Ciągłość funkcji w punkcie
Jak wszyscy wiemy (chociażby z mojego Kursu Granic ) funkcja 
jest ciągła w punkcie 
, gdy:
Czyli gdy granica lewostronna tej funkcji w tym punkcie równa jest granicy prawostronnej funkcji w tym punkcie równa jest wartości funkcji w tym punkcie.
Jeśli któraś z równości nie jest spełniona, funkcja nie jest ciągła w punkcie , a punkt nazywamy punktem nieciągłości.
W tym nazywaniu można pójść krok dalej i ROZRÓŻNIĆ od siebie punkty nieciągłości. Robimy to tak:
Punkty nieciągłości I rodzaju
Punkt nieciągłości nazywamy punktem nieciągłości I rodzaju, jeśli granice 
są skończone (czyli po prostu są liczbami).
Dodatkowo, jeśli te granice są równe sobie, wtedy punkt nieciągłości I rodzaju nazywamy usuwalnym.
Punkty nieciągłości II rodzaju
Punkt nieciągłości nazywamy punktem nieciągłości II rodzaju, jeśli któraś z granic nie jest skończona (czyli po prostu jest równa nieskończoności z plusem lub minusem).
Przykład 1
Ta funkcja ma w punkcie 
punkt nieciągłości (bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest 0, a granica prawostronna 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawo stronna w tym punkcie są skończone (0 i 1). Nie jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice nie są równe sobie.
Przykład 2
Ta funkcja ma w punkcie 
punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe wartości funkcji w tym punkcie). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju, bo granice lewo i prawostronna są skończone (i równe 1). Jest to punkt nieciągłości I rodzaju usuwalny, bo granice lewo i prawostronna są sobie równe.
Przykład 3
Ta funkcja ma w punkcie punkt nieciągłości (bo granice lewo i prawostronne w tym punkcie nie są równe sobie). Jest to punkt nieciągłości II rodzaju, bo granica lewostronna w tym punkcie równa jest 
.
8 Komentarzy
sssss11
Wreszcie w jakiś logicczny sposob zostalo to wytlumaczone !!
DZIEKUJE!!
Wiki
Witam.
Chciałam zapytać jak należy narysować punkt nieciągłości drugiego rodzaju na wykresie funkcji?
Rafał
Witam!!
W książce analiza matematyczna Krysicki, Włodarski, jest parę takich zadań
piszę żeby zbadać ciągłość funkcji, jest podana funkcja np. f(x)=x+1/x ale niema podanych tych punktów.
Jak takie coś się liczy??
Krystian Karczyński
W tym przypadku wystarczy wyznaczyć dziedzinę. Funkcja oczywiście nie jest ciągła w punktach, które w ogóle nie należą do dziedziny.
W przypadku np. funkcji f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}funkcja jest ciągła w przedziale R\backslash \{ 0 \}.
Sebastian
Zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera to nie przedział tylko suma przedziałów!
Magda
Hej! A co jeśli w dziedzinie funkcji występuje np x>0 , x =0 ? Co z granicą prawostronną?
Krystian Karczyński
Hej! Chodzi o przedział dziedziny \left\langle 0,\infty \right)? x=0 nie jest wtedy na pewno wykresem asymptoty prawostronnej i jeśli funkcja nie istnieje na lewo od zera to nie jest również lewostronnej.
Stefan
Ja miałbym do Pana takie pytanie z „innej beczki”. Czy da się w jakiś prosty sposób sprawdzać granice ciągów z definicj? Mam tu na myśli np. ciągi wymierne(z drugimi i trzecimi stopniami potęgi) i wykładnicze.