Granica funkcji: x do x do x … Co Robić? (Przykład z Morałami)

Jako ciekawostkę policzę granicę funkcji:

Ciekawsze od samych obliczeń będą dwa morały, które można z nich wyciągnąć. Ale morały na koniec (czy ktoś widział historyjkę z morałem na początku)? Teraz liczę:

Na początku patrzę, co do czego zmierza i mam:

Czyli nie mam pojęcia co do czego zmierza, bo nie wiem nawet, do czego zmierza  (jest to symbol nieoznaczony), a co dopiero takie dziwadło jak: .

Wygląda jednak na to, że z cosinusem nie ma problemów, liczę więc na boku, do czego zmierza samo:

Będę stosował dojście do d’Hospitala (pokazałem dokładnie o co chodzi w moim Kursie ), czyli skorzystam ze wzoru ():

Ale nadal nie jest fajnie, bo mam dalej w wykładniku symbol nieoznaczony , przekształcam więc to drugi raz:

Teraz mogę już spokojnie brać się do roboty. Liczę na boku:

, mam więc symbol nieoznaczony de l’Hospitalem więc to:

Czyli mam policzone na boku, że: .

Wracając więc do granicy:

Wiem już, że mam tu sytuację:

Czyli okazało się, że:

Zatem cała moja granica:

A cosinus był tylko na postrach.

Morały z tej historii

Są dwa.

1. W trudniejszych granicach zawsze można i czasem trzeba brać jej kawałek i obliczać, do czego zmierza „na boku”.
2. Czasami niektóre fragmenty w formule granicy mogą być dodane tak jak ten cosinus. Okazało się, że nic z nim nie muszę kombinować, tylko podstawić zero na końcu.