Mój nowy Kurs – pochodne funkcji i ich zastosowania

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.

Dzisiaj podpiąłem do sprzedaży mój Kurs Pochodnych – możesz kliknąć na link na prawym pasku i zobaczyć, co i jak.

Materiału video jest w nim około 10 godzin, tak więc jest co ćwiczyć. Pochodne jak to pochodne, podstawa to nauczyć się je liczyć naprawdę dobrze, a potem wszystko leci już z górki.

Przy samej nauce pochodnych łatwo złapać kilka niedobrych manier, które starałem się zwalczać w Kursie.

Do Kursu dodane jest też liczenie granic w ramach reguły de l’Hospitala – bo wykorzystuje ona właśnie pochodne funkcji, a także obliczanie dziedziny funkcji, niezbędne do zbadania jej zmienności.

Polecam i mam nadzieję, że Kurs się Wam przyda.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nigdy nie byłem dobry z matmy a wybrałem się na studia inżynierskie, teraz zaczynam wszystko rozumieć. Jednak nauczyciel ma znaczenie!

Paweł

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Ela pisze:

31 stycznia 2017 o 22:10

Pls o pomoc! Nie wiem gdzie dokładnie zakwalifikować moje pytanie, ale z góry dziękuję za odpowiedź. Zadanie niby łatwe, ale nie jestem pewna co do punktu styczności.Zadanie:Dana jest funkcja y= 6lnx. Znajdź tangens kąta pod jakim przecina ona oś x.Wiem, że tg $alpha$ =f'( $x subscript 0$ ), ale wiem czy, na pewno $x subscript 0$ = 1ab/16/ba78b14072f1990d6d0555e4e5b7.png” alt=”negative infinity” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»-«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/math»” /> (asymptota pozioma lewostronna) istnieje i jest równa pewnej stałej liczbie.e3/10/01673a57d2bb45516dda4702ad94.png” alt=”y equals x” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/math»” />.8e/35/964adb911d4c30e5a619e4fcb48d.png” alt=”b equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />. Stąd asymptota ukośna prawostronna (a właściwie pozioma) ma równanie $y equals 0$ .

-> dla asymptoty lewostronnej

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator f left parenthesis x right parenthesis over denominator x end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end style over denominator x end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction over denominator x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction times 1 over x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x squared plus x plus 5 end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table$

czyli $a equals 0$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of f left parenthesis x right parenthesis minus a x end cell equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction minus 0 x equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 2 open vertical bar x close vertical bar over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals with x less than 0 rightwards double arrow vertical line x vertical line equals negative x on top end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared plus x plus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 x over denominator x squared open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator negative 2 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 1 over x end style plus begin display style 5 over x squared end style close parentheses end fraction equals open square brackets fraction numerator negative 2 over denominator negative infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table$

czyli $b equals 0$ . Stąd asymptota ukośna lewostronna (a właściwie pozioma) ma równanie $y equals 0$ .

76/33/aecc6216ac78a9c28dbdff1950d5.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»t«/mi»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»t«/mi»«/math»” />

całka ogólna: $x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t$

95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

$e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent$

$open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent$

$z equals C times e to the power of x squared end exponent$

Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

$z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent$

$z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x$

Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

$z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x$

$C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x$

$C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent$

$C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral$

$integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x$

$C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C$

Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

$z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent$

Ponieważ $z equals 1 over y squared$ , to

$y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction$

ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli $p equals u v$ . Wtedy

$p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$ , i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

$u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x$

$u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$

Wyznaczymy funkcję $v equals v open parentheses x close parentheses$ w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

$v apostrophe minus 2 v equals 0$

$fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v$

$fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x$

$integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x$

$ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x$

Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

$e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent$

$open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent$

$v equals e to the power of 2 x end exponent$

Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

$u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x$

$u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x$

$u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x$

$u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent$

Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

$u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C$

Stąd

$p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent$

i, odpowiednio,

$y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals$

$negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2$

Odpowiedz
tomek pisze:

6 stycznia 2014 o 16:41

a ja siedzialem i liczylem ten przyklad z godzine a tu prosze 🙂

Odpowiedz
preston pisze:

24 listopada 2011 o 20:11

No właśnie coś mi tu nie pasowało 🙂 Dziękuję za odpowiedź.

Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:

23 listopada 2011 o 21:04

Źle ułożyłem ten przykład w Zadaniu Domowym:

17) ${lim}under{x{right}{Pi}/2}(tgx)^{1/{x-{Pi}/2}}$

To nie jest w ogóle symbol nieoznaczony!

Zainteresowanych bardzo przepraszam za pomyłkę.

Odpowiedz
preston pisze:

23 listopada 2011 o 12:46

Nie bardzo rozumiem skąd wziął się wynik w zadaniu 17 z De L’Hospitala.

Odpowiedz

Estymacja przedziałowa i przedział ufności dla średniej (znane odchylenie w populacji sigma)

18 czerwca 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Granica ciągu z wzorem na liczbę e (VIDEO)

22 stycznia 2021 / Krystian Karczyński

Czytaj więcej

Kup Kurs eTrapez i zgarnij dwupak Red Bull

18 stycznia 2021 / Jan

Czytaj więcej

Najpopularniejsze Kursy

Zobacz demo