Kalkulator do pochodnych (NIEAKTUALNY)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Ogłoszenie

Niestety, po ponad 12 latach od udostępnienia przeze mnie darmowego kalkulatora do pochodnych, musiałem go “wyłączyć”.

Kalkulator był prostym “widgetem” strony WolframAlpha. Jakiś czas temu Wolframalpha zmienił swoją politykę odnośnie widgetów. Między innymi: przestały one obliczać “na miejscu”, tylko przerzucają użytkownika na stronę WolframAlpha .

Przepraszam za kłopot wszystkich dotychczasowych użytkowników Kalkulatora Do Pochodnych. Przez długie lata bił on rekordy popularności jeśli chodzi o liczbę odwiedzających i zapytań.

Jednocześnie serdecznie zapraszam do naszej nowej aplikacji:

Aplikacja do nauki liczenia pochodnych – MathKiwi

Jest ona dostępna tylko za 11 zł / miesiąc, a zrezygnować można w dowolnej chwili.

Pozdrawiam i powodzenia

Krystian Karczyński

Bestsellery w tym miesiącu

Zobacz wszystkie Kursy

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Karolina pisze:

25 listopada 2022 o 13:59

Mam problem z pochodą funkcji f(x)= arcsin(sqrt(x-1)) we wzorze na pochodną jest x^2 a w kalkulatorze wynik wychodzi bez kwadratu 🙁 nie wiem co robię źle.

Odpowiedz
:) pisze:

24 stycznia 2022 o 11:56

Dzień dobry mam problem z policzeniem tych pochodnych :Niech y = f(x) = cos 2x, g(x) = e^((1/3)*x)a) oblicz g'(3)b) oblicz (f(x)g(x))’c) oblicz (f(x)/g(x))’

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  17 marca 2022 o 13:11
  
  a)
  
  $g’\left( x \right) = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}} \right)^\prime } = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}x} \right)^\prime } = \frac{1}{3}{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}$
  
  $g’\left( 3 \right) = \frac{1}{3}{e^{{{\frac{1}{3}}} \cdot 3}} = \frac{1}{3}e = \frac{e}{3}$
  
  b)
  
  $f\left( x \right)g\left( x \right) = \cos 2x \cdot {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}} = {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x$
  
  ${\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x} \right)^\prime } = {\left( {{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}} \right)^\prime }\cos 2x + {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}{\left( {\cos 2x} \right)^\prime } =$
  
  $= {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}{\left( {\frac{1}{3}x} \right)^\prime }\cos 2x + {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\left( { – \sin 2x} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } = \frac{1}{3}{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\cos 2x – 2{e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\sin 2x =$
  
  $= {e^{{\textstyle{1 \over 3}}x}}\left( {\frac{1}{3}\cos 2x – 2\sin 2x} \right)$
politechnika lodzka pisze:

9 stycznia 2022 o 20:06

spoko opcja czasami korzystamy Pozdro

Odpowiedz
Klaudia pisze:

26 grudnia 2020 o 16:41

Dzień dobry, jak wprowadzic pierwiastek w kalkulator aby obejmował całe wyrażenie a nie tylko daną część?

Odpowiedz
Antytalencię pisze:

24 marca 2019 o 14:55

Dzień dobry.Nwm jak policzyć pochodną f(x) =sin(2 do x).Wię piszę tutaj

Odpowiedz
Krystian Karczyński pisze:

29 października 2018 o 19:17

Witam, polecam moją darmową Lekcję do liczenia pochodnej z definicji 🙂

A co przykładu, poleci tak:

Wzór na pochodną w punkcie $x subscript 0$ z definicji to:

$f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator f open parentheses x subscript 0 plus increment x close parentheses minus f open parentheses x subscript 0 close parentheses over denominator increment x end fraction$

W naszym przypadku $f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator 5 x plus 6 end fraction$ .

Mamy więc:

$f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 open parentheses x subscript 0 plus increment x close parentheses plus 6 end fraction end style minus begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction end style over denominator increment x end fraction equals equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction minus fraction numerator 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals$

$equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 minus open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 minus 5 x subscript 0 minus 5 increment x minus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style fraction numerator negative 5 increment x over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator negative 5 increment x over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction fraction numerator begin display style 1 end style over denominator increment x end fraction equals equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses squared end fraction$

Sprawdzamy prawdziwość tego wyniku korzystając ze wzorów:

$f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 1 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 1 times open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 1 minus 1 end exponent open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses apostrophe equals equals negative 1 open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 2 end exponent times 5 equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses squared end fraction$

Czyli wszystko gra 🙂

Odpowiedz
Magda pisze:

19 października 2018 o 20:22

Witam,

mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

Oblicz z definicji pochodną f(x)= 1/(5x+6) w punkcie x0. Poprawność sprawdź z wzorów na pochodne.

Z góry dziękuję za pomoc.

Odpowiedz
Natalia pisze:

9 kwietnia 2018 o 20:05

Panie Krystianie, nie do końca wiem jak obliczyć pochodną z funkcji (2x^6-16x^3)/(x^3-2)^2. Mógłby Pan mi prosze pomóc? 🙂

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  16 maja 2018 o 11:59
  
  Pochodna z $fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction$ .
  
  Na początku mamy tutaj dzielenie dwóch funkcji, więc zaczynamy od zastosowania wzoru: $open parentheses f over g close parentheses apostrophe equals fraction numerator f apostrophe space times g space minus space f times g apostrophe over denominator g squared end fraction$
  
  $f equals 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed$ – tutaj spoko, licząc pochodną wykorzystujemy liniowość, czyli pochodna z każdego składnika oddzielnie oraz dwa proste wzory: $open square brackets a times f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe equals a times open square brackets f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe$ (stała przed pochodną po x-sie), a także wzór: $open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent$ .
  
  $g equals open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared$ – tutaj występuje takie coś jak złożenie funkcji. Masz jakieś wyrażenie podniesione do potęgi drugiej, czyli $open parentheses co ś close parentheses to the power of n$ . Przy liczeniu pochodnej wykorzystujesz wzór na $open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent$ , z tym, że trzeba pamiętać do DOMNOŻENIU jeszcze pochodnej tego czegoś więcej, tego wyrażenia “coś”, czyli: $open parentheses open parentheses co ś close parentheses to the power of n space close parentheses apostrophe equals space n times open parentheses co ś close parentheses to the power of n minus 1 end exponent times open parentheses c o ś close parentheses apostrophe$
  
  No tu wyjdzie ostatecznie:
  
  $open square brackets fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction close square brackets apostrophe equals fraction numerator open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses apostrophe times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe over denominator open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets squared end fraction equals$
  
  $equals fraction numerator open parentheses 2 times 6 times x to the power of 5 minus 16 times 3 times x squared close parentheses times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 1 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses apostrophe close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals$
  
  $equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 open parentheses x cubed minus 2 close parentheses times open parentheses 3 times x squared minus 0 close parentheses close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals$
  
  $equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared open parentheses x cubed minus 2 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals$
  
  $equals fraction numerator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses open square brackets open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals$
  
  $equals fraction numerator 12 x to the power of 8 minus 24 x to the power of 5 minus 48 x to the power of 5 plus 96 x squared minus space 12 x to the power of 8 plus 96 x to the power of 5 over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator 24 x to the power of 5 plus 96 x squared over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator bold 24 bold x to the power of bold 2 open parentheses bold x to the power of bold 3 bold plus bold 4 close parentheses over denominator open parentheses bold x to the power of bold 3 bold minus bold 2 close parentheses to the power of bold 3 end fraction$
damian pisze:

5 kwietnia 2018 o 19:51

x^2+e^x/x-lnx czy pomoze ktoś ?

Odpowiedz
Kamila pisze:

20 stycznia 2018 o 20:24

WitamMam problem z pochodna x^x jak to obliczyc?

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  16 maja 2018 o 12:10
  
  Myślę, że ten filmik będzie baaardzo pomocny i wszystko wyjaśniający (chociaż przykład jest lekko inny) 🙂
  
  W Pani przypadku wyjdzie ostatecznie:
  
  $open parentheses x to the power of x close parentheses apostrophe space equals open parentheses e to the power of ln x to the power of x end exponent close parentheses apostrophe equals space open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses apostrophe equals open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses x times ln x close parentheses apostrophe space equals$
  
  $equals open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses open parentheses x close parentheses apostrophe times ln x plus x times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close parentheses equals space open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses 1 times ln x plus x times 1 over x close parentheses equals$
  
  $equals bold space straight e to the power of straight x times lnx end exponent times open parentheses lnx plus 1 close parentheses space equals space straight e to the power of lnx to the power of x end exponent times open parentheses lnx plus 1 close parentheses space equals space bold italic x to the power of bold x bold times open parentheses bold l bold n bold x bold plus bold 1 close parentheses$
Ania pisze:

21 grudnia 2017 o 18:22

Cześć!Mam problem z pochodną 6x(x^2+1)^2 mógłbys wytłumaczyc krok po kroku?

Odpowiedz
Ewusia pisze:

17 listopada 2017 o 17:58

Witam serdecznie. Mam problem z pochodną f(x)= 3/((1-x^2)(1-2x^3)). Kalkulator pokazuje odpowiedź: 6x(-5x^3+3x+1)/(mianownik^2). A w moich obliczeniach wszystko się zgadza oprócz tego, że mam -6x. Ktoś wie co się stało z tym minusem? Proszę o odpowiedź

Odpowiedz
Anna pisze:

2 listopada 2017 o 11:14

Witam. Mam problem z policzeniem pochodnej f(x)=ln(x)log_2(x)

Odpowiedz
Agata pisze:

11 września 2017 o 11:42

Witam, nie rozumiem dlaczego pochodna z funkcji f(x)=e^2x+e^-x wychodzi e^2-e^-x a nie 2e^2x-e^-xBardzo proszę o odp

Odpowiedz
Robert pisze:

26 lipca 2017 o 15:23

Witammam policzyć pochodne i nie potrafię sobie z nimi poradzić: $\exp ln\\sqrt[3]{1 - x^3}$ $\exp ln\\sqrt[3]{ x}$ $\exp {ln\1/x^2}$ mogę prosić o pomoc

Odpowiedz
Lidia pisze:

21 czerwca 2017 o 08:44

dzień dobry,czy ktoś może wie w jaki sposób krok po kroku obliczyć pochodną poniższej funkcji? $y equals fraction numerator x cubed sin open parentheses fourth root of 3 x end root close parentheses over denominator cos open parentheses x close parentheses end fraction$ Będę wdzięczna za pomoc 🙂

Odpowiedz
Kasiek pisze:

8 kwietnia 2017 o 12:45

Dzień dobry,zasanowiła mnie jedna rzecz. Chcąc sprawdzić wynik pochodnej (-8cos(x)sin(x))’ znalałzam Pana kalkulator i inny. wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik. Mogę prosić o pomoc?To całe zadanie jaki muszę obliczyć: -8cos(x)sin(x)+(e^(x^(1/2))(1- (1/x^(1/2))) /(4x))”Podzieliłam” je na 2 zgodnie z właściwościami pochodnych – [f(x)+g(x)]’ = f'(x)+g'(x)

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  14 kwietnia 2017 o 10:32
  
  “wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik.”
  
  Pani Kasiu – oba wyniki są poprawne 🙂 Policzyła Pani wszystko prawidłowo.
  
  Kalkulator zamieszczony na Blogu po prostu dodatkowo dokonał jeszcze jedne przekształcenie, wykorzystując rozpisanie wzoru $cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis$ ze szkoły średniej (jak pamiętamy, tam były jego 3 wersje)
  
  $cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis equals cos squared x minus sin squared x space equals space 2 cos squared x minus 1 space equals space 1 minus 2 sin squared x$ – wykorzystana została wersja pierwsza.
  
  Rozpisując Pani wynik:
  
  $8 sin squared x space – space 8 cos squared x equals negative 8 times open parentheses negative sin squared x space plus cos squared x close parentheses equals negative 8 open parentheses bold italic c bold italic o bold italic s to the power of bold 2 bold italic x bold minus bold italic s bold italic i bold italic n to the power of bold 2 bold italic x close parentheses equals negative 8 bold italic c bold italic o bold italic s bold \left parenthesis bold 2 bold italic x bold \right parenthesis$
Bubi pisze:

14 lutego 2017 o 17:42

mam problem z pochodną funkcji : $left parenthesis 1 plus square root of x \right parenthesis to the power of ln square root of x end exponent$

Odpowiedz
kati pisze:

9 lutego 2017 o 21:36

$square root of 1 minus 3 x hat 2 end root equals$ … ; $2 to the power of 3 x plus 4 end exponent ln x equals$ … proszę o pomoc

Odpowiedz
1. kati pisze:
  
  9 lutego 2017 o 21:37
  
  oczywiście polecenie policz pochodne
2. Ryhor Abramovich pisze:
  
  17 lutego 2017 o 15:23
  
  1. $y equals square root of 1 minus 3 x squared end root$
  
  Stosuję wzór $open parentheses square root of triangle close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of triangle end fraction times triangle apostrophe$
  
  $y apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction times open parentheses 1 minus 3 x squared close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction times open parentheses 0 minus 3 times 2 x close parentheses equals$
  
  $fraction numerator negative 6 x over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction equals negative fraction numerator 3 x over denominator square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction$
  
  2. $y equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln x$
  
  Stosuję wzory: $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe$ oraz $open parentheses 2 to the power of triangle close parentheses apostrophe equals 2 to the power of triangle times ln 2 times triangle apostrophe$
  
  $y apostrophe equals open parentheses 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln 2 times open parentheses 3 x plus 4 close parentheses apostrophe times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times 1 over x equals$
  
  $2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln 2 times open parentheses 3 plus 0 close parentheses times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times 1 over x equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times open parentheses 3 ln 2 times ln x plus 1 over x close parentheses$
kati pisze:

9 lutego 2017 o 21:01

$space p r o s z ę space o space r a t u n e k space m a m space d o space p o l i c z e n i a space d w i e space p o c h o d n e space square root of 1 minus 3 x hat 2 end root space space$ $2 to the power of 3 x plus 4 end exponent ln x$

Odpowiedz
Kamil pisze:

9 lutego 2017 o 13:00

$3 ln hat 5 \left parenthesis 3 over x to the power of 4 minus x \right parenthesis$ Witam mam problem z obliczeniem tej pochodnej mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić ?

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  17 lutego 2017 o 15:13
  
  $y equals 3 ln to the power of 5 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses$
  
  Stosuję wzory $open parentheses C times f open parentheses x close parentheses close parentheses apostrophe equals C times f apostrophe open parentheses x close parentheses$ oraz $open parentheses triangle to the power of 5 close parentheses apostrophe equals 5 times triangle to the power of 4 times triangle apostrophe$
  
  $y apostrophe equals 3 times open square brackets ln to the power of 5 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses close square brackets apostrophe equals 3 times 5 times ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses apostrophe equals$
  
  $15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 times x to the power of negative 4 end exponent minus x close parentheses apostrophe equals 15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 times open parentheses negative 4 close parentheses times x to the power of negative 5 end exponent minus 1 close parentheses equals$
  
  $15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses negative 12 over x to the power of 5 minus 1 close parentheses equals negative 15 times open parentheses 12 over x to the power of 5 plus 1 close parentheses times ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses$
Mati pisze:

7 lutego 2017 o 23:05

w kalkulatorze wychodzą bzdury gdy liczy się pochodną pierwiastków:np po wpisaniu (x^2)^-2 czyli $square root of cross times squared end root$ (pochodna to oczywiście 1) wychodzi

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  8 lutego 2017 o 12:39
  
  Tutaj akurat kalkulator dobrze policzył pochodną 🙂
  
  Wpisana formuła “(x^2)^-2” (potęga (-2) ) nie oznacza pierwiastka, tylko inna potęgę, a mianowicie:
  $open parentheses x squared close parentheses to the power of negative 2 end exponent equals open parentheses 1 over x squared close parentheses squared equals 1 over x to the power of 4 equals x to the power of negative 4 end exponent$ – minus w potędze odwraca podstawę 🙂
  
  Aby wprowadzić pierwiastek, trzeba wziąć potęgę ułamkową, czyli powinien Pan wpisać “”(x^2)^(1/2)”
  
  Wtedy pochodna:
  
  $open parentheses square root of x squared end root close parentheses apostrophe equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared end root end fraction close parentheses times open parentheses x squared close parentheses apostrophe equals fraction numerator 2 x over denominator 2 square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 1 space space space space space space d l a space x greater or equal than 0 end cell row cell negative 1 space space space d l a space x less than 0 end cell end table close$
Paulina pisze:

29 stycznia 2017 o 13:54

Witam Panie Krzysztofie,czy mógłby mi Pan pomóc z obliczeniem pochodnej: $f \left parenthesis x \right parenthesis equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root$

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  17 lutego 2017 o 21:36
  
  $y equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root$
  
  Stosuję wzory dla pochodnej ułamku:
  
  $open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe times v minus u times v apostrophe over denominator v squared end fraction$ oraz pochodnej funkcji złożonej:
  
  $open square brackets f open parentheses g open parentheses x close parentheses close parentheses close square brackets apostrophe equals f apostrophe open parentheses g close parentheses times g apostrophe open parentheses x close parentheses$
  
  $y equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root equals open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of 1 fifth end exponent$ . Wtedy
  
  $y apostrophe equals 1 fifth times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of 1 fifth minus 1 end exponent times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses apostrophe equals 1 fifth times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of negative 4 over 5 end exponent times$
  
  $times fraction numerator open parentheses cos squared x close parentheses apostrophe times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals 1 fifth times fraction numerator 1 over denominator fifth root of open parentheses \begin display style fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end style close parentheses to the power of 4 end root end fraction times$
  
  $times fraction numerator 2 cos x times open parentheses cos x close parentheses apostrophe times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals$
  
  $1 fifth times fifth root of open parentheses fraction numerator x cubed minus 3 x over denominator cos squared x end fraction close parentheses to the power of 4 end root times fraction numerator 2 cos x times open parentheses negative sin x close parentheses times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals$
  
  $1 fifth times fraction numerator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 4 end root over denominator fifth root of open parentheses cos squared x close parentheses to the power of 4 end root end fraction times fraction numerator negative cos x times open square brackets 2 sin x times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses plus cos x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses close square brackets over denominator fifth root of open parentheses open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared close parentheses to the power of 5 end root end fraction equals$
  
  $equals negative 1 fifth times fraction numerator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 4 end root over denominator fifth root of cos to the power of 8 x end root end fraction times fraction numerator fifth root of cos to the power of 5 x end root times open square brackets 2 times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses times sin x plus open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses times cos x close square brackets over denominator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 10 end root end fraction equals$
  
  $equals negative 1 fifth times fraction numerator 2 times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses times sin x plus open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses times cos x over denominator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 6 times cos cubed x end root end fraction$
Mike pisze:

22 stycznia 2017 o 17:14

Dzień dobry, chciałem zwrócić uwagę na błąd, gdy w pochodnej funkcji sqrt(3^3 -2) wynikiem jest ((3^x)log(3))/(2(sqrt(3x-2))), gdzie w miejscu log powinno być ln.Pozdrawiam

Odpowiedz
Justyna pisze:

11 stycznia 2017 o 16:57

Witam, w ostatniej lekcji z kursu pochodnych robił Pan przykład x/lnx, Moje pytanie brzmi skąd w wykresie 2 pochodnej wziął się punkt 1. wklejam juz policzoną 2 pochodną

Odpowiedz
Mateusz pisze:

31 grudnia 2016 o 11:31

Dzień dobry Panie Krystianie!Czy mógłby mi Pan pomóc w obliczeniu pochodnej z: $left parenthesis sin x plus cos x \right parenthesis to the power of 5$ * $fifth root of vertical line a r c sin x plus a r c cos x vertical line end root$ ?

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 02:33
  
  $y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r s c i n x plus a r c cos x close vertical bar end root$
  
  Wiadomo, że pochodna liczby stałej wynosi zero:
  
  $C apostrophe equals 0$ , o ile $C equals c o n s t space open parentheses s t a ł a close parentheses$
  
  Obliczymy:
  
  $open parentheses a r c sin x plus a r c cos x close parentheses apostrophe equals open parentheses a r c sin x close parentheses apostrophe plus open parentheses a r c cos x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction plus open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction close parentheses equals 0$
  
  Stąd mamy, że $a r c sin x plus a r c cos x equals C$
  
  Liczba stała nie zależy od x. Obliczymy ją:
  
  $a r c sin x plus a r c cos x equals C equals a r c sin 0 plus a r c cos 0 equals 0 plus \pi over 2 equals \pi over 2$
  
  Wtedy funkcja
  
  $y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r c sin x plus a r c cos x close vertical bar end root equals fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5$ ,
  
  i jej pochodna
  
  (wg wzoru dla funkcji złożonej: $open parentheses triangle to the power of 5 close parentheses apostrophe equals 5 triangle to the power of 4 times open parentheses triangle close parentheses apostrophe$ )
  
  wynosi:
  
  $y apostrophe equals fifth root of \pi over 2 end root times 5 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses apostrophe equals$
  
  $fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses cos x minus sin x close parentheses$
Kasia pisze:

21 grudnia 2016 o 23:18

Witam, potrzebuję obliczyć pierwszą pochodną funkcji. Jak to zrobić?i(x) = 3e^2x *lnx

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  17 lutego 2017 o 21:44
  
  $y equals 3 e to the power of 2 x end exponent times ln x$
  
  Stosuję wzory: $open parentheses C times y close parentheses apostrophe equals C times y apostrophe$ (gdzie C – stała) oraz $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe$ , a także
  
  $open parentheses e to the power of triangle close parentheses apostrophe equals e to the power of triangle times triangle apostrophe$
  
  $y apostrophe equals 3 times open square brackets open parentheses e to the power of 2 x end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close square brackets equals 3 times open square brackets e to the power of 2 x end exponent times open parentheses 2 x close parentheses apostrophe times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times 1 over x close square brackets equals$
  
  $3 times open parentheses e to the power of 2 x end exponent times 2 times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times 1 over x close parentheses equals 3 times e to the power of 2 x end exponent times open parentheses 2 ln x plus 1 over x close parentheses$
Leszek pisze:

17 grudnia 2016 o 21:44

Witam,nie wiem czy kalkulator dobrze liczy ale wychodzi że (ln(x))’ = 1/x i to jest dobrze ale wpisując ln(2x) podaje wynik też 1/x czy to jest aby dobrze? Czy nie powinno być 2/x ?Proszę o szybką odpowiedź.

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  7 lutego 2017 o 17:18
  
  Tutaj wynik jest poprawny, pochodna $open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over x$
  Bierze się to z tego, że jest to złożenie dwóch funkcji – nie ma Pan samego “x” w logarytmie tylko coś więcej. Przy liczeniu takich pochodnych, najpierw robimy pochodną tej funkcji “zewnętrznej” i domnażamy do niej pochodną funkcji w środku, tej “wewnętrznej”.
  
  Ogólnie na wzorach to idzie tak: $left parenthesis f \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis apostrophe space equals space f apostrophe \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis space times space g apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis$
  
  Przy naszych danych to pójdzie tak: $open parentheses ln \left parenthesis increment \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over increment times increment apostrophe$ , gdzie za ten $increment$ biorę funkcję wewnętrzną.
  
  Stąd ostatecznie: $open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times open parentheses 2 x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times 2 times 1 equals fraction numerator 2 over denominator 2 x end fraction equals 1 over x$
Michał pisze:

14 grudnia 2016 o 23:58

Witam mógłby mi ktoś pomóc obliczyć pochodną funkcji y= $cube root of x to the power of 5 end root ln x$

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  17 lutego 2017 o 21:52
  
  $y equals cube root of x to the power of 5 end root times ln x equals x to the power of 5 over 3 end exponent times ln x$
  
  Stosuję wzór: $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe$
  
  $y apostrophe equals open parentheses x to the power of 5 over 3 end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus x to the power of 5 over 3 end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals 5 over 3 times x to the power of 5 over 3 minus 1 end exponent times ln x plus x to the power of 5 over 3 end exponent times 1 over x equals$
  
  $5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of \begin display style 5 over 3 end style end exponent over x equals 5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of 5 over 3 minus 1 end exponent equals 5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of 2 over 3 end exponent equals$
  
  $x to the power of 2 over 3 end exponent times open parentheses 5 over 3 ln x plus 1 close parentheses equals cube root of x squared end root times open parentheses 5 over 3 ln x plus 1 close parentheses$
marco pisze:

10 grudnia 2016 o 21:43

jak obliczyć pochodna funkcjiy= 4x^1/3 * (5 + 2*4^3^x)/x^2 + 1

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 02:15
  
  $y equals fraction numerator 4 cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator x squared plus 1 end fraction equals 4 times fraction numerator cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator x squared plus 1 end fraction$
  
  Stosuję wzory:
  
  $open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe v minus u v apostrophe over denominator v squared end fraction$ oraz (pochodna funkcji złożonej) $open parentheses 4 to the power of triangle close parentheses apostrophe equals 4 to the power of triangle times ln 4 times open parentheses triangle close parentheses apostrophe$ , a także
  
  $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$
  
  $y apostrophe equals 4 times fraction numerator open square brackets cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses close square brackets apostrophe times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times open parentheses x squared plus 1 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 times fraction numerator open square brackets open parentheses cube root of x close parentheses apostrophe times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses apostrophe close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times open parentheses 2 x plus 0 close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 times fraction numerator open square brackets open parentheses x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent close parentheses apostrophe times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus cube root of x times open parentheses 0 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times open parentheses 3 to the power of x close parentheses apostrophe close parentheses close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 times fraction numerator open square brackets \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent times 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times 3 to the power of x times ln 3 close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 times fraction numerator \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open square brackets 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 3 x times 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times 3 x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 times 1 third x to the power of negative 2 over 3 end exponent times fraction numerator open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 close parentheses times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus 6 x squared times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 over 3 x to the power of negative 2 over 3 end exponent times fraction numerator 5 x squared plus 5 plus 2 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x cubed times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 minus 30 x squared minus 12 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals$
  
  $4 over 3 times fraction numerator negative 25 x squared plus 5 minus 10 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x cubed times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times ln 3 over denominator x to the power of \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction$
Klaudia pisze:

2 grudnia 2016 o 22:30

Witam, jak obliczyć pochodną funkcji f(x)= e^(2x+1)/(x-2)

Odpowiedz
Sylwia pisze:

18 listopada 2016 o 18:51

Witam, czy mógłby mi Pan wytłumaczyć jak rozwiązać taką pochodną:f(x)=xsinxlnx ?z góry dziękuje i pozdrawiam 🙂

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 01:29
  
  $f open parentheses x close parentheses equals x times sin x times ln x$
  
  Znany jest wzór dla pochodnej iloczynu:
  
  $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$
  
  Spróbujemy otrzymać wzór dla iloczynu trzech czynników:
  
  $open parentheses u times v times w close parentheses apostrophe equals open square brackets u times open parentheses v times w close parentheses close square brackets apostrophe equals u apostrophe times open parentheses v times w close parentheses plus u times open parentheses v times w close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v times w plus u times open parentheses v apostrophe times w plus v times w apostrophe close parentheses equals$
  
  $u apostrophe times v times w plus u times v apostrophe times w plus u times v times w apostrophe$
  
  Wtedy:
  
  $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses x times sin x times ln x close parentheses apostrophe equals x apostrophe times sin x times ln x plus x times open parentheses sin x close parentheses apostrophe times ln x plus x times sin x times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals$
  
  $1 times sin x times ln x plus x times cos x times ln x plus x times sin x times 1 over x equals sin x times ln x plus x times cos x times ln x plus sin x$
radek pisze:

14 listopada 2016 o 23:10

(2x-1)^4=8(2x-1)^3 dlaczego tak????

Odpowiedz
Jack pisze:

13 listopada 2016 o 19:53

Jak to obliczyć ? f(x)= $open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction minus 1 close parentheses x squared$

Odpowiedz
1. Anna Zalewska pisze:
  
  16 listopada 2016 o 22:38
Iza pisze:

13 listopada 2016 o 13:21

f(x)=x^2*(x-2)^2Wytłumaczysz mi jak to policzyłeś, trochę inaczej mam rozpisane z zajęć i się pogubiłam…? Z góry dziękuję 🙂

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 01:20
  
  $f open parentheses x close parentheses equals x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared$
  
  Stosuję wzór:
  
  $open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe$ oraz (pochodna funkcji złożonej) $open parentheses triangle squared close parentheses apostrophe equals 2 triangle times open parentheses triangle close parentheses apostrophe$
  
  $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open square brackets x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe times open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus x squared times open square brackets open parentheses x minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe equals 2 x times open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus$
  
  $plus x squared times 2 times open parentheses x minus 2 close parentheses times open parentheses x minus 2 close parentheses apostrophe equals 2 x times open parentheses x squared minus 4 x plus 4 close parentheses plus 2 x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses times open parentheses 1 minus 0 close parentheses equals$
  
  $2 x cubed minus 8 x squared plus 8 x plus 2 x cubed minus 4 x squared equals 4 x cubed minus 12 x squared plus 8 x$
  
  Można było inaczej:
  
  $f open parentheses x close parentheses equals x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared equals open square brackets x times open parentheses x minus 2 close parentheses close square brackets squared equals open parentheses x squared minus 2 x close parentheses squared equals x to the power of 4 minus 4 x cubed plus 4 x squared$
  
  Wtedy:
  
  $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses x to the power of 4 minus 4 x cubed plus 4 x squared close parentheses apostrophe equals 4 x cubed minus 4 times 3 x squared plus 4 times 2 x equals 4 x cubed minus 12 x squared plus 8 x$
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 23:08

f(x)=ln $fifth root of e$

Odpowiedz
1. michalaczek pisze:
  
  30 października 2016 o 23:10
  
  czy moge zapisac w postaci $log subscript e e to the power of 5 equals 5$ ???
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 23:06

1) f(x)= $e to the power of negative x end exponent$ 2) f(x)= $ln to the power of 8 x$ 3) f(x)=ln( $5 x to the power of 4 minus x plus 9$ )

Odpowiedz
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 22:59

odp do f(x)= $square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root$ to $fraction numerator 14 x cubed over denominator square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction$ ???

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 01:04
  
  $f open parentheses x close parentheses equals square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root$
  
  Stosuję wzór na pochodne funkcji złożonej:
  
  $open parentheses square root of triangle close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of triangle end fraction times open parentheses triangle close parentheses apostrophe$
  
  $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction times open parentheses 4 x to the power of 7 plus 1 close parentheses apostrophe equals fraction numerator 4 times 7 x to the power of 6 plus 0 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction equals fraction numerator 28 x to the power of 6 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction equals fraction numerator 14 x to the power of 6 over denominator square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction$
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 22:55

f(x)= $e to the power of 8 x end exponent$ ???

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  14 lutego 2017 o 11:23
  
  Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złożonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu $e to the power of x$ tylko $e to the power of c o ś end exponent$ .
  Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby $open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe$ .
  
  Stąd: $open parentheses e to the power of 8 x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times open parentheses 8 x close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times 8 times 1 equals 8 e to the power of 8 x end exponent$
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 22:43

$square root of blank end root$ da wpisać się do kalkulatora?

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  31 października 2016 o 20:04
  
  Tak, “pierwiastek” można wpisać na dwa sposoby
  
  1) wpisując: \sqrt(…) , np \sqrt(2x) oznacza $square root of 2 x end root$
  
  2) wpisując potęgę ułamkową , tzn. (…)^(1/2) , np (x)^(1/2) oznacza $square root of x$
michalaczek pisze:

30 października 2016 o 22:41

jak rozwiazac:1) f(x)= $bevelled fraction numerator a r c space cos space x over denominator x end fraction$ 2) f(x)= $bevelled fraction numerator a r c space sin space x over denominator x end fraction$ z góry bardzo dziękuje!

Odpowiedz
1. Ryhor Abramovich pisze:
  
  19 stycznia 2017 o 00:59
  
  1. $f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator a r c cos x over denominator x end fraction$
  
  Skorzystam ze wzoru:
  
  $open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe v minus u v apostrophe over denominator v squared end fraction$
  
  $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses fraction numerator a r c cos x over denominator x end fraction close parentheses apostrophe equals fraction numerator open parentheses a r c cos x close parentheses apostrophe times x minus a r c cos x times open parentheses x close parentheses apostrophe over denominator x squared end fraction equals$
  
  $fraction numerator negative \begin display style fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction end style times x minus a r c cos x times 1 over denominator x squared end fraction equals negative fraction numerator \begin display style fraction numerator x over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction end style plus a r c cos x over denominator x squared end fraction equals$
  
  $negative fraction numerator x plus square root of 1 minus x squared end root times a r c cos x over denominator x squared times square root of 1 minus x squared end root end fraction$
Karolina pisze:

14 września 2016 o 00:46

czy mógłby ktoś mi pomóc z rozwiązaniem pochodnej: (x^2)/(2-x) ?
Kalkulator wylicza to jako: [-(x-4)x]/[(x-2)^2]
Ja wyliczam już czwarty raz i za każdym wychodzi mi taki sam wynik [(4-x)x]/[(2-x)^2], niestety inny niż kalkulatora 🙁
proszę o pomoc!

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  14 września 2016 o 10:45
  
  Oba wyniki są poprawne i oba są identyczne 🙂
  
  Po prostu ten z kalkulatora wyliczony “wyciągnął” jeszcze minusy z każdego z wyrażeń.
  
  Przekształcę więc je tak, że na górze wciągnę go z powrotem, a na dole jakby go wyciągnę jeszcze raz (bo podniesiony do kwadratu się zredukował). Proszę popatrzeć:
  
  $\displaystyle \frac{{-(x-4)x}}{{{{{(x-2)}}^{2}}}}=\frac{{(-x+4)x}}{{{{{\left[ {-(-x+2)} \right]}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(-1)}}^{2}}{{{(2-x)}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(2-x)}}^{2}}}}$
  
  No i wyszedł Pani wynik 🙂
2. Karolina pisze:
  
  14 września 2016 o 13:59
  
  jeju, rzeczywiście, ale głupi błąd! 😛
  Bardzo dziękuje, juz rozumiem 😉
Julia pisze:

20 czerwca 2016 o 16:22

Witam, nie rozumiem dlaczego pochodna ln2x^2 to y'(x) = (2 log(2 x))/x

Odpowiedz
Matematyk pisze:

31 maja 2016 o 12:16

Bardzo pomocny kalkulator pochodnych funkcji, przydatny szczególnie do sprawdzania wyników.

Odpowiedz
Paulina pisze:

18 maja 2016 o 11:20

Witam 🙂 Dlaczego pochodna z e^(2^x)=2^x*e^(2^x)*log2?

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  14 lutego 2017 o 11:21
  
  Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złozonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu $e to the power of x$ tylko $e to the power of c o ś end exponent$ .
  Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby $open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe$
  
  Stąd: $open parentheses e to the power of 2 to the power of x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times open parentheses 2 to the power of x close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times 2 to the power of x times ln 2$ , gdyż wprost z wzorku $open parentheses a to the power of x close parentheses apostrophe equals a to the power of x times ln a$ .
studentekonomi pisze:

13 marca 2016 o 20:47

Witam. Mam problem z zadaniem: f(x1,x2)=1/2ln(5×1^2-2×2). Jak mogę narysować krzywe w punktach 0, 1 i 2? Wytyczenie pochodnej i całki również by się przydało…

Odpowiedz
Iulia pisze:

13 lutego 2016 o 15:13

Dzień dobry, bardzo prosiłabym o pomóc z przykładem [((arctgX^2)^3)/((e^3)*x+3^x)]^(arctg(x^4-ln(2x^8+1) Czyli iloraz w tym kwadratowym nawiasie podnosimy do potęgi i z tego wszystkiego policzyć pochodną…wychodzą mi kosmiczne rozwiazania…Z góry dziękuję.

Odpowiedz
Kasia pisze:

4 lutego 2016 o 12:07

Panie Krystianie,
może jest mi Pan w stanie wytłumaczyć dlaczego pochodna z -arctg|x| ma pochodną -x/(|x^3|+|x|), a nie po prostu -1/(1+x^2)?

Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc 🙂

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  10 lutego 2016 o 09:57
  
  Pani Kasiu, gdyby do policzenia byłaby pochodna po prostu z $\displaystyle -arctgx$ to byłaby równa rzeczywiście $\displaystyle -\frac{1}{{1+{{x}^{2}}}}$
  
  Jednak tutaj do policzenia jest pochodna $\displaystyle -arctg\left| x \right|$ , czyli argumentem nie jest sam “x” tylko coś więcej – moduł z “x”.
  
  Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co “na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam “x”), czyli jakby $\displaystyle \left( {-arctg\Delta } \right)’\cdot \Delta ‘$
  
  Pytanie, ile wynosi pochodna modułu z x ?
  
  Rozpisując moduł, wiem, że:
  $open vertical bar x close vertical bar equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x comma space space space space space space space space x greater or equal than 0 end cell row cell negative x comma space space space space space x less than 0 end cell end table close$
  
  Czyli odpowiednio pochodna byłby równa 1 lub -1.. Jednak potrzebuję pochodnej w ogólnym przypadku (nie na przedziałach).
  
  Dlatego uznaje się, że pochodna modułu to (warto zapamiętać ten wzór):
  
  $\displaystyle \left( {\left| x \right|} \right)’=\frac{x}{{\left| x \right|}}$
  
  Można sobie rozpisać na odpowiednich przedziałach i faktycznie wyjdzie 1 lub -1 😉
  
  Mając wszystko, liczę:
  
  $\displaystyle \left( {-arctg\left| x \right|} \right)’=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \left( {\left| x \right|} \right)’=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \frac{x}{{\left| x \right|}}=-\frac{x}{{\left| x \right|+{{{\left| x \right|}}^{3}}}}$
Kamil pisze:

4 lutego 2016 o 10:15

Mam wielką prośbę. Nie moge poradzić sobie z monotonicznością tej funkcji x^3/(x^2+-x-2) będę ogromnie wdzięczny za odpowiedz. Pozdrawiam 🙂

Odpowiedz
1. Kamil pisze:
  
  4 lutego 2016 o 10:17
  
  x^3/(x^2-x-2) wyzej jest mały bląd
2. Anna Zalewska pisze:
  
  1 listopada 2016 o 01:14
  
  Dana jest funkcja $f \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator x cubed over denominator x squared minus x minus 2 end fraction$ .
  
  Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.
  
  $x squared minus x minus 2 not equal to 0$
  $capital delta equals \left parenthesis negative 1 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 2 \right parenthesis equals 9$
  $x subscript 1 equals fraction numerator 1 minus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 minus 3 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator 2 end fraction equals negative 1$
  $space x subscript 2 equals fraction numerator 1 plus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 plus 3 over denominator 2 end fraction equals 4 over 2 equals 2$
  
  Zatem $D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket$ .
  
  Przechodzimy do wyznaczania monotoniczności funkcji $f$ . W tym celu obliczymy jej pochodną i sprawdzimy, kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.
  
  $f apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator open parentheses x cubed close parentheses apostrophe times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals$
  $equals fraction numerator 3 x squared times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses 2 x minus 1 close parentheses over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals fraction numerator 3 x to the power of 4 minus 3 x cubed minus 6 x squared minus 2 x to the power of 4 plus x cubed over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals$
  $equals fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction$
  
  Zbadamy teraz, kiedy pochodna przyjmuje wartości większe lub równe $0$ , a kiedy mniejsze lub równe $0$ .
  
  $fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction greater or equal than 0$
  
  $x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared greater or equal than 0$
  
  $x squared open parentheses x squared minus 2 x minus 6 close parentheses greater or equal than 0$
  
  $capital delta subscript 1 equals \left parenthesis negative 2 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 6 \right parenthesis equals 28$
  $x subscript 1 equals fraction numerator 2 minus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 minus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 minus square root of 7$
  $x subscript 2 equals fraction numerator 2 plus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 plus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 plus square root of 7$
  
  Pochodna przyjmuje wartości większe lub równe $0$ dla $x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater than$ oraz dla $x element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis$ .
  Pochodna przyjmuje wartości mniejsze lub równe $0$ dla $x element of less than 1 minus square root of 7 comma 1 plus square root of 7 greater than$ .
  
  Należy pamiętać o założeniach dziedziny: $D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket$ .
  
  Zatem podana funkcja jest rosnąca w przedziałach $x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater than$ , $x element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis$ oraz malejąca w przedziałach $x element of less than 1 minus square root of 7 comma negative 1 \right parenthesis$ , $x element of open parentheses negative 1 comma 2 close parentheses$ , $x element of \left parenthesis 2 comma space 1 plus square root of 7 greater than$ .
Klaudia pisze:

1 lutego 2016 o 17:30

Witam! Mam taką funkcję :
f(x) = (2x-x^2)^(2/3). Jak obliczyć pochodną takiej funkcji?

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  2 lutego 2016 o 16:37
  
  By obliczyć pochodną z funkcji $\displaystyle {{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}}}}$ stosuję wzór
  
  $\displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)’=n\cdot {{x}^{{n-1}}}$ , gdzie jak zauważam, mam coś więcej niż sam “x”, mam dodatkową funkcję (zwaną funkcją wewnętrzną). W taki przypadku obliczoną pochodną przemnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej, czyli mam jakby:
  
  $\displaystyle \left( {{{\Delta }^{n}}} \right)’=n\cdot {{\Delta }^{{n-1}}}\cdot \Delta ‘$
  
  Mam więc:
  \displaystyle \left( {{{{(2x-{{x}^{2}})}}^{{\frac{2}{3}}}}} \right)’=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}-1}}}\cdot (2x-{{x}^{2}})’=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{-\frac{1}{3}}}}\cdot (2-2x)=\frac{{2\cdot (2-2x)}}{{3\sqrt[3]{{2x-{{x}^{2}}}}}}[/latex]
Karim pisze:

30 stycznia 2016 o 11:40

Witam wszystkich. I proszę o pomoc.
Mam problem z taką pochodną
f(x)=[1-sin(2x)]/[2x^4+7x^2-3] Zatrzymuje się w pewnym momencie i nie wiem co dalej. Kalkulator do pochodnych stworzonego przez Pana Krystiana błędnie odczytuje ostatnia część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga. Proszę o pomoc

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  1 lutego 2016 o 13:49
  
  To nie chodzi Panu o pochodną funkcji $\displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+7{{x}^{2}}-3}}$ ?
  
  A może $\displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+{{7}^{{{{x}^{2}}-3}}}}}$ , czy jeszcze inaczej? Proszę może gdzieś nawias () wstawić dodatkowo, to co ma być ujęte w potędze, bo nie do końca rozumiem o co chodzi z
  “część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga”.
  
  Pozdrawiam
aga pisze:

28 stycznia 2016 o 22:53

Witam, mam problem z pochodną: e^(3x+2)*((x^6)+4). Nie mam pojęcia jak to rozwiązać, bardzo proszę o pomoc…

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  3 lutego 2016 o 10:32
  
  Wykorzystuję tutaj wzór na iloczyn dwóch funkcji
  
  $\displaystyle \left( {f\cdot g} \right)’=f’\cdot g+f\cdot g’$
  
  Muszę również pamiętać o tym, że licząc pochodną funkcji złożonej, muszę domnożyć jeszcze razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego “coś więcej niż sam x” . to znaczy
  
  $\displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)’={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta ‘$
  
  No to rozwiązując przykład:
  $\displaystyle \begin{matrix}\left( {{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)} \right)’=\left( {{{e}^{{3x+2}}}} \right)’\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)’= \\ {{e}^{{3x+2}}}\cdot (3x+2)’\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot (6{{x}^{5}}+0)={{e}^{{3x+2}}}\cdot 3\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot 6{{x}^{5}}= \\ 3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+4+2{{x}^{5}}} \right)=3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+2{{x}^{5}}+4} \right)\end{matrix}$
Andzia pisze:

28 stycznia 2016 o 22:50

Pochodna z: cos^2\pierwiastek z x +sin^2\pierwiastek z x.

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  3 lutego 2016 o 11:25
  
  Czyli chodzi o pochodną funkcji $\displaystyle {{cos }^{2}}\sqrt{x}+{{sin }^{2}}\sqrt{x}$ ?
  
  No to liczę:
  $\displaystyle \begin{matrix}\left( {{{{cos }}^{2}}\sqrt{x}+{{{sin }}^{2}}\sqrt{x}} \right)’=2cos \sqrt{x}\cdot \left( {cos \sqrt{x}} \right)’+2sin \sqrt{x}\cdot \left( {sin \sqrt{x}} \right)’= \\ 2cos \sqrt{x}\cdot (-sin \sqrt{x})\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)’+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)’= \\-2sin \sqrt{x}cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}=0\end{matrix}$
Misia pisze:

28 stycznia 2016 o 17:59

Dzień dobry panie Krystianie, czy mogłabym liczyć na pomoc w policzeniu pochodnej e^-x^2
Z góry dziękuję i pozdrawiam

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  19 lutego 2016 o 12:59
  
  Pochodna funkcji $\displaystyle y={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}$
  
  Jest to funkcja złożona, licząc jej pochodną, liczę pochodną funkcji “zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . to znaczy
  
  $\displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)’={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta ‘$
  
  Mam:
  
  $\displaystyle \left( {{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}} \right)’={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-{{x}^{2}}} \right)’={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-2x} \right)=-2x{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}$
ela pisze:

19 stycznia 2016 o 19:55

Witam a jak to rozwiązać ? :/ (x+1)(x+4)

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  1 lutego 2016 o 13:14
  
  f(x)=(x+1)(x+4)
  
  Pochodną tego można policzyć tak na prawdę na dwa sposoby:
  
  I SPOSÓB – z pochodnej iloczynu $\displaystyle \left( {f\cdot g} \right)’=f’\cdot g+f\cdot g’$
  
  $\displaystyle \begin{matrix}\left( {\text{(x+1)(x+4)}} \right)\text{ }!!’!!\text{ =(x+1) }!!’!!\text{ }\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(x+4) }!!’!!\text{ =(1+0)}\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(1+0)=}\text{x+4+x+1=2x+5}\end{matrix}$
  
  II SPOSÓB – przemnożyć przez siebie te dwa nawiasy (bez problemu mogę, gdyż w jednym jak i w drugim jest wielomian) i potem policzyć pochodną otrzymanego wielomianu korzystając z wzoru $\displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)’=n\cdot {{x}^{{n-1}}}$
  
  $\displaystyle \text{(x+1)(x+4)}={{x}^{2}}+4x+x+4={{x}^{2}}+5x+4$
  
  $\displaystyle \left( {{{x}^{2}}+5x+4} \right)’=\left( {{{x}^{2}}} \right)’+\left( {5x} \right)’+\left( 4 \right)’=2x+5\cdot 1+0=2x+5$
Lidka pisze:

17 stycznia 2016 o 03:45

Witam Panie Krystianie. Czy w wyznaczaniu pochodnych takie cos jak: e^pi , traktujemy jako liczbę czyli wynik to zero czy w inny sposób?

Dziękuje za odpowiedz
Pozdrawiam

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  18 stycznia 2016 o 08:51
  
  Tak dokładnie, traktujemy to wyrażenie jako liczbę (nie ma Pani tutaj żadnej zmiennej „x”, tylko same stałe), więc pochodna tego to zero 🙂
Mariusz Wysocki pisze:

11 stycznia 2016 o 20:02

Czy ktoś by mógł mi pomóc w rozwiązaniu tych pochodnych?

y=e^(1/cosx)
y=a/2(e^(x/a)+e^(-(x/a)))
y=arcsin(e^4x )
y=e^√(7x^2 )
y=log_7cos√(1+x)

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  22 lutego 2016 o 15:39
  
  Przykład pierwszy: $\displaystyle y={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}$
  
  Jest to funkcja złożona, liczę pochodną funkcji „zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . To znaczy
  
  $\displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)’={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta ‘$
  
  Mam:
  $\displaystyle \left( {{{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}} \right)’={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}\cdot \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)’$
  
  Pochodną $\displaystyle \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)’$ można policzyć np z wzoru na iloraz dwóch funkcji
  $\displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)’=\frac{{f’\cdot g-f\cdot g’}}{{{{g}^{2}}}}$
  
  ${e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{1′ \cdot \cos x – 1 \cdot {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = {e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{ – \left( { – \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$
2. Joanna Grochowska pisze:
  
  3 marca 2016 o 15:29
  
  Przykład drugi: $\displaystyle y=\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})$
  
  Jak rozumiem, liczbę “a” traktuję jako pewną stałą?
  
  No to liczę pochodną, stosując wzór: $\displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)’={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta ‘$
  
  $\displaystyle y’=\left( {\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})} \right)’=\frac{a}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)’=\frac{a}{2}\left[ {\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}} \right)’+\left( {{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)’} \right]=$
  $\displaystyle \frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\left( {\frac{x}{a}} \right)’+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {-\frac{x}{a}} \right)’} \right]=\frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\cdot \frac{1}{a}\cdot 1+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\cdot \left( {-\frac{1}{a}} \right)\cdot 1} \right]=$
  $\displaystyle \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{a}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)$
  
  Można ewentualnie trochę przekształcić wynik i otrzymać:
  $\displaystyle \frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}-\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}}}}}}-1} \right)$
3. Joanna Grochowska pisze:
  
  4 marca 2016 o 13:50
  
  Przykład trzeci: chodzi o $\displaystyle y=arcsin({{e}^{4}}\cdot x)$ czy może $\displaystyle y=arcsin({{e}^{{4x}}})$
  
  Pierwszy przypadek:
  
  $\displaystyle \left( {arcsin({{e}^{4}}\cdot x)} \right)’=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{4}}\cdot x} \right)’=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot {{e}^{4}}\left( x \right)’=\frac{{{{e}^{4}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{8}}{{x}^{2}}}}}}$
  
  Drugi przypadek:
  
  $\displaystyle \left( {arcsin({{e}^{{4x}}})} \right)’=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{{4x}}})}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{{4x}}}} \right)’=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}\cdot {{e}^{{4x}}}\left( {4x} \right)’=\frac{{4{{e}^{{4x}}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}$
4. Joanna Grochowska pisze:
  
  21 marca 2016 o 12:53
  
  Przykład czwarty: $\displaystyle y={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}$
  
  Mamy tutaj złożenie kilku funkcji, dlatego korzystam z następujących wzorów:
  
  $\displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)’={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta ‘$
  
  $\displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)’=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta ‘$
  
  gdzie znaczek $\displaystyle \Delta$ oznacza po prostu “coś więcej niż sam x”.
  
  $\displaystyle y’=\left( {{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}} \right)’={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \left( {\sqrt{{7{{x}^{2}}}}} \right)’={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot \left( {7{{x}^{2}}} \right)’=\frac{{{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot 7\cdot 2x=\frac{{7x{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}$
5. Joanna Grochowska pisze:
  
  23 marca 2016 o 07:59
  
  Przykład piąty: $\displaystyle lo{{g}_{7}}cos\sqrt{{1+x}}$
  
  Tym razem mamy pochodną logarytmu, gdzie pod wyrażeniem logarytmowanym jest coś więcej niż sam x (oznaczam to przez $\displaystyle \Delta$ ). Funkcja jest złożona i to kilkukrotnie. Dlatego stosuję na początku wzór :
  
  $\displaystyle \left( {{{{log }}_{a}}\Delta } \right)’=\frac{1}{{\Delta ln a}}\cdot \Delta’$
  
  Obliczając kolejne pochodne, Mam więc:
  
  $\displaystyle \left( {{{{log }}_{7}}cos \sqrt{{1+x}}} \right)’=\frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {cos \sqrt{{1+x}}} \right)’=$
  
  $\displaystyle \frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {-sin \sqrt{{1+x}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1+x}}} \right)’=$
  
  $\displaystyle -\frac{{sin \sqrt{{1+x}}}}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {1+x} \right)’=$
  
  $\displaystyle -tg\sqrt{{1+x}}\cdot \frac{1}{{2\cdot ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {0+1} \right)=-\frac{{tg\sqrt{{1+x}}}}{{2ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}$
paulina pisze:

5 stycznia 2016 o 12:30

dlaczego pochodna z -x/(x-1)^2 wychodzi y'(x) = (x+1)/(x-1)^3

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  7 stycznia 2016 o 15:30
  
  Stosuję tutaj wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli
  $\displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)’=\frac{{f’\cdot g-f\cdot g’}}{{{{g}^{2}}}}$
  
  No to rozpisując przykład:
  $\displaystyle \left( {\frac{{-x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}} \right)’=\frac{{\left( {-x} \right)’\cdot {{{(x-1)}}^{2}}-\left( {-x} \right)\cdot \left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]’}}{{{{{\left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]}}^{2}}}}=\frac{{\left( {-1} \right)\cdot {{{(x-1)}}^{2}}+x\cdot 2\cdot (x-1)\cdot (x-1)’}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-{{{(x-1)}}^{2}}+2x\cdot (x-1)\cdot 1}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{(x-1)\cdot \left[ {-(x-1)+2x} \right]}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-x+1+2x}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}=\frac{{x+1}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}$
Tomek pisze:

5 grudnia 2015 o 19:58

Cześć
Mam prośbę w sprawie rozwiązania równania różniczkowego metodą analityczną (krok po kroku):
y`-0,5y=xe^(2x)
z góry dziękuję

Odpowiedz
dominika pisze:

15 listopada 2015 o 16:08

Chciałabym dowiedzieć się jak wyszedł ten wynik:y'(x) = 3 x^2 cos(1-x^2)+2 x^4 sin(1-x^2) z funkcji x^3cos(x^2-1)

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  8 stycznia 2016 o 14:56
  
  Tutaj by obliczyć pochodną podanej funkcji, wykorzystuję wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji:
  $\displaystyle \left( {f\cdot g} \right)’=f’\cdot g+f\cdot g’$
  
  Jedną z niech jest $\displaystyle f={{x}^{3}}$ , drugą zaś $\displaystyle g=cos ({{x}^{2}}-1)$ , która jest funkcją złożoną.
  
  No to liczymy pochodną:
  $\displaystyle \left( {{{x}^{3}}cos ({{x}^{2}}-1)} \right)’=\left( {{{x}^{3}}} \right)’\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)+\left( {{{x}^{3}}} \right)\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)’=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)+{{x}^{3}}\cdot \left( {-sin ({{x}^{2}}-1)} \right)\cdot ({{x}^{2}}-1)’=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-{{x}^{3}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)\cdot 2x=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)$
  
  Wynik jest jednak odrobinę inny od tego wskazanego w WolframAlpha
  http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3*cos%28x%5E2-1%29%29%27
  
  Widać, że wyrażenie w nawiasie – wielomian jest przedstawiony “odwrotnie”, jakby z minusem, co oczywiście można zrobić, czyli $\displaystyle cos ({{x}^{2}}-1)=cos (-(1-{{x}^{2}}))$ lub też $\displaystyle sin ({{x}^{2}}-1)=sin (-(1-{{x}^{2}}))$
  I w tym miejscu korzystając z własności funkcji trygonometrycznych kąta ujemnego:
  $\displaystyle \begin{matrix} cos (-\alpha )=cos (\alpha )sin (-\alpha )=-sin (\alpha )\end{matrix}$
  
  Otrzymuję wynik zgodny z tym wskazanym z kalkulatorze:
  $\displaystyle 3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)=3{{x}^{2}}\cdot cos (-(-{{x}^{2}}+1))-2{{x}^{4}}\cdot sin (-(-{{x}^{2}}+1))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})-2{{x}^{4}}\cdot (-sin (1-{{x}^{2}}))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})+2{{x}^{4}}\cdot sin (1-{{x}^{2}})$
Karol pisze:

9 września 2015 o 15:39

Witam. Dostałem na egzaminie dwa przykłady, skorzystałem z kalkulatora on je oczywiście obliczył ale ja nadal nie wiem skąd wziął się wynik, oto one :
1) (niestety nie wiem do czego dąży x bo się zamazało ale chyba do nieskończoności) lim(lm(1+4x^2))/x
2) (też x chyba dąży do nieskończoności) lim(1-e^2x)/tg(x)
Pozdrawiam Karol

Odpowiedz
Marlena pisze:

11 kwietnia 2015 o 21:06

Dzień dobry.
Pewnie pisze pod złym postem, forum, czy nie wiem jak to nazwać. Jednakże mam zadanie które nie bardzo wiem, jak rozwiązać. Liczę na Pańską pomoc 🙂

Zad.: Dowieść,że dla xcR prawdziwa jest nierówność:
a) 2xarctgx > ln(1+x^2)
b) |arctgx – arctgy| <= |x-y|

Dodam jeszcze, iż wiem, że jest to związane z Twierdzeniem Lagrange'a ale nawet z tą wiedzą nic mądrego mi nie wychodzi 🙁

Odpowiedz
Anna pisze:

30 stycznia 2015 o 16:18

Dzień dobry!

Muszę policzyć pierwszą i drugą pochodną z y=lnx/√x wygląda niewinnie ale jest niezwykle uciążliwa. Bardzo proszę o pomoc Panie Krystianie

Odpowiedz
1. Kamil Kocot pisze:
  
  22 października 2016 o 19:34
  
  $y equals fraction numerator ln x over denominator square root of x end fraction$
  
  Należy skorzystać ze wzoru na dzielenie
  
  $open parentheses f over g close parentheses to the power of apostrophe equals fraction numerator f apostrophe g minus f g apostrophe over denominator g squared end fraction$
  
  Dostaniemy
  
  $table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals cell fraction numerator open parentheses ln x close parentheses apostrophe times square root of x minus ln x times open parentheses square root of x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses square root of x close parentheses squared end fraction equals fraction numerator \begin display style 1 over x end style times square root of x minus ln x times \begin display style fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction end style over denominator x end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style fraction numerator square root of x over denominator x end fraction minus fraction numerator ln x over denominator 2 square root of x end fraction end style over denominator x end fraction times fraction numerator 2 square root of x over denominator 2 square root of x end fraction equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 2 x over denominator x end fraction minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style 2 minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction end cell end table$
  
  I druga pochodna
  
  $table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe end cell equals cell open parentheses fraction numerator \begin display style 2 minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction close parentheses to the power of apostrophe equals fraction numerator \begin display style open parentheses 2 minus ln x close parentheses apostrophe times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times open parentheses 2 x square root of x close parentheses apostrophe end style over denominator open parentheses 2 x square root of x close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style open parentheses negative 1 over x close parentheses times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times open parentheses 2 x to the power of bevelled 3 over 2 end exponent close parentheses apostrophe end style over denominator open parentheses 2 x to the power of \begin display style bevelled 3 over 2 end style end exponent close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style open parentheses negative 1 over x close parentheses times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times 2 times 3 over 2 x to the power of bevelled 1 half end exponent end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 2 square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times 3 square root of x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 2 square root of x minus 6 square root of x plus 3 square root of x ln x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 8 square root of x plus 3 square root of x ln x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style square root of x open parentheses 3 minus 8 ln x close parentheses end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style 3 minus 8 ln x end style over denominator 4 x squared square root of x end fraction end cell end table$
Tomasz W. pisze:

29 stycznia 2015 o 16:42

Witam. Mam problem z obliczeniem pochodnej dla f(x) = arcsin√1-x/1+x. Całe wyrażenie dzielenia jest pod pierwiastkiem.

Odpowiedz
damian pisze:

29 stycznia 2015 o 12:45

y=e^2x + x^2 + cos(4x^3-6)

przy e jest do potęgi 2x.

potrzebuje pomocy

Odpowiedz
Aleksandra K. pisze:

11 stycznia 2015 o 20:06

A dlaczego pochodna z ctgx+x=-ctg^2x ????????????

Odpowiedz
pilarczyk123 pisze:

13 listopada 2014 o 20:03

chcialbym zapytac jako co traktujemy a/t przy funkcji cos t/a

Odpowiedz
Paulina pisze:

12 listopada 2014 o 20:41

Mam pytanie
dlaczego √x(1-2x^2) ma pochodną 1-10x^2/2√x ? Prosze o wytłumaczenie. Z gódy dziękuje 🙂

Odpowiedz
Kasia pisze:

4 listopada 2014 o 20:42

Pomoże ktoś mam do obliczenia 2 pochodne : (sinx / sinx-cosx) i pierwiastek z 5 tgx -2ctgx. Z góry dziękuje za odpowiedź 🙂

Odpowiedz
Karolina pisze:

1 września 2014 o 14:25

Dzień dobry, jak policzyć pochodną (x-1)^3(x-2) krok po kroku i dlaczego wyznacza się 3 przed nawias? Nie rozumiem tego. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie. Pozdrawiam

Odpowiedz
KASIA pisze:

31 sierpnia 2014 o 16:29

pochodna sin(x^x) – krok po kroku, proszę !

Odpowiedz
Dominik pisze:

28 sierpnia 2014 o 12:51

Mam pytanie, ile wynosi pochodna z \sqrt(2x-sinx(cos(x))^3)

Odpowiedz
Michał pisze:

4 lipca 2014 o 12:39

Mama pytanie, jak bedzie wygladala pochodna z arcsin(2x-1)? Czy po tym jak “trafi” pod pierwiastek to (2x-1)^2 nalezy rozwinac jak rownanie kwadratowe?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  4 lipca 2014 o 13:32
  
  Pójdzie tak:
  
  ${{\left( arcsin \left( 2x-1 \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}}{{\left( 2x-1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)}}\cdot 2=$
  
  $=\frac{2}{\sqrt{1-4{{x}^{2}}+4x-1}}=\frac{2}{\sqrt{-4{{x}^{2}}+4x}}=\frac{2}{\sqrt{4\left( -{{x}^{2}}+x \right)}}=\frac{2}{\sqrt{4}\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=$
  
  $=\frac{2}{2\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}$
  
  Polecam: Kurs Pochodnych
Kasia Peczyńska pisze:

4 lipca 2014 o 01:10

Hej:)
Mam problem z policzeniem pochodnych II rzędu.
Przykład wygląda tak:
f(x,y)= 7- 4x/y – 2x^4y^3

Byłabym wdzięczna za pomoc:)
Pozdrawiam.

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  15 lipca 2014 o 22:38
  
  Hej. To pójdzie tak:
  
  $f\left( x,y \right)=7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}$
  
  Pochodne cząstkowe I-go rzędu:
  
  $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-\frac{4}{y}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-2{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=$
  
  $=0-\frac{4}{y}-2{{y}^{3}}\cdot 4{{x}^{3}}=-\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}}$
  
  $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-4x\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{y} \right)-2{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=$
  
  $=-4x\left( -\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)-2{{x}^{4}}\cdot 3{{y}^{2}}=\frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}}$
  
  Pochodne cząstkowe II-go rzędu:
  
  $\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=0-8{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{3}} \right)=-8{{y}^{3}}\cdot 3{{x}^{2}}=-24{{x}^{2}}{{y}^{3}}$
  
  $\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=-4\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{1}{y} \right)-8{{x}^{3}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}$
  
  $\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-6{{y}^{2}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}$
  
  $\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=4x\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{-2}} \right)-6{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}} \right)=-\frac{8x}{{{y}^{3}}}-12{{x}^{4}}y$
  
  Polecam także mój Kurs Video: Kurs Funkcje Wielu Zmiennych
Katarzyna pisze:

22 czerwca 2014 o 22:11

Mam takie zadanie i nie umię go rozwiązać prosze o pomoc Z góry dziękuję 🙂
Znaleźć:
∂z/∂y dla danej funkcji:
z=x^2 √((x+y)/(x-y))

Odpowiedz
Ania pisze:

2 czerwca 2014 o 20:41

mam pare zadan i nie wiem jak je rozwiazac

Odpowiedz
Jolanta Lokajczyk pisze:

19 maja 2014 o 22:15

Proszę o pomoc w obliczeniu pochodnej z funkcji f(x)=〖log〗_2^5 (x+x^3)/arctgx (tzn f(x)=log stopnia 2 w potędze 5 z ((x+x^3)/arctgx) ). Radzę sobie z takim zadaniem, gdy log nie jest w potędze. W tym przypadku nie mam pewności jak to ma być prawidłowo obliczone.

Odpowiedz
Klaudia pisze:

11 maja 2014 o 00:59

Panie Krystianie zwracam się z ogromną prośbą…:) Otóż chodzi mi o zbadanie funkcji(tzn.zb.wartości,gdzie funkcja rośnie,gdzie maleje) ,ekstrema,punkty stałe, maksima i minima:
a)f(x)=Ax/(1+x),A>=2
b)f(x)=2/3x+1/3A,A>=11

Odpowiedz