Комплексні поліноміальні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь

---

Зведення деяких рівнянь четвертого ступеня до квадратних рівнянь

Багато поліноміальних рівнянь четвертого ступеня можна перетворити на квадратні рівняння за допомогою добре відомого зі школи трюку, описаного тут:

Зведення до квадратного рівняння

Це, звичайно, працює і для поліномів у комплексних числах.

Нагадую, мова йде про маючи рівняння:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Підставляємо: {{z}^{2}}=t

І отримуємо квадратне рівняння:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Далі вирішуємо його за допомогою звичайної дельти і так далі, маємо розв’язки , пам’ятаючи про те, що утворюємо з них два наступні рівняння:

або

Розв’язуємо їх і маємо чотири розв’язки: .

Зведення деяких рівнянь вищих ступенів до квадратних рівнянь

Абсолютно нічого не заважає розширити цей метод на рівняння вищих ступенів, ніж 4 (якщо, звичайно, їх можна звести до квадратних шляхом підстановки).

Отже, маємо:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

Можна також помітити, що це еквівалентно:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

І після підстановки:

Виходимо на квадратне рівняння:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

У рівнянні:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Після підстановки:

Маємо:

{{t}^{2}}-3t+1=0

І так далі, і так далі…

Приклад

Візьмемо рівняння:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Підставляємо z^2=t і маємо:

t^2+(1-i)t-i=0

Далі рахуємо:

Рахуємо ці корені відомими методами комплексних чисел (показано, наприклад, у моєму Курсі).

Маємо або

Тобто:

Пам’ятаючи про те, що це ще не розв’язки, бо z^3=t

Тобто маємо розв’язати рівняння:

z^3=-1

А також:

z^3=i

Перетворюємо їх на:

та

І обчислюючи знову відомими методами, маємо три корені з першого рівняння:

А також три корені з другого рівняння:

Розв’язано 🙂