Na wykładzie pokażę, czym są pochodne jednostronne funkcji, a także jej pochodne nieskończone. Zobaczymy też, jak wykazać, że pochodna funkcji nie istnieje.
Pochodne jednostronne funkcji
Definiując pochodne (niezależnie od tego, czy w sposób opisany w Wykładzie 1, czy w Wykładzie 2) doszliśmy do tego, że pochodna funkcji w punkcie jest pewnego rodzaju granicą funkcji:
Granicę tą uzyskaliśmy…
Na pierwszym wykładzie obliczając coraz bardziej precyzyjne prędkości średnich dla przyrostów czasu coraz bliższych . Na przykładzie w wykładzie były to prędkości średnie między 2 a 2,5 sekundą ruchu, potem między 2 a 2,25 sekundą, między 2 a 2,1 sekundą itd. Nasze zwiększaliśmy więc o przyrosty i dążyliśmy z tymi przyrostami do zera. Nic nie stało na przeszkodzie, abyśmy brali prędkości średnie pomiędzy 1,5 a 2 sekundą, 1,75 a 2 sekundą, 1,9 a 2 sekundą itd, a więc zmniejszali byśmy o przyrosty i dążyli z tymi przyrostami do zera.
Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do z prawej strony możemy nazwać pochodną prawostronną funkcji i oznaczyć ją:
Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do z lewej strony możemy nazwać pochodną lewostronną funkcji i oznaczyć ją:
W naszym przykładzie z Kaziem na sankach obie te pochodne wyszły by równe (gorąco, gorąco, gorąco polecam wyciągnąć kalkulator i to sprawdzić, obliczając kolejne prędkości średnie). Nie jest to jednak regułą we wszystkich funkcjach i we wszystkich pochodnych. Czasami podchodząc do z prawej strony uzyskamy inny wynik (granicę), niż z lewej. Czasami możemy podchodzić tylko z którejś strony, bo po drugiej w ogóle funkcji nie ma… Może być różnie.
Na drugim przykładzie doszliśmy do pochodnej biorąc kolejne sieczne:Zauważ, że na naszym przykładzie definiując styczną brałem punkty , czyli punkty zbliżające się do A z prawej strony. Umawiając się, że biorę tylko takie punkty uzyskam przyrosty argumentów dodatnie, a wzór na tangens kąta nachylenia stycznej:
Równie dobrze jednak mogłem brać te punkty na krzywej dążące do A z lewej strony – w tym przypadku przyrosty będą ujemne, a wzór na odpowiedni tangens:
Biorąc sieczne z lewej lub z prawej strony uzyskamy tą samą (albo i nie) styczną. Mówimy więc o stycznej lewostronnej i stycznej prawostronnej. Mogą to być, w przypadku niektórych funkcji, dwie różne proste, które mają różne tangensy kąta nachylenia do osi OX.
Pojęcie pochodnych jednostronnych wynika więc nawet dosyć naturalnie z samego intuicyjnego rozumienia tego, czym są pochodne. Jeżeli jednak nawet znalibyśmy tylko i wyłącznie samą definicję granicy funkcji w punkcie :
to pamiętając z Wykładów o samych granicach funkcji, że granica może być lewo i prawostronna, że istnieje wtedy, kiedy lewo i prawostronne są równe itd.
Po prostu zapominając na chwilę o tym, że jest to pochodna i zostając tylko i wyłącznie na gruncie granic funkcji obliczymy i zrozumiemy wszystko, co jest nam potrzebne z granic jednostronnych.
Pochodne jednostronne – kiedy ich używać?
Po zapoznaniu się z powyższym budzi się na pewno w każdym studencie pewien swoisty lęk – co to są pochodne to już jako tako umiem, liczyć jakoś tam umiem, wzory niby mam i teraz aby nauczyć się pochodnych muszę umieć JESZCZE COŚ NOWEGO?
Spokojnie. W praktycznych obliczeniach na studiach w 99% przypadków będziesz miał sytuację, w której pochodna lewo i prawostronna funkcji są sobie równe, a w tym przypadku w ogóle nie ma co wprowadzać analizy lewo i prawostronnej zachowania się granicy. Pochodna z to jest po prostu w każdym punkcie , nie ma tu w ogóle potrzeby nawet znajomości tych subtelnych rozróżnień.
Pochodne jednostronne mogą Ci się jednak przydać do dwóch rzeczy:
Do lepszego rozumienia tego, czym są pochodne (nie lekceważyłbym tej sprawy)
Do rozwiązywania pewnego rodzaju szczególnych zadań, na przykład na sprawdzanie, czy pochodna w punkcie istnieje (a będzie istnieć, gdy pochodne lewo i prawostronna są równe)
Do trudniejszych analiz ogólnie
Szkolnym przykładem na punkt 2. jest:
Przykład
Sprawdź, czy funkcja ma pochodną w punkcie .
Funkcja narysowana w układzie współrzędnych wyglądała by tak:
Pytanie jest – czy ma on pochodną w punkcie ? Niby w sumie – czemu nie? No ale przyjrzyjmy się bliżej. Liczymy granicę prawostronną:
Biorą za :
Teraz ważny moment. jest dodatnie (wiemy to stąd, że liczymy granicę przy ), a wartości bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie, zatem:
Pochodna prawostronna jest więc równa 1.
Liczymy granicę lewostronną:
Biorą za :
Teraz znowu ważny moment. jest ujemne (wiemy to stąd, że liczymy granicę przy ), a wartości bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie z minusem (całość musi być dodatnia), zatem:
Pochodna lewostronna jest więc równa -1.
Zatem pochodna lewo i prawostronna są różne od siebie. Morał z tego taki, że pochodna z funkcji w punkcie nie istnieje.
Pochodne nieskończone
Skoro – jak już wiemy – pochodna funkcji w punkcie to pewna granica, nic nie stoi na przeszkodzie, aby dążyła ona do , lub – jak każda porządna granica. Tak uzyskaną pochodną możemy nazwać pochodną nieskończoną. Oczywiście możemy mówić też o pochodnej lewostronnej i prawostronnej nieskończonej (tak jak w przypadku każdej granicy). Interpretacją geometryczną takiej granicy są sieczne dążące do stycznej pionowej (tangens dąży do lub ).
Przykład
Oblicz pochodną funkcji w punkcie .
Mamy więc obliczyć:
W tym przypadku nie ma sensu liczyć pochodnej lewostronnej przy . Nie możemy brać ujemnych, bo pierwiastki (rzeczywiste, ale nie motajmy) z liczb ujemnych nie istnieją. Jeśli więc istnieje pochodna w tym punkcie to tylko prawostronna, mamy więc:
Co dąży do plus lub minus nieskończoności (granice funkcji się kłaniają, symbol ), a skoro mianownik i licznik są dodatnie, to do plus nieskończoności.
Zatem funkcja ma w punkcie pochodną prawostronną równą
Rysując wykres funkcji i biorąc kolejne sieczne…
…widzimy, że graniczną prostą dla tych siecznych jest prosta pionowa, o kącie nachylenia do osi OX .
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
“Morał z tego taki, że pochodna z funkcji ma pochodną w punkcie nie istnieje. “Czy nie powinno być raczej : ” (…) że pochodna z funkcji w punkcie nie istnieje. “ Pozdrawiam
Korzystamy z plików cookies w celu dostosowania jej treści, jeśli będziesz na nią wracał; stosowania narzędzi analitycznych (Google Analytics, Crazyegg); marketingowych (Google Ads, Facebook Ads); widgetów matematycznych (Wolfram|Alpha) oraz embedowania treści ze stron zewnętrznych (YouTube, Vimeo). Cookies funkcjonują przez okres do 24 miesięcy, chyba że wcześniej je wyczyścisz. Dostęp do cookies mają podmioty trzecie wskazane w nawiasach. Poprzez kliknięcie “Zaakceptuj wszystkie”, wyrażasz zgodę na użycie WSZYSTKICH ciasteczek. Możesz też dostosować swoje zgody modyfikując Ustawienia. Czytaj więcej
Używamy ciasteczek, aby ulepszyć funkcjonowanie strony eTrapez. Podzieliliśmy te ciasteczka na kategorie. Niektóre z nich uznaliśmy za "niezbędne". Przechowujemy je w Twojej przeglądarce, ponieważ zapewniają podstawowe funkcjonalności strony. Inne ciasteczka uznaliśmy za mniej ważne i przechowujemy je w Twojej przeglądarce tylko za Twoją zgodą. Masz możliwość zablokowania tych ciasteczek.
Ponadto, oprócz naszych własnych, wewnętrznych ciasteczek, używamy także ciasteczek zewnętrznych firm, takich jak Facebook, Google, Vimeo.
Niezbędne ciasteczka są potrzebne do podstawowego działania strony. Zapewniają najbardziej kluczowe funkcjonalności, zabezpieczenia i zgodność z wymogami prawnymi.
Wszystkie inne ciasteczka, które nie są niezbędne do funkcjonowania strony, w szczególności zbierające dane osobiste do celów analitycznych, reklamowych i innych. Wymagają zgody użytkownika strony internetowej.
Ciasteczka statystyczne są używane do badania tego, jak użytkownicy zachowują się na stronie internetowej. Pomagają dostarczać informacje o wskaźnikach takich jak liczba odwiedzin na stronie, współczynnik odrzuceń, źródła odwiedzin itd.
Ciasteczka reklamowe są używane do celów marketingowych. Śledzą wizyty użytkowników na stronach internetowych i zbierają informacją o ich zachowaniach, aby docierać do nich z odpowiednimi reklamami.
Ciasteczka wydajnościowe używane są do zrozumienia i analizy kluczowych indeksów strony, takich jak szybkość wyświetlania treści, liczba wyświetleń video itp. Dzięki nim możemy poprawiać stronę tak, żeby korzystanie z niej było bardziej przyjazne dla użytkowników.
Functional cookies help to perform certain functionalities like sharing the content of the website on social media platforms, collect feedbacks, and other third-party features.
Cookie
Duration
Description
__cf_bm
30 minutes
This cookie, set by Cloudflare, is used to support Cloudflare Bot Management.
“Morał z tego taki, że pochodna z funkcji ma pochodną w punkcie nie istnieje. “Czy nie powinno być raczej : ” (…) że pochodna z funkcji w punkcie nie istnieje. “ Pozdrawiam
Tak, tak powinno dokładnie być. Poprawiłem i dziękuję.
Dobre, latwostrawne.
PS “Piszac ten post”, a nie “tego posta” 🙂