorze na {{a}^{\infty }}"jedynka" oznacza po prostu liczbę równo 1.
Stąd różnice w "wynikach".
Jeśli liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki itd. w nieskończoność nie można od razu powiedzieć, jaki będzie wynik takiej operacji (symbol nieoznaczony).
Jeśli jednak równo jeden pomnożymy przez 1 potem pomnożymy przez 1 itd. w nieskończoność wiadomo, że wynikiem będzie 1.
Na tej samej zasadzie symbol "0" w każdym symbolu nieoznaczonym nie oznacza liczby równo 0, a symbol \infty nie oznacza jakiejś konkretnej, bardzo wielkiej liczby.
Więcej na ten temat może Pan przeczytać w tym poście, zapraszam:
https://blog.etrapez.pl/granice/granica-ciagu/klopoty-z-symbolami-nieoznaczonymi/