Kalkulator pochodnych (NIEAKTUALNY). Zapraszam do NOWEJ wersji!

Picture of Krystian Karczyński

Krystian Karczyński

Ogłoszenie

Niestety, po ponad 12 latach od udostępnienia przeze mnie darmowego kalkulatora pochodnych, musiałem go „wyłączyć”.

Kalkulator był prostym „widgetem” strony WolframAlpha. Jakiś czas temu Wolframalpha zmienił swoją politykę odnośnie widgetów. Między innymi: przestały one obliczać „na miejscu”, tylko przerzucają użytkownika na stronę WolframAlpha .

Przepraszam za kłopot wszystkich dotychczasowych użytkowników Kalkulatora Do Pochodnych. Przez długie lata bił on rekordy popularności jeśli chodzi o liczbę odwiedzających i zapytań.

Nowy kalkulator pochodnych

Zapraszam też do nowego kalkulatora pochodnych, stworzonego już przeze mnie w technologii Open Source. Dostęp do niego (i do innych interaktywnych narzędzi) uzyskać możecie w ramach subskrypcji za jedyne 5,99 zł / miesiąc na stronie:

Interaktywne Zadanie Domowe

A sam kalkulator wygląda tak:

Pozdrawiam i powodzenia!

Krystian Karczyński

konometria jest dosyć młodą dziedziną wypływającą z ekonomii i matematyki. W praktyce, dzięki modelom ekonometrycznym, możesz „zmierzyć gospodarkę”.Polega to konkretnie na zmierzeniu, jak zachowuje się jedna zmienna w zależności od innych. I na podstawie analizy tego, co było, możesz określać, co będzie się działo w przyszłości.

Wykorzystasz do tego przeróżne obliczenia, testy, schematy. Jedne będą bardzo proste, inne trudniejsze. Jednak najczęściej będzie się liczyło nie to, jak dojdziesz do wyniku, ale jak go zinterpretujesz, odczytasz i jakie wnioski wyciągniesz.

Poniższe Wykłady dotykają najważniejszych pojęć teoretycznych. Jestem przekonana, że pomogę Ci odkrywaniu tego, czym jest ekonometria. I przy okazji uda Ci się zaliczyć ten przedmiot na studiach.

310 Komentarzy

  1. Mam problem z pochodą funkcji f(x)= arcsin(sqrt(x-1)) we wzorze na pochodną jest x^2 a w kalkulatorze wynik wychodzi bez kwadratu 🙁 nie wiem co robię źle.

  2. Dzień dobry mam problem z policzeniem tych pochodnych :Niech y = f(x) = cos 2x, g(x) = e^((1/3)*x)a) oblicz g'(3)b) oblicz (f(x)g(x))’c) oblicz  (f(x)/g(x))’

    1. Krystian Karczyński

      a)

      g'\left( x \right) = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}} \right)^\prime } = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}x} \right)^\prime } = \frac{1}{3}{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}

      g'\left( 3 \right) = \frac{1}{3}{e^{{{\frac{1}{3}}} \cdot 3}} = \frac{1}{3}e = \frac{e}{3}

      b)

      f\left( x \right)g\left( x \right) = \cos 2x \cdot {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}} = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x

      {\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x} \right)^\prime } = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}} \right)^\prime }\cos 2x + {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}{\left( {\cos 2x} \right)^\prime } =

      = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}{\left( {\frac{1}{3}x} \right)^\prime }\cos 2x + {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\left( { – \sin 2x} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } = \frac{1}{3}{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x – 2{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\sin 2x =

      = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\left( {\frac{1}{3}\cos 2x – 2\sin 2x} \right)

  3. Witam,

    mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

    Oblicz z definicji pochodną f(x)= 1/(5x+6) w punkcie x0. Poprawność sprawdź z wzorów na pochodne.

    Z góry dziękuję za pomoc.

    1. Pochodna z fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction.

      Na początku mamy tutaj dzielenie dwóch funkcji, więc zaczynamy od zastosowania wzoru: open parentheses f over g close parentheses apostrophe equals fraction numerator f apostrophe space times g space minus space f times g apostrophe over denominator g squared end fraction

      f equals 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed – tutaj spoko, licząc pochodną wykorzystujemy liniowość, czyli pochodna z każdego składnika oddzielnie oraz dwa proste wzory: open square brackets a times f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe equals a times open square brackets f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe (stała przed pochodną po x-sie), a także wzór:   open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent.

      g equals open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared – tutaj występuje takie coś jak złożenie funkcji. Masz jakieś wyrażenie podniesione do potęgi drugiej, czyli open parentheses co ś close parentheses to the power of n . Przy liczeniu pochodnej wykorzystujesz wzór na open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent , z tym, że trzeba pamiętać do DOMNOŻENIU jeszcze pochodnej tego czegoś więcej, tego wyrażenia „coś”, czyli: open parentheses open parentheses co ś close parentheses to the power of n space close parentheses apostrophe equals space n times open parentheses co ś close parentheses to the power of n minus 1 end exponent times open parentheses c o ś close parentheses apostrophe

      No tu wyjdzie ostatecznie:

      open square brackets fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction close square brackets apostrophe equals fraction numerator open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses apostrophe times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe over denominator open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets squared end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 2 times 6 times x to the power of 5 minus 16 times 3 times x squared close parentheses times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 1 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses apostrophe close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 open parentheses x cubed minus 2 close parentheses times open parentheses 3 times x squared minus 0 close parentheses close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared open parentheses x cubed minus 2 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses open square brackets open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator 12 x to the power of 8 minus 24 x to the power of 5 minus 48 x to the power of 5 plus 96 x squared minus space 12 x to the power of 8 plus 96 x to the power of 5 over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator 24 x to the power of 5 plus 96 x squared over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator bold 24 bold x to the power of bold 2 open parentheses bold x to the power of bold 3 bold plus bold 4 close parentheses over denominator open parentheses bold x to the power of bold 3 bold minus bold 2 close parentheses to the power of bold 3 end fraction

  4. Witam serdecznie. Mam problem z pochodną f(x)= 3/((1-x^2)(1-2x^3)). Kalkulator pokazuje odpowiedź: 6x(-5x^3+3x+1)/(mianownik^2).  A w moich obliczeniach wszystko się zgadza oprócz tego, że mam -6x. Ktoś wie co się stało z tym minusem? Proszę o odpowiedź

  5. Dzień dobry,zasanowiła mnie jedna rzecz. Chcąc sprawdzić wynik pochodnej (-8cos(x)sin(x))’ znalałzam Pana kalkulator i inny. wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym  (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik. Mogę prosić o pomoc?To całe zadanie jaki muszę obliczyć: -8cos(x)sin(x)+(e^(x^(1/2))(1- (1/x^(1/2))) /(4x))”Podzieliłam” je na 2 zgodnie z właściwościami pochodnych – [f(x)+g(x)]’ = f'(x)+g'(x) 

    1. „wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym  (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik.”

      Pani Kasiu – oba wyniki są poprawne 🙂 Policzyła Pani wszystko prawidłowo.

      Kalkulator zamieszczony na Blogu po prostu dodatkowo dokonał jeszcze jedne przekształcenie, wykorzystując rozpisanie wzoru cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis ze szkoły średniej (jak pamiętamy, tam były jego 3 wersje)

      cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis equals cos squared x minus sin squared x space equals space 2 cos squared x minus 1 space equals space 1 minus 2 sin squared x – wykorzystana została wersja pierwsza.

      Rozpisując Pani wynik: 

      8 sin squared x space – space 8 cos squared x equals negative 8 times open parentheses negative sin squared x space plus cos squared x close parentheses equals negative 8 open parentheses bold italic c bold italic o bold italic s to the power of bold 2 bold italic x bold minus bold italic s bold italic i bold italic n to the power of bold 2 bold italic x close parentheses equals negative 8 bold italic c bold italic o bold italic s bold \left parenthesis bold 2 bold italic x bold \right parenthesis

  6. w kalkulatorze wychodzą bzdury gdy liczy się pochodną pierwiastków:np po wpisaniu (x^2)^-2 czyli square root of cross times squared end root (pochodna to oczywiście 1) wychodzi

    1. Tutaj akurat kalkulator dobrze policzył pochodną 🙂

      Wpisana formuła „(x^2)^-2” (potęga (-2) ) nie oznacza pierwiastka, tylko inna potęgę, a mianowicie:
      open parentheses x squared close parentheses to the power of negative 2 end exponent equals open parentheses 1 over x squared close parentheses squared equals 1 over x to the power of 4 equals x to the power of negative 4 end exponent – minus w potędze odwraca podstawę 🙂

      Aby wprowadzić pierwiastek, trzeba wziąć potęgę ułamkową, czyli powinien Pan wpisać „”(x^2)^(1/2)” 

      Wtedy pochodna:

      open parentheses square root of x squared end root close parentheses apostrophe equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared end root end fraction close parentheses times open parentheses x squared close parentheses apostrophe equals fraction numerator 2 x over denominator 2 square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 1 space space space space space space d l a space x greater or equal than 0 end cell row cell negative 1 space space space d l a space x less than 0 end cell end table close

  7. Dzień dobry, chciałem zwrócić uwagę na błąd, gdy w pochodnej funkcji sqrt(3^3 -2) wynikiem jest ((3^x)log(3))/(2(sqrt(3x-2))), gdzie w miejscu log powinno być ln.Pozdrawiam

  8. Witam, w ostatniej lekcji z kursu pochodnych robił Pan przykład x/lnx, Moje pytanie brzmi skąd w wykresie 2 pochodnej wziął się punkt 1. wklejam juz policzoną 2 pochodną

    1. y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r s c i n x plus a r c cos x close vertical bar end root

      Wiadomo, że pochodna liczby stałej wynosi zero:

      C apostrophe equals 0, o ile C equals c o n s t space open parentheses s t a ł a close parentheses

      Obliczymy:

      open parentheses a r c sin x plus a r c cos x close parentheses apostrophe equals open parentheses a r c sin x close parentheses apostrophe plus open parentheses a r c cos x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction plus open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction close parentheses equals 0

      Stąd mamy, że a r c sin x plus a r c cos x equals C

      Liczba stała nie zależy od x. Obliczymy ją:

      a r c sin x plus a r c cos x equals C equals a r c sin 0 plus a r c cos 0 equals 0 plus \pi over 2 equals \pi over 2

      Wtedy funkcja

      y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r c sin x plus a r c cos x close vertical bar end root equals fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5,

      i jej pochodna

      (wg wzoru dla funkcji złożonej:  open parentheses triangle to the power of 5 close parentheses apostrophe equals 5 triangle to the power of 4 times open parentheses triangle close parentheses apostrophe   )

      wynosi:

      y apostrophe equals fifth root of \pi over 2 end root times 5 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses apostrophe equals

      fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses cos x minus sin x close parentheses

       

  9.  Witam,nie wiem czy kalkulator dobrze liczy ale wychodzi że (ln(x))’ = 1/x i to jest dobrze ale wpisując ln(2x) podaje wynik też 1/x czy to jest aby dobrze? Czy nie powinno być 2/x ?Proszę o szybką odpowiedź.

    1. Tutaj wynik jest poprawny, pochodna open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over x
      Bierze się to z tego, że jest to złożenie dwóch funkcji  – nie ma Pan samego „x” w logarytmie tylko coś więcej. Przy liczeniu takich pochodnych, najpierw robimy pochodną tej funkcji „zewnętrznej” i domnażamy do niej pochodną funkcji w środku, tej „wewnętrznej”. 

      Ogólnie na wzorach to idzie tak: left parenthesis f \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis apostrophe space equals space f apostrophe \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis space times space g apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis

      Przy naszych danych to pójdzie tak: open parentheses ln \left parenthesis increment \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over increment times increment apostrophe  , gdzie za ten increment biorę funkcję wewnętrzną.

      Stąd ostatecznie: open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times open parentheses 2 x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times 2 times 1 equals fraction numerator 2 over denominator 2 x end fraction equals 1 over x

    1. Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złożonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu e to the power of x tylko e to the power of c o ś end exponent
      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe .

      Stąd: open parentheses e to the power of 8 x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times open parentheses 8 x close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times 8 times 1 equals 8 e to the power of 8 x end exponent 

  10. czy mógłby ktoś mi pomóc z rozwiązaniem pochodnej: (x^2)/(2-x) ?
    Kalkulator wylicza to jako: [-(x-4)x]/[(x-2)^2]
    Ja wyliczam już czwarty raz i za każdym wychodzi mi taki sam wynik [(4-x)x]/[(2-x)^2], niestety inny niż kalkulatora 🙁
    proszę o pomoc!

    1. Oba wyniki są poprawne i oba są identyczne 🙂

      Po prostu ten z kalkulatora wyliczony „wyciągnął” jeszcze minusy z każdego z wyrażeń.

      Przekształcę więc je tak, że na górze wciągnę go z powrotem, a na dole jakby go wyciągnę jeszcze raz (bo podniesiony do kwadratu się zredukował). Proszę popatrzeć:

      \displaystyle \frac{{-(x-4)x}}{{{{{(x-2)}}^{2}}}}=\frac{{(-x+4)x}}{{{{{\left[ {-(-x+2)} \right]}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(-1)}}^{2}}{{{(2-x)}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(2-x)}}^{2}}}}

      No i wyszedł Pani wynik 🙂

    1. Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złozonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu e to the power of x tylko e to the power of c o ś end exponent.
      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe

      Stąd: open parentheses e to the power of 2 to the power of x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times open parentheses 2 to the power of x close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times 2 to the power of x times ln 2 , gdyż wprost z wzorku  open parentheses a to the power of x close parentheses apostrophe equals a to the power of x times ln a .

  11. Witam. Mam problem z zadaniem: f(x1,x2)=1/2ln(5×1^2-2×2). Jak mogę narysować krzywe w punktach 0, 1 i 2? Wytyczenie pochodnej i całki również by się przydało…

  12. Dzień dobry, bardzo prosiłabym o pomóc z przykładem [((arctgX^2)^3)/((e^3)*x+3^x)]^(arctg(x^4-ln(2x^8+1) Czyli iloraz w tym kwadratowym nawiasie podnosimy do potęgi i z tego wszystkiego policzyć pochodną…wychodzą mi kosmiczne rozwiazania…Z góry dziękuję.

  13. Panie Krystianie,
    może jest mi Pan w stanie wytłumaczyć dlaczego pochodna z -arctg|x| ma pochodną -x/(|x^3|+|x|), a nie po prostu -1/(1+x^2)?

    Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc 🙂

    1. Joanna Grochowska

      Pani Kasiu, gdyby do policzenia byłaby pochodna po prostu z \displaystyle -arctgxto byłaby równa rzeczywiście \displaystyle -\frac{1}{{1+{{x}^{2}}}}

      Jednak tutaj do policzenia jest pochodna \displaystyle -arctg\left| x \right|, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej – moduł z „x”.

      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby \displaystyle \left( {-arctg\Delta } \right)'\cdot \Delta '

      Pytanie, ile wynosi pochodna modułu z x ?

      Rozpisując moduł, wiem, że:
      open vertical bar x close vertical bar equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x comma space space space space space space space space x greater or equal than 0 end cell row cell negative x comma space space space space space x less than 0 end cell end table close

      Czyli odpowiednio pochodna byłby równa 1 lub -1.. Jednak potrzebuję pochodnej w ogólnym przypadku (nie na przedziałach).

      Dlatego uznaje się, że pochodna modułu to (warto zapamiętać ten wzór):

      \displaystyle \left( {\left| x \right|} \right)'=\frac{x}{{\left| x \right|}}

      Można sobie rozpisać na odpowiednich przedziałach i faktycznie wyjdzie 1 lub -1 😉

      Mając wszystko, liczę:

      \displaystyle \left( {-arctg\left| x \right|} \right)'=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \left( {\left| x \right|} \right)'=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \frac{x}{{\left| x \right|}}=-\frac{x}{{\left| x \right|+{{{\left| x \right|}}^{3}}}}

  14. Mam wielką prośbę. Nie moge poradzić sobie z monotonicznością tej funkcji x^3/(x^2+-x-2) będę ogromnie wdzięczny za odpowiedz. Pozdrawiam 🙂

    1. Dana jest funkcja f \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator x cubed over denominator x squared minus x minus 2 end fraction.

      Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.

      x squared minus x minus 2 not equal to 0
      capital delta equals \left parenthesis negative 1 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 2 \right parenthesis equals 9
      x subscript 1 equals fraction numerator 1 minus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 minus 3 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator 2 end fraction equals negative 1
      space x subscript 2 equals fraction numerator 1 plus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 plus 3 over denominator 2 end fraction equals 4 over 2 equals 2

      Zatem D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket.

      Przechodzimy do wyznaczania monotoniczności funkcji f. W tym celu obliczymy jej pochodną i sprawdzimy, kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.

      f apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator open parentheses x cubed close parentheses apostrophe times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals
      equals fraction numerator 3 x squared times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses 2 x minus 1 close parentheses over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals fraction numerator 3 x to the power of 4 minus 3 x cubed minus 6 x squared minus 2 x to the power of 4 plus x cubed over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals
      equals fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction

      Zbadamy teraz, kiedy pochodna przyjmuje wartości większe lub równe 0, a kiedy mniejsze lub równe 0.

      fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction greater or equal than 0

      x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared greater or equal than 0

      x squared open parentheses x squared minus 2 x minus 6 close parentheses greater or equal than 0

      capital delta subscript 1 equals \left parenthesis negative 2 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 6 \right parenthesis equals 28
      x subscript 1 equals fraction numerator 2 minus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 minus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 minus square root of 7
      x subscript 2 equals fraction numerator 2 plus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 plus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 plus square root of 7
      wykres

      Pochodna przyjmuje wartości większe lub równe 0 dla x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater than oraz dla x element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis
      Pochodna przyjmuje wartości mniejsze lub równe 0 dla x element of less than 1 minus square root of 7 comma 1 plus square root of 7 greater than

       

      Należy pamiętać o założeniach dziedziny: D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket.

       

      Zatem podana funkcja jest rosnąca w przedziałach x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater thanx element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis oraz malejąca w przedziałach x element of less than 1 minus square root of 7 comma negative 1 \right parenthesisx element of open parentheses negative 1 comma 2 close parenthesesx element of \left parenthesis 2 comma space 1 plus square root of 7 greater than.

    1. Joanna Grochowska

      By obliczyć pochodną z funkcji \displaystyle {{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}}}} stosuję wzór

      \displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)'=n\cdot {{x}^{{n-1}}}, gdzie jak zauważam, mam coś więcej niż sam „x”, mam dodatkową funkcję (zwaną funkcją wewnętrzną). W taki przypadku obliczoną pochodną przemnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej, czyli mam jakby:

      \displaystyle \left( {{{\Delta }^{n}}} \right)'=n\cdot {{\Delta }^{{n-1}}}\cdot \Delta '

      Mam więc:
      \displaystyle \left( {{{{(2x-{{x}^{2}})}}^{{\frac{2}{3}}}}} \right)’=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}-1}}}\cdot (2x-{{x}^{2}})’=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{-\frac{1}{3}}}}\cdot (2-2x)=\frac{{2\cdot (2-2x)}}{{3\sqrt[3]{{2x-{{x}^{2}}}}}}[/latex]

  15. Witam wszystkich. I proszę o pomoc.
    Mam problem z taką pochodną
    f(x)=[1-sin(2x)]/[2x^4+7x^2-3] Zatrzymuje się w pewnym momencie i nie wiem co dalej. Kalkulator do pochodnych stworzonego przez Pana Krystiana błędnie odczytuje ostatnia część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga. Proszę o pomoc

    1. Joanna Grochowska

      To nie chodzi Panu o pochodną funkcji \displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+7{{x}^{2}}-3}}?

      A może \displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+{{7}^{{{{x}^{2}}-3}}}}}, czy jeszcze inaczej? Proszę może gdzieś nawias () wstawić dodatkowo, to co ma być ujęte w potędze, bo nie do końca rozumiem o co chodzi z
      „część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga”.

      Pozdrawiam

    1. Joanna Grochowska

      Wykorzystuję tutaj wzór na iloczyn dwóch funkcji

      \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      Muszę również pamiętać o tym, że licząc pochodną funkcji złożonej, muszę domnożyć jeszcze razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . to znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      No to rozwiązując przykład:
      \displaystyle \begin{matrix}\left( {{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)} \right)'=\left( {{{e}^{{3x+2}}}} \right)'\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)'= \\ {{e}^{{3x+2}}}\cdot (3x+2)'\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot (6{{x}^{5}}+0)={{e}^{{3x+2}}}\cdot 3\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot 6{{x}^{5}}= \\ 3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+4+2{{x}^{5}}} \right)=3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+2{{x}^{5}}+4} \right)\end{matrix}

    1. Joanna Grochowska

      Czyli chodzi o pochodną funkcji \displaystyle {{cos }^{2}}\sqrt{x}+{{sin }^{2}}\sqrt{x}?

      No to liczę:
      \displaystyle \begin{matrix}\left( {{{{cos }}^{2}}\sqrt{x}+{{{sin }}^{2}}\sqrt{x}} \right)'=2cos \sqrt{x}\cdot \left( {cos \sqrt{x}} \right)'+2sin \sqrt{x}\cdot \left( {sin \sqrt{x}} \right)'= \\ 2cos \sqrt{x}\cdot (-sin \sqrt{x})\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)'+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)'= \\-2sin \sqrt{x}cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}=0\end{matrix}

    1. Joanna Grochowska

      Pochodna funkcji \displaystyle y={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}

      Jest to funkcja złożona, licząc jej pochodną, liczę pochodną funkcji „zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . to znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      Mam:

      \displaystyle \left( {{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}} \right)'={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-{{x}^{2}}} \right)'={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-2x} \right)=-2x{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}

    1. Joanna Grochowska

      f(x)=(x+1)(x+4)

      Pochodną tego można policzyć tak na prawdę na dwa sposoby:

      I SPOSÓB – z pochodnej iloczynu \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      \displaystyle \begin{matrix}\left( {\text{(x+1)(x+4)}} \right)\text{ }!!'!!\text{ =(x+1) }!!'!!\text{ }\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(x+4) }!!'!!\text{ =(1+0)}\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(1+0)=}\text{x+4+x+1=2x+5}\end{matrix}

      II SPOSÓB – przemnożyć przez siebie te dwa nawiasy (bez problemu mogę, gdyż w jednym jak i w drugim jest wielomian) i potem policzyć pochodną otrzymanego wielomianu korzystając z wzoru \displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)'=n\cdot {{x}^{{n-1}}}

      \displaystyle \text{(x+1)(x+4)}={{x}^{2}}+4x+x+4={{x}^{2}}+5x+4

      \displaystyle \left( {{{x}^{2}}+5x+4} \right)'=\left( {{{x}^{2}}} \right)'+\left( {5x} \right)'+\left( 4 \right)'=2x+5\cdot 1+0=2x+5

  16. Witam Panie Krystianie. Czy w wyznaczaniu pochodnych takie cos jak: e^pi , traktujemy jako liczbę czyli wynik to zero czy w inny sposób?

    Dziękuje za odpowiedz
    Pozdrawiam

    1. Joanna Grochowska

      Tak dokładnie, traktujemy to wyrażenie jako liczbę (nie ma Pani tutaj żadnej zmiennej „x”, tylko same stałe), więc pochodna tego to zero 🙂

    1. Joanna Grochowska

      Przykład pierwszy: \displaystyle y={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}

      Jest to funkcja złożona, liczę pochodną funkcji „zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . To znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      Mam:
      \displaystyle \left( {{{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}} \right)'={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}\cdot \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)'

      Pochodną \displaystyle \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)'można policzyć np z wzoru na iloraz dwóch funkcji
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}


      {e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{1' \cdot \cos x – 1 \cdot {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = {e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{ – \left( { – \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}

    2. Joanna Grochowska

      Przykład drugi: \displaystyle y=\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})

      Jak rozumiem, liczbę „a” traktuję jako pewną stałą?

      No to liczę pochodną, stosując wzór: \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      \displaystyle y'=\left( {\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})} \right)'=\frac{a}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)'=\frac{a}{2}\left[ {\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}} \right)'+\left( {{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)'} \right]=
      \displaystyle \frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\left( {\frac{x}{a}} \right)'+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {-\frac{x}{a}} \right)'} \right]=\frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\cdot \frac{1}{a}\cdot 1+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\cdot \left( {-\frac{1}{a}} \right)\cdot 1} \right]=
      \displaystyle \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{a}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)

      Można ewentualnie trochę przekształcić wynik i otrzymać:
      \displaystyle \frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}-\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}}}}}}-1} \right)

    3. Joanna Grochowska

      Przykład trzeci: chodzi o \displaystyle y=arcsin({{e}^{4}}\cdot x) czy może \displaystyle y=arcsin({{e}^{{4x}}})

      Pierwszy przypadek:

      \displaystyle \left( {arcsin({{e}^{4}}\cdot x)} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{4}}\cdot x} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot {{e}^{4}}\left( x \right)'=\frac{{{{e}^{4}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{8}}{{x}^{2}}}}}}

      Drugi przypadek:

      \displaystyle \left( {arcsin({{e}^{{4x}}})} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{{4x}}})}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{{4x}}}} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}\cdot {{e}^{{4x}}}\left( {4x} \right)'=\frac{{4{{e}^{{4x}}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}

    4. Joanna Grochowska

      Przykład czwarty: \displaystyle y={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}

      Mamy tutaj złożenie kilku funkcji, dlatego korzystam z następujących wzorów:

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      \displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)'=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta '

      gdzie znaczek \displaystyle \Delta oznacza po prostu „coś więcej niż sam x”.

      \displaystyle y'=\left( {{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}} \right)'={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \left( {\sqrt{{7{{x}^{2}}}}} \right)'={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot \left( {7{{x}^{2}}} \right)'=\frac{{{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot 7\cdot 2x=\frac{{7x{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}

    5. Joanna Grochowska

      Przykład piąty: \displaystyle lo{{g}_{7}}cos\sqrt{{1+x}}

      Tym razem mamy pochodną logarytmu, gdzie pod wyrażeniem logarytmowanym jest coś więcej niż sam x (oznaczam to przez \displaystyle \Delta ). Funkcja jest złożona i to kilkukrotnie. Dlatego stosuję na początku wzór :

      \displaystyle \left( {{{{log }}_{a}}\Delta } \right)'=\frac{1}{{\Delta ln a}}\cdot \Delta'

      Obliczając kolejne pochodne, Mam więc:

      \displaystyle \left( {{{{log }}_{7}}cos \sqrt{{1+x}}} \right)'=\frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {cos \sqrt{{1+x}}} \right)'=

      \displaystyle \frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {-sin \sqrt{{1+x}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1+x}}} \right)'=

      \displaystyle -\frac{{sin \sqrt{{1+x}}}}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {1+x} \right)'=

      \displaystyle -tg\sqrt{{1+x}}\cdot \frac{1}{{2\cdot ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {0+1} \right)=-\frac{{tg\sqrt{{1+x}}}}{{2ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}

    1. Joanna Grochowska

      Stosuję tutaj wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}

      No to rozpisując przykład:
      \displaystyle \left( {\frac{{-x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}} \right)'=\frac{{\left( {-x} \right)'\cdot {{{(x-1)}}^{2}}-\left( {-x} \right)\cdot \left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]'}}{{{{{\left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]}}^{2}}}}=\frac{{\left( {-1} \right)\cdot {{{(x-1)}}^{2}}+x\cdot 2\cdot (x-1)\cdot (x-1)'}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-{{{(x-1)}}^{2}}+2x\cdot (x-1)\cdot 1}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{(x-1)\cdot \left[ {-(x-1)+2x} \right]}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-x+1+2x}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}=\frac{{x+1}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}

  17. Cześć
    Mam prośbę w sprawie rozwiązania równania różniczkowego metodą analityczną (krok po kroku):
    y`-0,5y=xe^(2x)
    z góry dziękuję

    1. Joanna Grochowska

      Tutaj by obliczyć pochodną podanej funkcji, wykorzystuję wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji:
      \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      Jedną z niech jest \displaystyle f={{x}^{3}}, drugą zaś \displaystyle g=cos ({{x}^{2}}-1), która jest funkcją złożoną.

      No to liczymy pochodną:
      \displaystyle \left( {{{x}^{3}}cos ({{x}^{2}}-1)} \right)'=\left( {{{x}^{3}}} \right)'\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)+\left( {{{x}^{3}}} \right)\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)'=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)+{{x}^{3}}\cdot \left( {-sin ({{x}^{2}}-1)} \right)\cdot ({{x}^{2}}-1)'=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-{{x}^{3}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)\cdot 2x=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)

      Wynik jest jednak odrobinę inny od tego wskazanego w WolframAlpha
      http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3*cos%28x%5E2-1%29%29%27

      Widać, że wyrażenie w nawiasie – wielomian jest przedstawiony „odwrotnie”, jakby z minusem, co oczywiście można zrobić, czyli \displaystyle cos ({{x}^{2}}-1)=cos (-(1-{{x}^{2}}))lub też \displaystyle sin ({{x}^{2}}-1)=sin (-(1-{{x}^{2}}))
      I w tym miejscu korzystając z własności funkcji trygonometrycznych kąta ujemnego:
      \displaystyle \begin{matrix} cos (-\alpha )=cos (\alpha )sin (-\alpha )=-sin (\alpha )\end{matrix}

      Otrzymuję wynik zgodny z tym wskazanym z kalkulatorze:
      \displaystyle 3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)=3{{x}^{2}}\cdot cos (-(-{{x}^{2}}+1))-2{{x}^{4}}\cdot sin (-(-{{x}^{2}}+1))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})-2{{x}^{4}}\cdot (-sin (1-{{x}^{2}}))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})+2{{x}^{4}}\cdot sin (1-{{x}^{2}})

  18. Witam. Dostałem na egzaminie dwa przykłady, skorzystałem z kalkulatora on je oczywiście obliczył ale ja nadal nie wiem skąd wziął się wynik, oto one :
    1) (niestety nie wiem do czego dąży x bo się zamazało ale chyba do nieskończoności) lim(lm(1+4x^2))/x
    2) (też x chyba dąży do nieskończoności) lim(1-e^2x)/tg(x)
    Pozdrawiam Karol

  19. Dzień dobry.
    Pewnie pisze pod złym postem, forum, czy nie wiem jak to nazwać. Jednakże mam zadanie które nie bardzo wiem, jak rozwiązać. Liczę na Pańską pomoc 🙂

    Zad.: Dowieść,że dla xcR prawdziwa jest nierówność:
    a) 2xarctgx > ln(1+x^2)
    b) |arctgx – arctgy| <= |x-y|

    Dodam jeszcze, iż wiem, że jest to związane z Twierdzeniem Lagrange'a ale nawet z tą wiedzą nic mądrego mi nie wychodzi 🙁

  20. Dzień dobry!

    Muszę policzyć pierwszą i drugą pochodną z y=lnx/√x wygląda niewinnie ale jest niezwykle uciążliwa. Bardzo proszę o pomoc Panie Krystianie

  21. Dzień dobry, jak policzyć pochodną (x-1)^3(x-2) krok po kroku i dlaczego wyznacza się 3 przed nawias? Nie rozumiem tego. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie. Pozdrawiam

  22. Mama pytanie, jak bedzie wygladala pochodna z arcsin(2x-1)? Czy po tym jak „trafi” pod pierwiastek to (2x-1)^2 nalezy rozwinac jak rownanie kwadratowe?

    1. Krystian Karczyński

      Pójdzie tak:

      {{\left( arcsin \left( 2x-1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}}{{\left( 2x-1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)}}\cdot 2=

      =\frac{2}{\sqrt{1-4{{x}^{2}}+4x-1}}=\frac{2}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+4x}}=\frac{2}{\sqrt{4\left( -{{x}^{2}}+x \right)}}=\frac{2}{\sqrt{4}\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=

      =\frac{2}{2\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}

      Polecam: Kurs Pochodnych

  23. Kasia Peczyńska

    Hej:)
    Mam problem z policzeniem pochodnych II rzędu.
    Przykład wygląda tak:
    f(x,y)= 7- 4x/y – 2x^4y^3

    Byłabym wdzięczna za pomoc:)
    Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński

      Hej. To pójdzie tak:

      f\left( x,y \right)=7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}

      Pochodne cząstkowe I-go rzędu:

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-\frac{4}{y}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-2{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=

      =0-\frac{4}{y}-2{{y}^{3}}\cdot 4{{x}^{3}}=-\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}}

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-4x\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{y} \right)-2{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=

      =-4x\left( -\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)-2{{x}^{4}}\cdot 3{{y}^{2}}=\frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}}

      Pochodne cząstkowe II-go rzędu:

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=0-8{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{3}} \right)=-8{{y}^{3}}\cdot 3{{x}^{2}}=-24{{x}^{2}}{{y}^{3}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=-4\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{1}{y} \right)-8{{x}^{3}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-6{{y}^{2}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=4x\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{-2}} \right)-6{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}} \right)=-\frac{8x}{{{y}^{3}}}-12{{x}^{4}}y

      Polecam także mój Kurs Video: Kurs Funkcje Wielu Zmiennych

  24. Mam takie zadanie i nie umię go rozwiązać prosze o pomoc Z góry dziękuję 🙂
    Znaleźć:
    ∂z/∂y dla danej funkcji:
    z=x^2 √((x+y)/(x-y))

  25. Jolanta Lokajczyk

    Proszę o pomoc w obliczeniu pochodnej z funkcji f(x)=〖log〗_2^5 (x+x^3)/arctgx (tzn f(x)=log stopnia 2 w potędze 5 z ((x+x^3)/arctgx) ). Radzę sobie z takim zadaniem, gdy log nie jest w potędze. W tym przypadku nie mam pewności jak to ma być prawidłowo obliczone.

  26. Panie Krystianie zwracam się z ogromną prośbą…:) Otóż chodzi mi o zbadanie funkcji(tzn.zb.wartości,gdzie funkcja rośnie,gdzie maleje) ,ekstrema,punkty stałe, maksima i minima:
    a)f(x)=Ax/(1+x),A>=2
    b)f(x)=2/3x+1/3A,A>=11

    1. Krystian Karczyński

      a) 'A’ traktować trzeba jak stałą. Stosuję zasady i umowy podane w moim Kursie: Kurs Pochodne na Akademii

      fleft( x right)=frac{Ax}{1+x},quad Age 2

      Najpierw dziedzina funkcji:

      {{1}^{0}}quad Df:xin Rbackslash { -1 }

      {{2}^{0}}quad {f}'left( x right)=frac{{{left( Ax right)}^{prime }}left( 1+x right)-Ax{{left( 1+x right)}^{prime }}}{{{left( 1+x right)}^{2}}}=frac{Aleft( 1+x right)-Ax}{{{left( 1+x right)}^{2}}}=frac{A+Ax-Ax}{{{left( 1+x right)}^{2}}}=frac{A}{{{left( 1+x right)}^{2}}}

      {{3}^{0}}quad frac{A}{{{left( 1+x right)}^{2}}}=0quad /cdot {{left( 1+x right)}^{2}}– mogę wykonać to mnożenie, ponieważ {{left( 1+x right)}^{2}}jest zawsze nieujemne

      A=0

      Ale stała A nie może być równa 0, ze względu na założenie na początku zadania Age 2. Czyli równanie nie ma rozwiązań, czyli pochodna nie ma miejsc zerowych.

      {{4}^{0}}Rysuję jej przybliżony wykres:

      Wykres pochodnej

      i piszę odpowiedź:

      {{5}^{0}}Odp. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, tzn. xin Rbackslash { -1 }.

      Nie osiąga żadnych ekstremów.

  27. Wiatm
    Mój problem polega na tym że kompletnie zapomniałam jak liczyło się pochodne, przykład podam napewno banalnie prosty, ale może uda mi się jakoś odświeżyć pamieć.
    cos^2(x) – sinus^2(x) .
    Z góry dziękuję za pomoc

  28. Witam
    Mam problem z obliczeniem całki x^3*e^(-2x^4). Jak sie do tego zabrac? Jak na razie ani przez podstawienie ani przez częsci nic nie wychodzi chocbym nie wiem jak kombinował. Bardzo proszę o pomoc. Chciałbym jeszcze zapytac jak narysowac wykres takiego „cuda”?

    1. Krystian Karczyński

      Jasne, że powinien, gamoń ze mnie. Poprawiłem, wielkie dzięki za korektę…

    1. Krystian Karczyński

      Policzę kilka „pierwszych” pochodnych i zauważę ogólny wzór, O.K.?

      \sqrt[a]{x}[/latex]

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{a}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}}[/latex]

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}}[/latex]

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}}[/latex]

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( 4 \right)}}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\left( \tfrac{1}{a}-3 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-4}}[/latex]

      I myślę, że jest już dosyć jasne, że pochodna dowolnego rzędu n z pierwiastka stopnia a równa jest:

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-\left( n-1 \right) \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-n+1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}[/latex]

    2. Krystian Karczyński

      Nie ma za co, zwłaszcza, że zrobiłem błąd przy liczeniu (już poprawiłem). Przepraszam!

    1. Krystian Karczyński

      Jeżeli dobrze zrozumiałem wyrażenie:

      y=\sqrt{x}ln x

      {y}'={{\left( \sqrt{x}ln x \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}ln x+\sqrt{x}{{\left( ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}ln x+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}=

      =\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{1}}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{2\sqrt{x}}=\frac{2+ln x}{2\sqrt{x}}

      {y}''={{\left( \frac{2+ln x}{2\sqrt{x}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( 2+ln x \right)}^{\prime }}2\sqrt{x}-\left( 2+ln x \right){{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot 2\sqrt{x}-\left( 2+ln x \right)2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}}=

      =\frac{\frac{2{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{1}}}-\frac{2+ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2+ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{\frac{-ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{-ln x}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{4x}=\frac{-ln x}{4x\sqrt{x}}

  29. Witam, mam pewien problem z pochodną z definicji w której i w liczniku i w mianowniku jest x. a mianowicie wygląda to tak : 2x-5/x-2 w punkcie 5. Czy mógłby Pan zapisac mi tylko początek ?
    Ogólnie mam tak:
    1) ta pochodna do oblicznia w pukcie x0=3
    2) i tę samą do oblicznia normlnie z definicji
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński

      Pokażę w punkcie {{x}_{0}}=5, dobrze?

      Poleci to tak:

      {f}'\left( 5 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{f\left( 5+\Delta x \right)-f\left( 5 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{2\left( 5+\Delta x \right)-5}{5+\Delta x-2}-\frac{2\cdot 5-5}{5-2}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{10+2\Delta x-5}{3+\Delta x}-\frac{5}{3}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{5+2\Delta x}{3+\Delta x}-\frac{5}{3}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{3\left( 5+2\Delta x \right)}{3\left( 3+\Delta x \right)}-\frac{5\left( 3+\Delta x \right)}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{15+6\Delta x-15-5\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}\frac{1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{1}{3\left( 3+\Delta x \right)}=\frac{1}{9}

  30. Pochodna jakaś kosmos – na kalkulatorze wychodzi ładny wynik, ale dochodzę do pewnego momentu i koniec :[
    (1/x)*e^(2x^2)
    Pomocy proszę!

    1. Krystian Karczyński

      To poleci tak (metodami z mojego Kursu) :

      {{\left( \frac{1}{x}{{e}^{2{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}{{e}^{2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{x}{{\left( {{e}^{2{{x}^{2}}}} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}{{e}^{2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{x}{{e}^{2{{x}^{2}}}}\cdot {{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=

      =-\frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{x}\cdot 4x=-\frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}+4{{e}^{2{{x}^{2}}}}

  31. Witam mam problem z obliczeniem długości łuku spirali i nie wiem zbytnio jak za to się zabrać. Wychodzę do pana z zapytaniem o pomoc 😀 Zadanie brzmi następująco 😀 20. Oblicz długość łuku spirali o równaniu r=ae^k(fi), gdzie a>0,k>0 oraz w przedziale 0<(fi)<2\pi. Załącz szkic tego łuku. Z góry dziękuje za pomoc 😀

  32. Witam Panie Krystianie,
    mam okropny problem w postaci policzenia ekstrema lokalnego funkcji f(x,y)=(x^2-y^2)e^x
    Nie wychodzi mi policzenie pochodnej po df/dx i df/dy 🙁
    Proszę o pomoc! 🙂

    1. Krystian Karczyński

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}} \right)=\left[ \frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]{{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\frac{\partial }{\partial x}{{e}^{x}}=2x{{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}}={{e}^{x}}\left( 2x+{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}} \right)={{e}^{x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)={{e}^{x}}\left( -2y \right)=-2y{{e}^{x}}

  33. Witam. Czy mógłby mi pan pomóc wyznaczyć ekstrema lokalne i calke nieoznaczoną funkcji f(x)=xexp(x)? Mam wielki problem z „exp”..

    1. Krystian Karczyński

      Witam. Te całe wielkie „exp” to po prostu funkcja edo tego co tam jest w nawiasie, czyli ma tu Pani funkcję: f\left( x \right)=x{{e}^{x}}.

  34. Witam 🙂 mam problem z taką dziedziną : arcsin√9-x^2 + 1/sinπx, to pod pierwiastkiem wiadomo, jeśli chodzi o arcsin po rozpatrzeniu dwóch przypadków wyszły mi wszystkie liczby rzeczywiste o ile się nie mylę i nie jestem pewna co z sinusem… będę bardzo wdzięczna za pomoc 🙂

  35. Witam serdecznie :>

    czy w Pańskich kursach znajdują się gdzieś rzeczy dotyczące różniczkowalności funkcji w danym punkcie i zadania z parametrem z tym związane ?

    Z góry dziękuję za odpowiedź.

    Pozdrawiam.

  36. WItam 😀 Borykam się z przykładowym zadaniem z egzaminu, dotyczącego badania przbeiegu funkcji. Wygląda tak: sinx – sin^2x. Dziedzina = R. Pochodna to cosx – 2sinx cosx dziedzina pochodnej też rzeczywiste.. Problem mam z przyrównaniem do zera, nie wiem jakie bedą rozwiązania, proszę o pomoc!:)

  37. Witam 🙂 nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  38. Witam .
    Mam problem z granicą lim x->infinity (x-x^2 *ln(1+1/x))
    Próbowałem ja na różne sposoby , wychodziło mi 2, lub 0 . Opowiedz w książce jak i na wolframie to 1/2
    Pozdrawiam

  39. Dzień dobry.

    Czy w Pańskich kursach znajdę coś takiego jak „ZASTOSOWANIE CAŁEK” ? Chodzi mi głównie o :
    – Pole obszaru ograniczonego przez funkcje (krzywe, sinusoidy, parabole pionowe/poziome itd.)
    – Długość łuku krzywej
    – Objętość bryły/bryły obrotowej,
    – Pole powierzchni bryły obrotowej.

    Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński

      Witam. No cóż, tą samą metodą co każdą sytuację typu (funkcja)^(funkcji), czyli:

      {{\left( {{\left( ln x \right)}^{ln x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}} \right)}^{\prime }}={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}{{\left( ln x\cdot ln \left( ln x \right) \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( {{\left( ln x \right)}^{\prime }}ln \left( ln x \right)+ln x{{\left( ln \left( ln x \right) \right)}^{\prime }} \right)={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( \frac{1}{x}\cdot ln \left( ln x \right)+ln x\frac{1}{ln x}{{\left( ln x \right)}^{\prime }} \right)=

      ={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( \frac{ln \left( ln x \right)}{x}+\frac{1}{x} \right)={{\left( ln x \right)}^{ln x}}\left( \frac{ln \left( ln x \right)+1}{x} \right)=\frac{{{\left( ln x \right)}^{ln x}}\left( ln \left( ln x \right)+1 \right)}{x}

    1. Krystian Karczyński

      Tutaj na początku trzeba skorzystać z wzoru na pochodną mnożenia. Polecam mój Kurs , tam powolutku tłumaczę od podstaw 🙂

  40. Witam 🙂 nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  41. Witam, mam do obliczenia następującą pochodną

    .

    w przykładzie zamias „log” jest „ln” niewiem czy to coś zmienia, a już kompletnie nie wiem jak się za to zabrać :/ Z góry dziękuję za pomoc, szczególnie jeżeli ktoś mi to rozpisze. Pozdrawiam 🙂

  42. Witam.Mam do obliczenia kilka pochodnych, ogólnie wzory,rozkład mam obcykane co i jak się robi.Jednak problem zaczyna pojawiać się wtedy kiedy zamiast literki x pojawiają się t,v,z itp.Nie do końca wiem jak mam się zachować w takim przykładzie jak : lnsqrt(1+t)/(1-t). Kiedy mam te literki traktować jako stałe a kiedy jako zmienne?

  43. Witam Panie Krystianie ! mam problem z obliczeniem 1 i 2giej pochodnej z lnx/sqrt(x). 🙁 potrzebne mi to do punktow przegiecia i wypukłości.. wynik z kalkulatora mi nie pomaga, ani nawet kroki.. prosze o pomoc

  44. Witam,
    czy mógłby mi ktoś powiedzieć ( i wytłumaczyć)
    ile wynosi pochodna z f(x)=log 10x ?
    Chyba nie umiem tego wpisać do kalkulatora pochodnych albo czegoś nie rozumiem.
    Z góry dziękuje za pomoc

    1. Krystian Karczyński

      Pochodna z log 10xto pochodna z logarytmu o podstawie 10 , liczymy ją ze wzoru: {{\left( {{log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{xln a}, czyli:

      {{\left( log 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10xln 10}{{\left( 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10xln 10}\cdot 10=\frac{1}{xln 10}

      Problem z kalkulatorem jest taki, że on czyta „po amerykańsku”, a tam logoznaczana logarytm NATURALNY (a u nas ln).

      Trzeba więc kalkulatorowi „zapodać” odpowiednią podstawę, np. wpisując: log_10(x)

  45. mam pewien problem robię zadanie z fizyki i mam wzór ogólny: I=1/8md^2. Muszę obliczyc pochodną I/d oraz I/m czy może mo ktoś pomóc ????Proszę

    1. Krystian Karczyński

      To będzie tak:

      l=\frac{1}{8}m{{d}^{2}}

      \frac{\partial l}{\partial d}=\frac{\partial }{\partial d}\left( \frac{1}{8}m{{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}m\frac{\partial }{\partial d}\left( {{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}m\cdot 2d=\frac{1}{4}dm

      \frac{\partial l}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial m}\left( \frac{1}{8}m{{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}{{d}^{2}}\frac{\partial }{\partial d}\left( m \right)=\frac{1}{8}{{d}^{2}}

  46. Witam, czy byłaby możliwość pomocy z taką pochodną, bo za nic nie mogę jej wyliczyć, próbowałam sto razy i wychodzą mi jakieś dziwne, do niczego nie podobne wyniki.

    Pochodna:
    U(q)=D(1-e^(-S(q-q_0)))^2

    Z góry dziękuję za pomoc.

    1. Krystian Karczyński

      Niestety, nie bardzo rozumiem zapis. D i S to są jakieś funkcje? Wiadomo, jakie? {{q}_{_{0}}}to stała?

    2. Krystian Karczyński

      Ok. Czyli całość wygląda, jak rozumiem, tak:

      U\left( q \right)=D{{\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)}^{2}}

      No to wystarczy teraz nie spanikować i spokojnie policzyć pochodną:

      {U}'\left( q \right)=2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right){{\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)}^{\prime }}=2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right){{\left( -S\left( q-{{q}_{0}} \right) \right)}^{\prime }}=

      =2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -S \right){{\left( q-{{q}_{0}} \right)}^{\prime }}=2DS{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}}\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)

  47. Mógłby mi Pan pomóc w krotkim zadanku y=\sqrt((a+bx)/(a-bx)) y’=? tzn wynik wiem jaki wyjść powinien jednak przy obliczeniach wychodzi mi zupełnie co innego

    1. Krystian Karczyński

      Jasne:

      y=\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}

      ={{\left( \sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}{{\left( \frac{a+bx}{a-bx} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\frac{\sqrt{a+bx}}{\sqrt{a-bx}}}\frac{{{\left( a+bx \right)}^{\prime }}\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right){{\left( a-bx \right)}^{\prime }}}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{\sqrt{a-bx}}{2\sqrt{a+bx}}\frac{b\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right)\left( -b \right)}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{a+bx}}\frac{ba-{{b}^{2}}x+ba+{{b}^{2}}x}{{{\left( a-bx \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{a+bx}}\frac{2ba}{\sqrt{a-bx}\left( a-bx \right)}=

      =\frac{ba}{\sqrt{a+bx}\sqrt{a-bx}\left( a-bx \right)}=\frac{ba}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}{{x}^{2}}}\left( a-bx \right)}

      Żeby wykombinować taką postać, jaka jest w WolframAlpha można polecieć tak:

      y=\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}

      {y}'={{\left( \sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}{{\left( \frac{a+bx}{a-bx} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{{{\left( a+bx \right)}^{\prime }}\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right){{\left( a-bx \right)}^{\prime }}}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{b\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right)\left( -b \right)}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{ba-{{b}^{2}}x+ba+{{b}^{2}}x}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{2ba}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{ba}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}

    1. Krystian Karczyński

      Funkcja sec to tzw. „secans”. sec x=\frac{1}{cos x}

      Funkcja csc to tzw. „cosecans” csc x=\frac{1}{sin x}

  48. widzę, że niestety źle musiałam wpisać formułę, więc wpisuję pochodną jeszcze raz:
    f(x)=cosx^sinx^3 (czyli cos x podniesiony do potęgi sinx^3)

    1. Krystian Karczyński

      Witam, zakładam, że chodzi o funkcję: f\left( x \right)={{\left( cos x \right)}^{sin {{x}^{3}}}}

      Jedziemy, sposobem z mojego Kursu Video:

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{\left( cos x \right)}^{sin {{x}^{3}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}{{\left( sin {{x}^{3}}ln cos x \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}\left( {{\left( sin {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}ln cos x+sin {{x}^{3}}{{\left( ln cos x \right)}^{\prime }} \right)={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}\left( cos {{x}^{3}}\cdot {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}ln cos x+sin {{x}^{3}}\frac{1}{cos x}{{\left( cos x \right)}^{\prime }} \right)=

      ={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}\left( 3{{x}^{2}}cos {{x}^{3}}ln cos x+sin {{x}^{3}}\frac{1}{cos x}\left( -sin x \right) \right)={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}\left( 3{{x}^{2}}cos {{x}^{3}}ln cos x-tgxsin {{x}^{3}} \right)

      Z pochodną drugiego rzędu już wymiękłem, przepraszam, p. Katarzyno.

    2. Dziękuję za odpowiedź. Nie spodziewałam się, że to jest aż TAKIE trudne, szczególnie, że nie jestem na studiach matematycznych. Bardzo mi Pan pomógł.
      Pozdrawiam, Katarzyna

  49. Witam, mam taki problem próbuję wyliczyć pochodną z y=x^2*2^x*sinx, kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Bardzo proszę o pomoc.

    1. jeżeli chodzi Ci o pochodną z czegoś takiego [e^(3x)]^(2+2x) to po prostu mnożysz wykładniki i masz e^[3x*(2+2x)] a z tego to już nie problem pochodną wziąć 😉

    2. Krystian Karczyński

      Jeżeli miało być tak:

      f\left( x \right)={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}

      to będzie tak:

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 6x+2 \right)

      {f}''\left( x \right)={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 6x+2 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}} \right)}^{\prime }}\left( 6x+2 \right)+{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}\left( 6x+2 \right)+{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{2}}+6{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}=

      ={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left[ {{\left( 6x+2 \right)}^{2}}+6 \right]={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 36{{x}^{2}}+24x+4+6 \right)={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 36{{x}^{2}}+24x+10 \right)

    1. Krystian Karczyński

      To ten sam wynik.

      Cosinus jest funkcją parzystą, czyli cos x=cos \left( -x \right).

      Czyli: cos \left( 2x-1 \right)=cos \left[ -\left( 2x-1 \right) \right]=cos \left( -2x+1 \right)=cos \left( 1-2x \right)

      Niestety, taki wątpliwy „urok” kalkulatorów, że czasami przedstawiają wynik nie w tej postaci, w której nam wychodzi z „naszych” algorytmów liczenia.

  50. Dzień dobry. Mam do obliczenia takie pochodne sin^2*3x oraz cos^2*3x. W książce odpowiedź do pierwszej funkcji 6sin6x, a do drugiej -6sin6x, kiedy mnie cały czas uparcie wychodzi 6sin3xcos3x oraz 6cos3xsin3x. Nie mam pojęcia co dzieję się w obu przypadkach z cosinusem,jaki wzór tu zastosowano… Bardzo proszę o pomoc!

  51. Mam pytanie , dla mnie dosyć ważne x^2*2^x*sinx jak obliczyć z tego pochodną , aby wyszło coś takiego y'(x) = 2^x x (x cos(x)+(x log(2)+2) sin(x)) . Nie mam pojęcia z jakiego wzoru pan to obliczył , gdyż w kursie w drugiej lekcji nie było żadnego przykładu z pochodną z trzema czynnikami pomnożone przez siebie , próbowałem ze wzoru na mnożenie ale mi nie wyszło PROSZĘ O POMOC

    1. Ziom, wzór na pochodna 3 czynnikow wydlada tak, mniej wiecej. fx-1czynnik, gx-2czynnik, tx-3czynnik
      a więc masz y’= fx’*gx*tx + fx*gx’*tx + fx*gx*tx’

  52. Witam, mam prośbę, męcze się z zadaniem już pare dni i nie moge rozwiązać, mogę liczyć na pomoc?
    Obliczyć pochodną:
    (a/b)^x * (b/x)^a * (x/a)^b , gdzie a,b>0

  53. Witam Mam mały problem z matematyką .
    Mianowicie dostałam zadanie na pierwszym roku studiów i mam z nim ogromny kłopot.
    Lim=(1/x-1/sinx) oczywiscie x dąży do zera. Czy mogę liczyć na szczegółowe rozwiązanie z wytłumaczeniem krok po kroku ?

  54. Witam Panie krystianie czy mógłbym liczyć na pomoc w zadaniach nr 36,37 z kursu pochodnych ? mianowicie chodzi mi o przykład
    (lnx)^x oraz (1+x)^sinx . Z góry Dziękuje i Pozdrawiam

  55. Witam
    mam wzór g=4pi^2*n^2(l+d/2)/t^2 mam niepewność pomiaru oszacować metodą rożniczkowania wzoru, delta g=|dg/dt|* delta t + |dg/dd| * delta d+ |dg/dl|* delta l = ?
    mam wzór dg/dt=-8pi^2n^2(l+d/2)/t^3. a jak policzyc |dg/dd| i |dg/dl| czy mógłby mi ktoś pomóc ?

  56. Mam wielki problem z przykładem z mojego kolokwium, mianowicie: Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: y= 2x/x^2+1, oraz funkcji y= x*sqrt(4 – x^2). W pierwszej funkcji znak „/” zastępuje kreskę ułamkową. Bardzo proszę o pomoc z tymi przykładami. Będę bardzo wdzięczny.

  57. Witam, nie mogę rozwiązać przykładu 7 z Twierdzenia de L’Hospitala, a mianowicie: lim x->nieskończoność x^3/10^x.
    W mianowniku wychodzi mi jakieś 10^x razy ln10 z wzoru na pochodną a^x. Kolejna pochodna z tego to jakieś cuda na kiju :D.

    1. Krystian Karczyński

      Eeeeee tam, jakie cuda na kiju, prościutka pochodna. ln10 to jest zwykła stała, taka sama jak 2 , albo 15 .

      Robi się tak:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{x}^{3}}}{{{10}^{x}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3{{x}^{2}}}{{{10}^{x}}ln 10}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{10}^{x}}ln 10 \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{ln 10{{\left( {{10}^{x}} \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{6x}{{{10}^{x}}{{\left( ln 10 \right)}^{2}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{6}{{{10}^{x}}{{\left( ln 10 \right)}^{3}}}=0

  58. Panie Krystianie, skorzystałem z Pana kalkulatora dla przykładu pochodnej y=ln(x+\sqrt(x^2+1)) i otrzymałem prawidłowy wynik (skonfron\towałem go z odpowiedzią w mojej książce do analizy matematycznej). Z przykładem tym męczę się już jakiś czas i nie wiem jak dojść do końcowego, najbardziej uproszczonego wyniku wyniku. Bardzo proszę o pomoc i pozdrawiam serdecznie, ten kalkulator to wspaniała sprawa : )

    1. Krystian Karczyński

      Jasne, już pokazuję krok po kroku:

      y=ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)
      {y}'={{\left( ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( {{\left( x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \right)=
      =\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( {{\left( x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }} \right)=
      =\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\cdot 2x \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\frac{x}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=
      =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\frac{x}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}

    1. Krystian Karczyński

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}[/latex]

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{2}}^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}[/latex]

    2. Dziękuję bardzo za odpowiedż, z tym, że nie rozumiem dlaczego pochodna po x1 (x1 do potegi 1/3+x2 do potęgi1/3 ) to jest 1/3x1do potęgi2/3 a nie do potęgi (-2/3 )? wydawało mi się że wzór to alfa x alfa-1

    3. i jeszcze mam pytanie (K+L)do potęgi 1/2 to pochodna po K to 1/2(K+L)do potęgi(-1*/2)*1?
      a pochodna po L to 1/2 (K+L)do potęgi(-1/2)*1?

    4. Krystian Karczyński

      Bo mi się pomyliło… Powinno być oczywiście (tak jak Pani pisze):

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}}{\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}}[/latex]

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}}{\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}}[/latex]

  59. Witam,
    Trochę poza tematem, ale może ktoś pomoże w rozwiązaniu zadań:
    Witam, czy ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu kilku zadań? Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi:
    a) x+27y=27, y=0, x=-3, x=2
    b) y=x/27, y=0, x=-2, x=-1
    wystarczy podać co ma być pod całką, dalej już łatwo pójdzie.
    a także:
    wierzchołki figury są w punktach:
    A1 (27; 3;6); A2( 2; 27; 1) ; A3(-27;0; 1) i A4(-4; 6;-27).
    znaleźć:
    1. długość krawędzi A1A2
    2. kąt między krawędziami A1A1 i A1A3
    3. równanie krawędzi A1A4
    4. równanie ściany A1,A2,A3
    5. kąt pomiędzy krawędzią A1A4 a ścianą A1,A2
    6. pole ściany A1,A2,A3
    7. pojemność figury
    Jeżeli ktoś ma jakiś podobny przykład rozwiązany może być, najważniejsze mi poznać zasadę rozwiązania takiego typu zadania…
    Będę bardzo bardzo wdzięczna za pomoc.

    1. Nie. To jest funkcja dwóch zmiennych (x i y). Będzie miała zatem dwie pochodne cząstkowe:

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}

      \frac{\partial z}{\partial y}=-27sin \left( 27y \right)+\frac{x}{{{y}^{2}}}

    1. Krystian Karczyński

      Witam, bardzo proszę:

      z={{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)={{x}^{2}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{x+y}{x-y}}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\tfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-y}}}\frac{\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x+y \right)\left( x-y \right)-\left( x+y \right)\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x-y \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=

      =\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{x-y+x+y}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{2x}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}{{\left( x-y \right)}^{2}}}

      Jakby coś było niejasne, proszę dać znać 🙂

    2. Witam. Panie Krystianie od 2 dni nurtuje mnie pewien problem, który polega na pewnych pochodnych. Otóż mam problem z rozwiązanie pochodnych cząstkowych ( I i II rzędu ) oczywiście potrzebnych do obliczenia eksteremum funkcji. Oto funkcja :

      z = e ^ – x ( y ^ 2 – 2x ). Nie wychodzą mi pochodne cząstkowe. Drugi problem to : Oblicz ekstermum funkcji : z = x ^ 4 + y ^ 4 – 2 x ^ 2 – 2 y ^ 2 + 4xy. Dostalem takie zadanie na egzmainie i do dzisiaj nie mogę się z tym uporać.

      Bardzo proszę o pomoc. Pozdrawiam.

    3. Krystian Karczyński

      Co do pierwszego przykładu, to trochę się rozmachnąłem i zrobiłem cały. Mam nadzieję, że dobrze odczytałem Pana zapis.

      Jak rozumiem, chodzi o funkcję: z={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)

      Liczę:

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=

      =-{{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\left( -2 \right)={{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=2y{{e}^{-x}}

      Teraz układ równań:

      \{ \begin{matrix}
      & {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=0\quad /:{{e}^{-x}}\\
      & 2y{{e}^{-x}}=0\quad /:{{e}^{-x}}\end{matrix}

      \{ \begin{matrix}
      & -{{y}^{2}}+2x-2=0 \\
      & 2y=0\quad \Rightarrow \ y=0 \end{matrix}

      Czyli biorąc pierwsze równanie:

      -{{0}^{2}}+2x-2=0

      2x-2=0

      2x=2\quad /:1

      x=1

      Mój punkt stacjonarny ma zatem współrzędne: {{P}_{1}}\left( 1,0 \right)

      Teraz druga część zadania:

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]=

      =\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=

      =-{{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\cdot 2={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right)

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=-2y{{e}^{-x}}

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)=2y\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)=-2y{{e}^{-x}}

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y \right)=2{{e}^{-x}}

      Tworzę z tych pochodnych cząstkowych drugiego rzędu odpowiedni wyznacznik:

      W=\left| \begin{matrix}
      {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right) & -2y{{e}^{-x}} \\
      -2y{{e}^{-x}} & 2{{e}^{-x}} \end{matrix} \right|

      Podstawiam do niego współrzędne punktu stacjonarnego:

      W\left( {{P}_{1}} \right)=\left| \begin{matrix}
      {{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1+4 \right) & -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} \\
      -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} & 2{{e}^{-1}} \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
      2{{e}^{-1}} & 0 \\
      0 & 2{{e}^{-1}} \end{matrix} \right|={{\left( 2{{e}^{-1}} \right)}^{2}}

      Wyznacznik jest większy od zera, a \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}w tym punkcie także przyjmuje wartość większą od zera, zatem w punkcie {{P}_{1}}\left( 1,0 \right)funkcja osiąga minimum.

      {{z}_{min }}={{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1 \right)=-2{{e}^{-1}}=-2\cdot \frac{1}{e}=-\frac{2}{e}

    4. Bardzo dziękuję panie Krystianie odpowiedż otrzymałem dzień przed egzamine poprawkowym co pomoglo rozwiązać jeden problem 🙂 Pozdrawiam serdecznie !!!

    5. Krystian Karczyński

      No to dorzucę jeszcze ekstremum do tego drugiego przykładu i gratuluję (jak rozumiem) poprawkowego:

  60. Dzień Dobry Panie Krystianie

    Mam wielki problem z równaniem różniczkowym: y’ – 2xy = x
    dochodzę do momentu obliczenia pochodnej i dalej ani rusz
    Bardzo proszę Pana o pomoc

    Pozdrawiam serdecznie

    1. Krystian Karczyński

      Dzień dobry

      To rzeczywiście nietrudna całka:

      \int{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{1}{x\cdot {{x}^{\tfrac{1}{2}}}}dx=}\int{\frac{1}{x\cdot {{x}^{\tfrac{1}{2}}}}dx}=\int{\frac{1}{{{x}^{\tfrac{3}{2}}}}dx}=\int{{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}dx}=\frac{1}{-\tfrac{3}{2}+1}{{x}^{-\tfrac{3}{2}+1}}+C=

      =\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}+C=-2\cdot \frac{1}{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C

      Przykład w WolframAlpha

  61. Witam serdecznie Panie Krystianie!
    Nie mogę sobie poradzić z przykładem z zakresu pochodnych cząstkowych

    z = xlny – rozumiem że tu należy skorzystać ze wzoru na mnożenie pochodnych , lecz dalej stoję i nie wiem jak to ciachnąć
    z= sin(xy)/x tak samo z tym

    Prosiłabym o jakąś dobrą porade.
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński

      No to liczę 🙂

      Po zmiennej x:

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{sin \left( xy \right)}{x} \right)=\frac{\tfrac{\partial }{\partial x}\left( sin \left( xy \right) \right)x-sin \left( xy \right)\tfrac{\partial }{\partial x}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=

      =\frac{cos \left( xy \right)\cdot \tfrac{\partial }{\partial x}\left( xy \right)\cdot x-sin \left( xy \right)\cdot 1}{{{x}^{2}}}=

      \frac{xycos \left( xy \right)-sin \left( xy \right)}{{{x}^{2}}}

      Po zmiennej y:

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{sin \left( xy \right)}{x} \right)=\frac{1}{x}\frac{\partial }{\partial y}\left( sin \left( xy \right) \right)=\frac{1}{x}cos \left( xy \right)\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right)=

      =\frac{1}{x}cos \left( xy \right)\cdot x=cos \left( xy \right)

      Wynik możemy sprawdzić w WolframAlpha

      Wynik po zmiennej x

      Wynik po zmiennej y

    2. a paskudztwo takie jak z=yx^(2y)

      Dziękuje Panu bardzo ! Pochodne II rzędu wyszły bez żadnego problemu 😉

    3. Krystian Karczyński

      Jedziemy:

      z=y{{x}^{2y}}

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( y{{x}^{2y}} \right)=y\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{2y}} \right)=y\cdot 2y{{x}^{2y-1}}=2{{y}^{2}}{{x}^{2y-1}}

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( y{{x}^{2y}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( y \right){{x}^{2y}}+y\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2y}} \right)={{x}^{2y}}+y{{x}^{2y}}ln x\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( 2y \right)=

      ={{x}^{2y}}+2y{{x}^{2y}}ln x={{x}^{2y}}\left( 1+2yln x \right)

      Wyniki można sprawdzić znowu w WolframAlpha:

      Wynik pochodnej po x

      Wynik pochodnej po y

    1. Krystian Karczyński

      O.K. ale albo jest jakiś błąd w formule, albo to są dwa równania, Pani Kasiu.

      Jedno z nich to:

      y’ = ( (x+1)/x )y

      a drugie:

      ( (x+1)/x )y = 3x ^2 e^ -x

      ?

  62. Mam pytanie dlaczego jak wpisuję y=pi + 3t nie wychodzi mi wynik… \pi jest jako stała? A z kolei jak wpisuję y= 4t to w ogóle nic nie wychodzi..
    .. Pozdrawiam 😉

    1. Krystian Karczyński

      Kalkulator jest ustawiony na zmienną x, a nie zmienną t. Niech Pani wpisze y=pi+3x i y=4x, wszystko ładnie wyjdzie.

  63. Witam, mam pytanie, dlaczego przy liczeniu ekstremum po obliczeniu pochodnej z xlnx wynik jest równy logx+1 a x wychodzi wg odpowiedzi 1/e?

    1. to już wiem, tylko nie wiem teraz dlaczego zbiór f(maleje) (0,1) suma z (1,e) przy y=x/lnx tego to całkiem nie pojmuje

  64. Witam, egzamin tuż tuż a mam problem z zadaniem takiego typu:

    Wyprowadź z definicji wzór na pochodną funkcji f(x) = 2x^2 + 1.

    Próbowałem rozwiązać to korzystając z Pańskich filmików lecz nie potrafię się za to zabrać.
    Byłbym wdzięczny za odpowiedz.
    Pozdrawiam.

  65. Witam mam problem z taką pochodną:

    x*a^x/a^x-1

    liczyłem ją już kilka razy i za każdym razem wychodzi mi nieskaczonosc a powinno wyjść 1.

    Prosze o pomoc.

    Pozdrawiam 🙂

    1. y equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x

      Rozwiązanie:

      Najpierw skorzystamy ze wzorów:

      x equals e to the power of ln x end exponent , a także ln x to the power of y equals y times ln x i zapisujemy funkcję w postaci:

      y equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x equals e to the power of ln open parentheses ln x close parentheses to the power of x end exponent equals e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent

      Dopiero teraz liczymy:

      open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe

      open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe

      y apostrophe equals open parentheses e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent times open parentheses x times ln open parentheses ln x close parentheses close parentheses apostrophe equals e to the power of ln open parentheses ln x close parentheses to the power of x end exponent times open parentheses x apostrophe times ln open parentheses ln x close parentheses plus x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses close parentheses apostrophe close parentheses equals

      equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses 1 times ln open parentheses ln x close parentheses plus x times fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close parentheses equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses plus x times fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction times 1 over x close parentheses equals

      open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses plus fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction close parentheses

       

  66. witam, proszę o pomoc jak odczytać z rysunku asymptoty i granice (jak je odróżnić). oraz bardzo proszę o jakiś materiał o obliczaniu granic funkcji. 🙂

  67. Witam serdecznie, przerobiłem Pana kurs z geometrii analitycznej ciągi i pochodne…świetne przygotowanie do kolokwium.
    Miałem tylko problem z jedną pochodną i proszę o rozwiązanie
    y ’ = arcsin(x^2) / pierwiastek z 2 – tgx

  68. Dzień dobry. Czy mógłby mi Pan pomóc z pochodną:

    f(x) = 1/(2x) * ln(1+x^2) – arctgx

    tam jest na początku ułamek razy logarytm naturalny.

    Wynik przedstawić trzeba w najprostrzej postaci.

    1. Wrzucasz ln(…) na góre i zwykłe rozwiązanie na f(x)-g(x) na ln(,,,)/2x stosujesz f(x)/ g(x) wzor i masz… 😉

  69. WITAM przeszłam cały Pana kurs pochodny ale mam problem z jedną która występuje w Krysickim bardzo proszę o pomoc
    y=4^xln4arctgx + 4^x/1+x^2

    1. Krystian Karczyński

      Witam,

      Niestety, mogłem źle zinterpretować, co jest przez co dzielone, co podniesione do czego i przemnożone przez co, ale strzeliłem, że chodzi pochodną z funkcji:

      y={{4}^{x}}ln \left( 4arctgx \right)+\frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}}

      Ruszam więc, stosując wzory i metody z mojego Kursu Pochodnych:

      {y}'={{\left( {{4}^{x}}ln \left( 4arctgx \right)+\frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{4}^{x}} \right)}^{\prime }}ln \left( 4arctgx \right)+{{4}^{x}}{{\left[ ln \left( 4arctgx \right) \right]}^{\prime }}+\frac{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{\prime }}\left( 1+{{x}^{2}} \right)-{{4}^{x}}{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}ln 4\cdot ln \left( 4arctgx \right)+{{4}^{x}}\frac{1}{4arctgx}{{\left( 4arctgx \right)}^{\prime }}+\frac{{{4}^{x}}ln 4\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)-{{4}^{x}}\cdot 2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}\left[ ln 4cdot ln \left( 4arctgx \right)+\frac{1}{4arctgx}4\cdot \frac{1}{1+{{x}^{2}}}+\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)ln 4-2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}} \right]=

      ={{4}^{x}}\left[ ln 4\cdot ln \left( 4arctgx \right)+\frac{1}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)arctgx}+\frac{\left( 1+{{x}^{2}} \right)ln 4-2x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}} \right]

    1. Krystian Karczyński

      Jasne. Wynik w WolframAlpha jest tutaj:

      (arctg sqrt1-x/1+x)’

      A teraz dojdźmy do niego 🙂

      {{\left( arctg\frac{1-x}{1+x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\left( \tfrac{1-x}{1+x} \right)}^{2}}+1}{{\left( \frac{1-x}{1+x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\tfrac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+1}\frac{{{\left( 1-x \right)}^{\prime }}\left( 1+x \right)-\left( 1-x \right){{\left( 1+x \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=

      =\frac{-1\left( 1+x \right)-\left( 1-x \right)\cdot 1}{\left( \tfrac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+1 \right){{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{-1-x-1+x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{-2}{1-2x+{{x}^{2}}+1+2x+{{x}^{2}}}=

      =\frac{-2}{2+2{{x}^{2}}}=\frac{-2}{2\left( 1+{{x}^{2}} \right)}=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}

      Jak ogólnie liczyć pochodne (także te z funkcji złożonych, jak tutaj), pokazałem w swoim Kursie:

      Kurs do Pochodnych Video

      Pozdrawiam!

  70. Witam,
    Ja również mam pytanie – czy mógłby mi Pan wytłumaczyć, dlaczego i w jaki sposób, z pochodnej : 3/x^4 wychodzi wynik : -12/x^5 ?
    Byłbym wdzięczny 🙂

    1. 3/(x^4)=3*x^(-4);
      pochodnia z x^y=y*x^(y-1)
      stąd:
      pochodna z 3*x(-4)=3*(-4)*x^(-4-1)= -12*x^(-5)
      czyli
      -12/(x^5)
      Mam nadzieję, że jasne.
      Pozdrawiam,
      Student Politechniki

  71. Dzień dobry
    Ja mam nieco inne pytanie, na które ciężko znaleźć klarowną odpowiedź. Jak oblicza sie numerycznie (za pomoca kalkulatora czy komputera) pochodna funkcji jednej zmiennej?

    Z góry dziękuję za pomoc

  72. Witam, w kursie badania zmienności funkcji w ostatniej lekcji (rysowanie wykresu + tabelka) bada Pan zmienność funkcji e^(x)/x^(2)

    Mam wielki problem z obliczeniem drugiej pochodnej (potrzebnej do zbadania wklęsłości/wypukłości) tej funkcji, z pierwszą radzę sobie bez problemu, natomiast co do drugiej, to męczę się od dwóch godzin i za każdym razem wychodzi mi inny wynik, moi znajomi z kierunku też mają różne wyniki.
    Bardzo Pana proszę o pomoc, gdyż w czwartek mam egzamin właśnie z badania zmienności funkcji. Wynik znam, bo porównując mianownik tej pochodnej otrzymał Pan jedno rozwiązanie, którym jest zero. Natomiast jak dojść do tego wyniku? Bardzo proszę o poświęcenie mi chwili, gdyż nie umiem sobie poradzić, pozdrawiam 🙂

    ps: Wolfram niewiele pomaga

    1. Krystian Karczyński

      Przepraszam, już trochę po ptokach (tzn. po czwartku), ale odpowiem.

      To jest mój ulubiony przykład, bo kiedyś udzielałem dużo korepetycji studentom Akademii Morskiej w Szczecinie i tam był taki bardzo znany profesor (może obejdźmy się bez nazwisk…) który zawsze na poprawkach dawał do rozwiązania TEN właśnie przykład. Było z tym trochę śmiechu zawsze.

      No ale do rzeczy. Dlaczego WolframAlpha nie pomaga? Proszę zerknąć, wystarczy prosta formuła:

      (e^x/x^2)”

      No a teraz dojdźmy do wyniku krok po kroku. Kluczem do sukcesu będzie stałe porządkowanie wyników (wyciąganie przed nawias).

      Liczę pierwszą pochodną:

      {{\left( \frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{{{e}^{x}}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}\cdot 2x}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}x\left( x-2 \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{3}}}

      Teraz drugą:

      {{\left( \frac{{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left[ {{e}^{x}}\left( x-2 \right) \right]}^{\prime }}{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right){{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=\frac{\left[ {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\left( x-2 \right)+{{e}^{x}}{{\left( x-2 \right)}^{\prime }} \right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=

      =\frac{\left[ {{e}^{x}}\left( x-2 \right)+{{e}^{x}} \right]{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{6}}}=\frac{{{e}^{x}}\left[ x-2+1 \right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}\left( x-2 \right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{{{x}^{3}}{{e}^{x}}\left( x-1 \right)-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{x}^{6}}}=

      =\frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}\left[ x\left( x-1 \right)-3\left( x-2 \right) \right]}{{{x}^{6}}}=\frac{{{e}^{x}}\left[ {{x}^{2}}-x-3x+6 \right]}{{{x}^{4}}}=\frac{{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-4x+6 \right)}{{{x}^{4}}}

      No i tyle, powodzenia, polecam wszystkim mój Kurs, na którym krok po kroku na filmikach Video pokazuję, jak się robi takie rzeczy:

      Kurs Pochodne i Badanie Przebiegu Zmienności Funkcji

  73. witam, mam problem z przykładem ((1/x)^(sinx))^lnx . Czy tutaj trzeba użyć tego wzoru a^b=e^(blna)?
    Oraz czy mógłby Pan pomóc z tym zadaniem : )
    Pozdrawiam : )

    1. Krystian Karczyński

      Jasne, trzeba skorzystać z wzoru: {{a}^{b}}={{e}^{bln a}}, a rozpisując krok po kroku pójdzie to tak:

      {{\left[ {{\left( {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{sin x}} \right)}^{ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{sin x\cdot ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}} \right]}^{\prime }}={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ {{\left( sin x \right)}^{\prime }}\left( ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)+sin x{{\left( ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( {{\left( ln x \right)}^{\prime }}\cdot ln \tfrac{1}{x}+ln x\cdot {{\left( ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{1}{x}\cdot ln \tfrac{1}{x}+ln x\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{x}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{ln \tfrac{1}{x}}{x}+ln x\cdot x\cdot \left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right) \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{ln \tfrac{1}{x}}{x}-ln x\cdot \frac{1}{x} \right) \right]=

      {{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+\frac{sin x\left( ln \tfrac{1}{x}-ln x \right)}{x} \right]

      No i mam tylko nadzieję, że dobrze odczytałem zapis na początku…

    2. Witam, tak spoglądałem na komentarze i zauważyłem jak Pan tutaj wyliczał pochodną. Chciałbym się spytać Pana o dwie rzeczy:
      1. W pierwszej linijce na końcu skąd (z jakiego wzoru/własności) pochodna z e^(sin(x)*ln(x)*ln(1/x)) to ta sama liczba pomnożona przez pochodną wykładnika liczby e?
      2. W drugiej linijce na początku, jak mamy pochodną (sinx*lnx*ln(1/x) to na jej zapisanie korzystamy ze wzoru [ f(x) * g(x) ]’= f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) tylko czemu nie potraktujemy (sin*ln(x)) jako czynnik 1, a lnx(1/x) jako drugi? tylko samo sin(x) jako czynnik 1?
      3. Czy w takich sytuacjach jak pytaniu 2 (kiedy mamy wiele iloczynów), po zastosowaniu przemienności mnożenia pochodne będą takie same?

      Pozdrawiam serdecznie 🙂

  74. Witam,
    Mam obliczyć drugą pochodną z wyrażenia: 2^2+2x+lnx. I pierwsza pochodna wyszła mi taka: 4x+2+1/x. Licząc z tego drugą pochodną wychodzi 4+ ,,,, Własnie nie wiem jaka jest pochodna z 1/x 🙁

    1. Krystian Karczyński

      Dzień dobry, obawiam się, że już pierwsza pochodna wyszła Pani nieprawidłowa…

      {{\left( {{2}^{2}}+2x+ln x \right)}^{\prime }}=2+\frac{1}{x}

      Pochodna z {{2}^{2}}równa jest zero, bo to pochodna z liczby, stałej (dwa do kwadratu to po prostu cztery). Pochodna z {{x}^{2}}równa jest 2x, ale pochodna z {{2}^{2}}równa się 0.

      Licząc dalej mamy:

      {{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}

      …niech Pani zerknie np. na moje wzory do pochodnych – wzór numer 4.

  75. Witam! Chcę tylko na początku dorzucić, że uwielbiam Pana i doceniam to co pan dla nas biednych studentów robi i dziękuję za to 🙂 I mam takie małe pytanie, przy obliczaniu pochodnej z a^x kalkulator wylicza a^x * log(2) a nie powinno byc a^x*ln(x)? ln zamiast log? bo to trochę zmienia postać rzeczy 🙂

    1. Krystian Karczyński

      A dzięki, dzięki, ale kalkulator wylicza {{a}^{x}}log \left( a \right)jako wynik, a nie {{a}^{x}}log \left( 2 \right)

      No ale poza tym sprawa jest prosta i zwrócił Pan uwagę na ważny problem: w zachodnim zapisie matematycznym logx oznacza logarytm NATURALNY (czyli nasz lnx). Oni w ogóle nie używają zapisu lnx. Trzeba więc zawsze odpowiednio „tłumaczyć” wyniki.

      Więcej informacji o WolframAlpha może Pan zasięgnąć z mojego ebooka i filmików video:

      WolframAlpha – Praktyczny Przewodnik

    1. Ponieważ nie ma takiego wzoru na pochodną jak x^x więc trzeba trochę pokombinować… można trzeba tez wzór rozpisać najlepiej jako e do jakiejś tam potęgi, a ponieważ a^(loga z b) = b więc e^(lnx)=x więc x już mamy i teraz to wszystko trzeba podnieść do potęgi x więc: (e^lnx)^x i korzystając z własności logarytmu wychodzi nam e^xlnx i liczysz jak pochodną funkcji złożonej e do. (e^xlnx)’ = e^xlnx * (lnx+x*(1/x)) (tam zastosowałem wzór na pochodną iloczynu) więc wychodzi ostatecznie
      (e^xlnx)*(lnx+1) ex można zamienić e^xlnx i wyjdzie prze arcy końcowy wynik: xlnx +x 🙂

  76. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania mojego szalonego wykładowcy, który jak zwykle na ćwiczeniach i wykładach robił jedno a na
    egzaminie drugie 😛

    4. Dla jakiego n jest spełniona nierówność: [(x+n)/(x+1)]^x >7 Sorry, że to zadanie wrzuciłem pod stronę z kalkulatorem pochodnych, ale nie bardzo wiedziałem, gdzie indziej mogę o to zapytać. Z góry dzięki za pomoc

    1. Krystian Karczyński

      Dzień dobry

      Jasne, rozumiem, że chodzi o nierówność:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}>7?

      Liczę sobie spokojnie granicę z lewej strony nierówności (poprzez dojście do wzoru na liczbę e):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+1-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}=

      Na boku liczę granicę z wykładnika potęgi:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x}{x+1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x}{x\left( 1+\tfrac{1}{x} \right)}=1

      Liczyli mam granicę po lewej stronie nierówności policzoną:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}={{\left[ {{e}^{-1+n}} \right]}^{1}}={{e}^{-1+n}}

      Wracam się do nierówności:

      {{e}^{-1+n}}>7

      Jest to nierówność wykładnicza (z potęgą). Rozwiązuję ją logarytmując obie strony:

      {{e}^{-1+n}}>7\quad ln \left( \ldots \right)

      ln {{e}^{-1+n}}>ln 7

      \left( -1+n \right)ln e>ln 7

      -1+n>ln 7

      n>ln 7+1

      W zadaniu było gdzieś powiedziane, że nmusi być liczbą naturalną? Jeśli nie, to mam rozwiązanie, jeśli tak, to trzeba by jeszcze podumać nad tym, które liczby naturalne spełniają tą nierówność.

    1. Krystian Karczyński

      Wszystko jest chyba O.K. Rozumiem, że policzyć Pan chciał pochodną z: y= ln 2-{{x}^{2}}arctgx– czy dobrze rozumiem?

      No to policzmy „ręcznie”:

      {{\left( ln 2-{{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( ln 2 \right)}^{\prime }}-{{\left( {{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}=-\left( {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}arctgx+{{x}^{2}}{{\left( arctgx \right)}^{\prime }} \right)=

      =-2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}

      W tym momencie Wolfram bardzo się stara „ułatwić” nam życie i przekształca ten wynik dalej, do wspólnego mianownika:

      -2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2xarctgx\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-2xarctgx-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}

      W amerykańskim zapisie matematycznym funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie zaznacza się tak jak u nas przez np. arctgx, tylko jako {{tan }^{-1}}x, czyli mamy Wolframowy:

      \frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}{{tan }^{-1}}x-{{x}^{2}}-2x{{tan }^{-1}}x}{{{x}^{2}}+1}

    2. miało być (ln2^-x^2) * arctgx
      ln2 do potęgi -x do potęgi 2 i to wszystko razy arctgx
      Więc przepraszam za błąd w zapisie i czy mogłabym jeszcze raz poprosić o pomoc ?

    3. Krystian Karczyński

      No to troszkę dziwnie, ale liczę (przed rzuceniem się na pochodne korzystam z własności logarytmu)…

      {{\left( ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( -{{x}^{2}}ln 2arctgx \right)}^{\prime }}=-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}ln 2\cdot \frac{1}{1+{{x}^{2}}}=-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}

      Tutaj niestety Wolfram znowu próbuje bardzo na siłę „ułatwić” Pani życie i sprowadza do wspólnego mianownika:

      -2x\cdot ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot ln 2\cdot arctgx+ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}}{1+{{x}^{2}}}

      No i zamieniając kolejność w liczniku i pamiętając o tym, że w Stanach arctgx={{tan }^{-1}}xi ln x=log \left( x \right)mamy Wolframowy:

      \frac{-2{{x}^{3}}log \left( 2 \right)\cdot {{tan }^{-1}}x+log \left( {{2}^{-{{x}^{2}}}} \right)-2xlog \left( 2 \right){{tan }^{-1}}x}{1+{{x}^{2}}}

  77. Witam Panie Krystianie,
    czy nie zna Pan jakiegoś kalkulatora do liczenia pochodnych cząstkowych wielu zmiennych?

    Dziękuję za pomoc i pozdrawiam:)

    1. Krystian Karczyński

      Jasne, trzeba najpierw skorzystać z wzoru na dzielenie, a potem na funkcję złożoną:

      {{\left( \frac{ln x-1}{{{ln }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( ln x-1 \right)}^{\prime }}{{ln }^{2}}x-\left( ln x-1 \right){{\left( {{ln }^{2}}x \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{ln }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{\tfrac{1}{x}{{ln }^{2}}x-\left( ln x-1 \right)2ln x\cdot \tfrac{1}{x}}{{{ln }^{4}}x}=

      =\frac{\tfrac{{{ln }^{2}}x}{x}-\tfrac{2ln x\left( ln x-1 \right)}{x}}{{{ln }^{4}}x}=\frac{{{ln }^{2}}x-2ln x\left( ln x-1 \right)}{x{{ln }^{4}}x}=\frac{ln x\left[ ln x-2\left( ln x-1 \right) \right]}{x{{ln }^{4}}x}=\frac{-ln x+2}{x{{ln }^{3}}x}

  78. Witam
    Mam pewien problem
    Bo zupełnie nie wiem dlaczego \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} ma pochodną \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}?
    Prosiłbym o małą pomoc;)

    1. Krystian Karczyński

      Dzień dobry

      No trochę niezupełnie, pochodna z \frac{-1}{{{x}^{2}}+1}to \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}, a nie \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}.

      Bierze się to – na przykład – z elementarnego wzoru {{\left( \frac{a}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{a}{{{x}^{2}}}.

      Licząc z tego wzoru i traktując funkcję {{x}^{2}}+1jako funkcję wewnętrzną i przyjmując a=-1mam:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=-\frac{-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}2x=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

      Można też skorzystać z normalnego wzoru na dzielenie:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( -1 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{0\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)+2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

  79. Panie Krystianie,
    zupełnie nie wiem dlaczego pochodna z x^sinx wychodzi

    [x^(sinx-1)][sinx + lnxcosx]

    licząc tą pochodną zatrzymuję się w momencie: [x^sinx][sinx/x +cosxlnx], korzystam ze wzoru: a^b = e^blna

    1. Krystian Karczyński

      A w tej tzw. „prawidłowej odpowiedzi” nie powinno być x przed lnxcosx? Tzn. xlnxcosx zamiast lnxcosx?

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


Kategorie

Wirtualny nauczyciel AI działający w przeglądarce internetowej.