Pochodne Funkcji Wykład 2
Temat: Pochodne funkcji jako tangensy nachylenia stycznej
Streszczenie
Na poprzednim wykładzie wprowadziliśmy pojęcie pochodnej funkcji jako pewnego rodzaju “prędkości” (rozumiejąc te słowo szerzej, niż tylko jako prędkość fizyczną). Na tym wykładzie będziemy wprowadzać dokładnie to samo – czyli pochodną funkcji – ale od innej strony, bardziej geometrycznej, poprzez pojęcie stycznej.
Co to jest styczna?
Ze styczną jak z koniem – jaka jest, każdy widzi. Każde dziecko rozumie, że styczna do wykresu w punkcie A wygląda jakoś mniej więcej tak…
…problem jest z tym, jak to właściwie opisać słowami i zdefiniować. Maślana definicja: “styczna to prosta, która się styka” nie wystarczy. Maślane definicje to takie, które zawierają błąd logiczny polegający na odwołaniu się w definicji do pojęcia, które właśnie mamy zdefiniować. Nie można zdefiniować masła jako “coś, co jest maślane” – bo nie wiemy, co jest “maślane”, nie mając definicji masła. Tak samo nie możemy użyć w definicji stycznej słowa “styka”, bo nie wiemy jeszcze, nie zdefiniowaliśmy tego, co znaczy właściwie “styka”.
Może więc tak:
Definicja (zła)
Styczna do krzywej w punkcie A to prosta, która ma z nią tylko jeden punkt wspólny i jest to punkt A.
Taka definicja wygląda już na pewno lepiej. Pasuje do poznanych w szkole średniej stycznych do okręgu. Ale zgodnie z nią, coś takiego…
… również przedstawia styczną do krzywej k (bo ma z krzywą k tylko jeden punkt wspólny A), a także widać, że…
…tych niby “stycznych” do krzywej było by nieskończenie wiele! Czy jednak o to nam chodziło? Stanowczo nie. Styczna miała być jedna i miała wyglądać, przypominam, tak:
Jej ścisła definicja (bo nieformalnie wszyscy, jak mówiłem, wiemy, o co chodzi) jest bardziej skomplikowana, niż by się mogło wydawać.
Zacznijmy od pojęcia cięciwy. Odchodzimy od znanej nam z podstawówki cięciwy okręgu, uogólniamy pojęcie i mamy…
Definicja cięciwy
Cięciwą nazywamy odcinek łączący dwa dowolne punkty krzywej.
Narysujmy kilka cięciw, mających mających początek/koniec w punkcie A:
Każda cięciwa wyznacza sieczną:
Definicja siecznej
Sieczna to prosta, w której zawiera się cięciwa (inaczej: prosta przecinająca krzywą w co najmniej dwóch punktach).
Narysujmy więc nasze sieczne, przechodzące przez punkt A:
Zauważmy teraz ważną rzecz – przybliżając się z punktami do punktu A odpowiednie sieczne sieczne coraz bardziej i bardziej przypominają naszą styczną l (zaznaczoną na czerwono):
Tak właśnie należy zdefiniować styczną do krzywej w punkcie A. Jak prostą graniczną dla siecznych , gdzie punkty przybliżają się coraz bardziej do punktu A.
Tangens nachylenia stycznej (współczynnik kątowy)
Narysujmy którąś, przykładową sieczną, tym razem już w układzie współrzędnych:
Rozpatrzmy “nachylenie” tej siecznej, czyli jakby miarę tego, jak “stromo” ta sieczna rośnie. Za taką miarę przyjmijmy współczynnik kierunkowy prostej, przez który będziemy rozumieć tangens kąta , jak na rysunku:
Kąt
Tangens kąta
Teraz wyobraźmy sobie, że rysujemy kolejne sieczne, biorąc punkty
Tangens nachylenia stycznej=
I jeśli tylko uświadomimy sobie, że
I że właściwie, jeśli umówimy się na definicję…
Definicja pochodnej funkcji w punkcie
Pochodną funkcji w punkcie nazywamy tangens nachylenia stycznej do jej wykresu w tym punkcie do osi OX.
Nie potrzebujemy do niczego poprzedniego wykładu, możemy zdefiniować sobie i rozumieć pochodne funkcji w taki sposób, nie mieszając do sprawy jakiegoś pojęcia “prędkości”. Takie podejście do pochodnych (nie poprzez granicę z prędkości średnich) możemy nazwać “interpretacją geometryczną pochodnej”.
Pochodne w punkcie jako tangensy nachylenia krzywych (przykłady)
Narysujmy kilka stycznych do krzywej w różnych punktach w układzie współrzędnych i zastanówmy się, jak ich tangens kąta nachylenia tych stycznych do wykresu będzie wpływał na wartość pochodnej w tych punktach.
Zaznaczmy teraz kąty nachylenia, odpowiednio
Co do kąta
KONIEC
Pisząc tego posta korzystałem z…
1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.
Kliknij, aby przypomnieć sobie, czym jest pochodna rozumiana jako prędkość (poprzedni Wykład) <–
Może ktoś mi pomóc? Wyznaczyłem styczną do krzywej. I co dalej? Jak stestować (9cenić) istotność wspł regresji? Jest test (Pearsona?), ale do tego potrzebne są odchylenia standardowe x i y prostej. Co robić. Marek
adres mstrysz@gmail.com
wreszcie znalazłem jakiś konkret, takie tłumaczenie to ja rozumiem
Grejt. W końcu coś kumam
własnie szukałem odp na to pyt, dzięki 🙂
świetnie wytłumaczone, w żadnej książce tak jasno nie jest to wytłumaczone…dzięki za pomoc 😉