Pochodne Funkcji Wykład 3
Temat: Pochodne jednostronne. Pochodne nieskończone.
Streszczenie
Na wykładzie pokażę, czym są pochodne jednostronne funkcji, a także jej pochodne nieskończone. Zobaczymy też, jak wykazać, że pochodna funkcji nie istnieje.
Pochodne jednostronne funkcji
Definiując pochodne (niezależnie od tego, czy w sposób opisany w Wykładzie 1, czy w Wykładzie 2) doszliśmy do tego, że pochodna funkcji w punkcie jest pewnego rodzaju granicą funkcji:
Granicę tą uzyskaliśmy…
1. Na pierwszym wykładzie obliczając coraz bardziej precyzyjne prędkości średnich dla przyrostów czasu coraz bliższych
Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do
Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do
W naszym przykładzie z Kaziem na sankach obie te pochodne wyszły by równe (gorąco, gorąco, gorąco polecam wyciągnąć kalkulator i to sprawdzić, obliczając kolejne prędkości średnie). Nie jest to jednak regułą we wszystkich funkcjach i we wszystkich pochodnych. Czasami podchodząc do
2. Na drugim przykładzie doszliśmy do pochodnej biorąc kolejne sieczne:
Równie dobrze jednak mogłem brać te punkty na krzywej dążące do A z lewej strony – w tym przypadku przyrosty
Biorąc sieczne z lewej lub z prawej strony uzyskamy tą samą (albo i nie) styczną. Mówimy więc o stycznej lewostronnej i stycznej prawostronnej. Mogą to być, w przypadku niektórych funkcji, dwie różne proste, które mają różne tangensy kąta nachylenia do osi OX.
Pojęcie pochodnych jednostronnych wynika więc nawet dosyć naturalnie z samego intuicyjnego rozumienia tego, czym są pochodne. Jeżeli jednak nawet znalibyśmy tylko i wyłącznie samą definicję granicy funkcji w punkcie
to pamiętając z Wykładów o samych granicach funkcji, że granica może być lewo i prawostronna, że istnieje wtedy, kiedy lewo i prawostronne są równe itd.
Po prostu zapominając na chwilę o tym, że jest to pochodna i zostając tylko i wyłącznie na gruncie granic funkcji obliczymy i zrozumiemy wszystko, co jest nam potrzebne z granic jednostronnych.
Pochodne jednostronne – kiedy ich używać?
Po zapoznaniu się z powyższym budzi się na pewno w każdym studencie pewien swoisty lęk – co to są pochodne to już jako tako umiem, liczyć jakoś tam umiem, wzory niby mam i teraz aby nauczyć się pochodnych muszę umieć JESZCZE COŚ NOWEGO?
Spokojnie. W praktycznych obliczeniach na studiach w 99% przypadków będziesz miał sytuację, w której pochodna lewo i prawostronna funkcji są sobie równe, a w tym przypadku w ogóle nie ma co wprowadzać analizy lewo i prawostronnej zachowania się granicy. Pochodna z
Pochodne jednostronne mogą Ci się jednak przydać do dwóch rzeczy:
- Do lepszego rozumienia tego, czym są pochodne (nie lekceważyłbym tej sprawy)
- Do rozwiązywania pewnego rodzaju szczególnych zadań, na przykład na sprawdzanie, czy pochodna w punkcie istnieje (a będzie istnieć, gdy pochodne lewo i prawostronna są równe)
- Do trudniejszych analiz ogólnie
Szkolnym przykładem na punkt 2. jest:
Przykład
Sprawdź, czy funkcja
Funkcja
Biorą za
Teraz ważny moment.
Pochodna prawostronna jest więc równa 1.
Liczymy granicę lewostronną:
Biorą za
Teraz znowu ważny moment.
Pochodna lewostronna jest więc równa -1.
Zatem pochodna lewo i prawostronna są różne od siebie. Morał z tego taki, że pochodna z funkcji
Pochodne nieskończone
Skoro – jak już wiemy – pochodna funkcji w punkcie to pewna granica, nic nie stoi na przeszkodzie, aby dążyła ona do
Przykład
Oblicz pochodną funkcji
Mamy więc obliczyć:
W tym przypadku nie ma sensu liczyć pochodnej lewostronnej przy
Co dąży do plus lub minus nieskończoności (granice funkcji się kłaniają, symbol
Zatem funkcja
Rysując wykres funkcji
…widzimy, że graniczną prostą dla tych siecznych jest prosta pionowa, o kącie nachylenia do osi OX
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak zinterpretować pochodną jako tangens (poprzedni Wykład) <–
“Morał z tego taki, że pochodna z funkcji ma pochodną w punkcie nie istnieje. “Czy nie powinno być raczej : ” (…) że pochodna z funkcji w punkcie nie istnieje. “ Pozdrawiam
Tak, tak powinno dokładnie być. Poprawiłem i dziękuję.
Dobre, latwostrawne.
PS “Piszac ten post”, a nie “tego posta” 🙂