blog

Kalkulator do pochodnych

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Zapraszam do korzystania z przerobionego przeze mnie kalkulatora do pochodnych: Myślę, że tutaj sprawa jest bardzo jasna. Wpisujemy funkcję, klikamy na ‘Oblicz” i mamy jej pochodną. Funkcje należy wpisywać we właściwy sposób, zgodny z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych. Poniżej kilka przykładów.

Przykład 1

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y equals 4 x cubed. Wpisujemy w kalkulator: 4x^3. Klikamy ‘Oblicz’. Mamy wynik: y apostrophe equals 12 x squared

Przykład 2

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y equals ln squared open parentheses sin x plus 12 close parentheses. Wpisujemy w kalkulator: (ln(sinx+12))^2 Mamy wynik: y apostrophe equals fraction numerator 2 cos x ln open parentheses sin x plus 12 close parentheses over denominator sin x plus 12 end fraction

Przykład 3

Chcemy obliczyć pochodną z funkcji y equals fraction numerator x plus 1 over denominator open parentheses x minus 2 close parentheses open parentheses x plus 4 close parentheses end fraction. Wpisujemy w kalkulator: (x+1)/((x-2)(x+4)) Mamy wynik: y apostrophe equals horizontal ellipsis sami sprawdźcie jaki (trochę kosmiczny, ale tylko trochę) 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Rewelacyjny sposób prowadzenia pozwala na skuteczne zrozumienie każdego omawianego zagadnienia, co ważne każdy kurs rozpoczyna się od podstaw więc mimo braku znajomości wstępnych zagadnień każdy jest w stanie skorzystać w 100%, jak dla mnie świetna sprawa i polecam serdecznie.

Mateusz Andrzejewski

Nasz ostatni LIVE

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Klaudia pisze:

    Dzień dobry, jak wprowadzic pierwiastek w kalkulator aby obejmował całe wyrażenie a nie tylko daną część?

  2. Antytalencię pisze:

    Dzień dobry.Nwm jak policzyć  pochodną f(x) =sin(2 do x).Wię piszę tutaj

  3. Witam, polecam moją darmową Lekcję do liczenia pochodnej z definicji 🙂

    A co przykładu, poleci tak:

    Wzór na pochodną w punkcie x subscript 0 z definicji to:

    f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator f open parentheses x subscript 0 plus increment x close parentheses minus f open parentheses x subscript 0 close parentheses over denominator increment x end fraction

    W naszym przypadku f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator 5 x plus 6 end fraction .

    Mamy więc:

    f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 open parentheses x subscript 0 plus increment x close parentheses plus 6 end fraction end style minus \begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 end fraction minus fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction end style over denominator increment x end fraction equals
equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction minus fraction numerator 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals

    equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 minus open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator 5 x subscript 0 plus 6 minus 5 x subscript 0 minus 5 increment x minus 6 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals
equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator \begin display style fraction numerator negative 5 increment x over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction end style over denominator increment x end fraction equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator negative 5 increment x over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction fraction numerator \begin display style 1 end style over denominator increment x end fraction equals
equals limit as increment x \rightwards arrow 0 of fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 5 increment x plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses end fraction equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses squared end fraction

    Sprawdzamy prawdziwość tego wyniku korzystając ze wzorów:

    f apostrophe open parentheses x subscript 0 close parentheses equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator 5 x subscript 0 plus 6 end fraction close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 1 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 1 times open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 1 minus 1 end exponent open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses apostrophe equals
equals negative 1 open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses to the power of negative 2 end exponent times 5 equals fraction numerator negative 5 over denominator open parentheses 5 x subscript 0 plus 6 close parentheses squared end fraction

    Czyli wszystko gra 🙂

     

  4. Magda pisze:

    Witam,

    mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

    Oblicz z definicji pochodną f(x)= 1/(5x+6) w punkcie x0. Poprawność sprawdź z wzorów na pochodne.

    Z góry dziękuję za pomoc.

  5. Natalia pisze:

    Panie Krystianie, nie do końca wiem jak obliczyć pochodną z funkcji (2x^6-16x^3)/(x^3-2)^2. Mógłby Pan mi prosze pomóc? 🙂

    1. Pochodna z fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction.

      Na początku mamy tutaj dzielenie dwóch funkcji, więc zaczynamy od zastosowania wzoru: open parentheses f over g close parentheses apostrophe equals fraction numerator f apostrophe space times g space minus space f times g apostrophe over denominator g squared end fraction

      f equals 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed – tutaj spoko, licząc pochodną wykorzystujemy liniowość, czyli pochodna z każdego składnika oddzielnie oraz dwa proste wzory: open square brackets a times f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe equals a times open square brackets f \left parenthesis x \right parenthesis close square brackets apostrophe (stała przed pochodną po x-sie), a także wzór:   open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent.

      g equals open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared – tutaj występuje takie coś jak złożenie funkcji. Masz jakieś wyrażenie podniesione do potęgi drugiej, czyli open parentheses co ś close parentheses to the power of n . Przy liczeniu pochodnej wykorzystujesz wzór na open parentheses x to the power of n close parentheses apostrophe equals n times x to the power of n minus 1 end exponent , z tym, że trzeba pamiętać do DOMNOŻENIU jeszcze pochodnej tego czegoś więcej, tego wyrażenia “coś”, czyli: open parentheses open parentheses co ś close parentheses to the power of n space close parentheses apostrophe equals space n times open parentheses co ś close parentheses to the power of n minus 1 end exponent times open parentheses c o ś close parentheses apostrophe

      No tu wyjdzie ostatecznie:

      open square brackets fraction numerator 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared end fraction close square brackets apostrophe equals fraction numerator open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses apostrophe times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe over denominator open square brackets open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared close square brackets squared end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 2 times 6 times x to the power of 5 minus 16 times 3 times x squared close parentheses times space open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 1 times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses apostrophe close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space open square brackets 2 open parentheses x cubed minus 2 close parentheses times open parentheses 3 times x squared minus 0 close parentheses close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses squared space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared open parentheses x cubed minus 2 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses open square brackets open parentheses 12 x to the power of 5 minus 48 x squared close parentheses times open parentheses x cubed minus 2 close parentheses space minus space open parentheses 2 x to the power of 6 minus 16 x cubed close parentheses times space 6 x squared close square brackets over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses to the power of 4 end fraction equals

      equals fraction numerator 12 x to the power of 8 minus 24 x to the power of 5 minus 48 x to the power of 5 plus 96 x squared minus space 12 x to the power of 8 plus 96 x to the power of 5 over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator 24 x to the power of 5 plus 96 x squared over denominator open parentheses x cubed minus 2 close parentheses cubed end fraction equals fraction numerator bold 24 bold x to the power of bold 2 open parentheses bold x to the power of bold 3 bold plus bold 4 close parentheses over denominator open parentheses bold x to the power of bold 3 bold minus bold 2 close parentheses to the power of bold 3 end fraction

  6. damian pisze:

    x^2+e^x/x-lnx czy pomoze ktoś ?

  7. Kamila pisze:

     WitamMam problem z pochodna x^x jak to obliczyc?

    1. Myślę, że ten filmik będzie baaardzo pomocny i wszystko wyjaśniający (chociaż przykład jest lekko inny) 🙂

       

      W Pani przypadku wyjdzie ostatecznie:

      open parentheses x to the power of x close parentheses apostrophe space equals open parentheses e to the power of ln x to the power of x end exponent close parentheses apostrophe equals space open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses apostrophe equals open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses x times ln x close parentheses apostrophe space equals

      equals open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses open parentheses x close parentheses apostrophe times ln x plus x times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close parentheses equals space open parentheses e to the power of x times ln x end exponent close parentheses times open parentheses 1 times ln x plus x times 1 over x close parentheses equals

      equals bold space straight e to the power of straight x times lnx end exponent times open parentheses lnx plus 1 close parentheses space equals space straight e to the power of lnx to the power of x end exponent times open parentheses lnx plus 1 close parentheses space equals space bold italic x to the power of bold x bold times open parentheses bold l bold n bold x bold plus bold 1 close parentheses

  8. Ania pisze:

    Cześć!Mam problem z pochodną 6x(x^2+1)^2 mógłbys wytłumaczyc krok po kroku?

  9. Ewusia pisze:

    Witam serdecznie. Mam problem z pochodną f(x)= 3/((1-x^2)(1-2x^3)). Kalkulator pokazuje odpowiedź: 6x(-5x^3+3x+1)/(mianownik^2).  A w moich obliczeniach wszystko się zgadza oprócz tego, że mam -6x. Ktoś wie co się stało z tym minusem? Proszę o odpowiedź

  10. Anna pisze:

    Witam. Mam problem z policzeniem pochodnej f(x)=ln(x)log_2(x)

  11. Agata pisze:

    Witam, nie rozumiem dlaczego pochodna z funkcji f(x)=e^2x+e^-x wychodzi e^2-e^-x a nie 2e^2x-e^-xBardzo proszę o odp 

  12. Robert pisze:

    Witammam policzyć  pochodne i nie potrafię sobie z nimi poradzić:mogę prosić o pomoc   

  13. Lidia pisze:

    dzień dobry,czy ktoś może wie w jaki sposób krok po kroku obliczyć pochodną poniższej funkcji?y equals fraction numerator x cubed sin open parentheses fourth root of 3 x end root close parentheses over denominator cos open parentheses x close parentheses end fractionBędę wdzięczna za pomoc 🙂

  14. Kasiek pisze:

    Dzień dobry,zasanowiła mnie jedna rzecz. Chcąc sprawdzić wynik pochodnej (-8cos(x)sin(x))’ znalałzam Pana kalkulator i inny. wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym  (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik. Mogę prosić o pomoc?To całe zadanie jaki muszę obliczyć: -8cos(x)sin(x)+(e^(x^(1/2))(1- (1/x^(1/2))) /(4x))”Podzieliłam” je na 2 zgodnie z właściwościami pochodnych – [f(x)+g(x)]’ = f'(x)+g'(x) 

    1. “wg Pana kalkulatora wynik to (-8cos(2x)), a to wyszło w innym  (8(sinx)^2 – 8(cosx)^2) – i ja też otrzymałam taki wynik.”

      Pani Kasiu – oba wyniki są poprawne 🙂 Policzyła Pani wszystko prawidłowo.

      Kalkulator zamieszczony na Blogu po prostu dodatkowo dokonał jeszcze jedne przekształcenie, wykorzystując rozpisanie wzoru cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis ze szkoły średniej (jak pamiętamy, tam były jego 3 wersje)

      cos \left parenthesis 2 x \right parenthesis equals cos squared x minus sin squared x space equals space 2 cos squared x minus 1 space equals space 1 minus 2 sin squared x – wykorzystana została wersja pierwsza.

      Rozpisując Pani wynik: 

      8 sin squared x space – space 8 cos squared x equals negative 8 times open parentheses negative sin squared x space plus cos squared x close parentheses equals negative 8 open parentheses bold italic c bold italic o bold italic s to the power of bold 2 bold italic x bold minus bold italic s bold italic i bold italic n to the power of bold 2 bold italic x close parentheses equals negative 8 bold italic c bold italic o bold italic s bold \left parenthesis bold 2 bold italic x bold \right parenthesis

  15. Bubi pisze:

    mam problem z pochodną funkcji : left parenthesis 1 plus square root of x \right parenthesis to the power of ln square root of x end exponent

  16. kati pisze:

    square root of 1 minus 3 x hat 2 end root equals… ; 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent ln x equals
… proszę o pomoc

    1. kati pisze:

      oczywiście polecenie policz pochodne 

    2. 1. y equals square root of 1 minus 3 x squared end root

      Stosuję wzór open parentheses square root of triangle close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of triangle end fraction times triangle apostrophe

      y apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction times open parentheses 1 minus 3 x squared close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction times open parentheses 0 minus 3 times 2 x close parentheses equals

      fraction numerator negative 6 x over denominator 2 square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction equals negative fraction numerator 3 x over denominator square root of 1 minus 3 x squared end root end fraction

      2. y equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln x

      Stosuję wzory: open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe oraz open parentheses 2 to the power of triangle close parentheses apostrophe equals 2 to the power of triangle times ln 2 times triangle apostrophe

      y apostrophe equals open parentheses 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln 2 times open parentheses 3 x plus 4 close parentheses apostrophe times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times 1 over x equals

      2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times ln 2 times open parentheses 3 plus 0 close parentheses times ln x plus 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times 1 over x equals 2 to the power of 3 x plus 4 end exponent times open parentheses 3 ln 2 times ln x plus 1 over x close parentheses

  17. Kamil pisze:

    3 ln hat 5 \left parenthesis 3 over x to the power of 4 minus x \right parenthesisWitam mam problem z obliczeniem tej pochodnej mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to zrobić ?

    1. y equals 3 ln to the power of 5 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses

      Stosuję wzory open parentheses C times f open parentheses x close parentheses close parentheses apostrophe equals C times f apostrophe open parentheses x close parentheses oraz open parentheses triangle to the power of 5 close parentheses apostrophe equals 5 times triangle to the power of 4 times triangle apostrophe

      y apostrophe equals 3 times open square brackets ln to the power of 5 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses close square brackets apostrophe equals 3 times 5 times ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses apostrophe equals

      15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 times x to the power of negative 4 end exponent minus x close parentheses apostrophe equals 15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses 3 times open parentheses negative 4 close parentheses times x to the power of negative 5 end exponent minus 1 close parentheses equals

      15 ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses times open parentheses negative 12 over x to the power of 5 minus 1 close parentheses equals negative 15 times open parentheses 12 over x to the power of 5 plus 1 close parentheses times ln to the power of 4 open parentheses 3 over x to the power of 4 minus x close parentheses

  18. Mati pisze:

    w kalkulatorze wychodzą bzdury gdy liczy się pochodną pierwiastków:np po wpisaniu (x^2)^-2 czyli square root of cross times squared end root (pochodna to oczywiście 1) wychodzi

    1. Tutaj akurat kalkulator dobrze policzył pochodną 🙂

      Wpisana formuła “(x^2)^-2” (potęga (-2) ) nie oznacza pierwiastka, tylko inna potęgę, a mianowicie:
      open parentheses x squared close parentheses to the power of negative 2 end exponent equals open parentheses 1 over x squared close parentheses squared equals 1 over x to the power of 4 equals x to the power of negative 4 end exponent – minus w potędze odwraca podstawę 🙂

      Aby wprowadzić pierwiastek, trzeba wziąć potęgę ułamkową, czyli powinien Pan wpisać “”(x^2)^(1/2)” 

      Wtedy pochodna:

      open parentheses square root of x squared end root close parentheses apostrophe equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared end root end fraction close parentheses times open parentheses x squared close parentheses apostrophe equals fraction numerator 2 x over denominator 2 square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator square root of x squared end root end fraction equals fraction numerator x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell 1 space space space space space space d l a space x greater or equal than 0 end cell row cell negative 1 space space space d l a space x less than 0 end cell end table close

  19. Paulina pisze:

    Witam Panie Krzysztofie,czy mógłby mi Pan pomóc z obliczeniem pochodnej:f \left parenthesis x \right parenthesis equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root

    1. y equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root

      Stosuję wzory dla pochodnej ułamku:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe times v minus u times v apostrophe over denominator v squared end fraction oraz pochodnej funkcji złożonej: 

      open square brackets f open parentheses g open parentheses x close parentheses close parentheses close square brackets apostrophe equals f apostrophe open parentheses g close parentheses times g apostrophe open parentheses x close parentheses

      y equals fifth root of fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end root equals open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of 1 fifth end exponent. Wtedy

      y apostrophe equals 1 fifth times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of 1 fifth minus 1 end exponent times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses apostrophe equals 1 fifth times open parentheses fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction close parentheses to the power of negative 4 over 5 end exponent times

      times fraction numerator open parentheses cos squared x close parentheses apostrophe times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals 1 fifth times fraction numerator 1 over denominator fifth root of open parentheses \begin display style fraction numerator cos squared x over denominator x cubed minus 3 x end fraction end style close parentheses to the power of 4 end root end fraction times

      times fraction numerator 2 cos x times open parentheses cos x close parentheses apostrophe times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals

      1 fifth times fifth root of open parentheses fraction numerator x cubed minus 3 x over denominator cos squared x end fraction close parentheses to the power of 4 end root times fraction numerator 2 cos x times open parentheses negative sin x close parentheses times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses minus cos squared x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses over denominator open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared end fraction equals

      1 fifth times fraction numerator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 4 end root over denominator fifth root of open parentheses cos squared x close parentheses to the power of 4 end root end fraction times fraction numerator negative cos x times open square brackets 2 sin x times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses plus cos x times open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses close square brackets over denominator fifth root of open parentheses open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses squared close parentheses to the power of 5 end root end fraction equals

      equals negative 1 fifth times fraction numerator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 4 end root over denominator fifth root of cos to the power of 8 x end root end fraction times fraction numerator fifth root of cos to the power of 5 x end root times open square brackets 2 times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses times sin x plus open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses times cos x close square brackets over denominator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 10 end root end fraction equals

      equals negative 1 fifth times fraction numerator 2 times open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses times sin x plus open parentheses 3 x squared minus 3 close parentheses times cos x over denominator fifth root of open parentheses x cubed minus 3 x close parentheses to the power of 6 times cos cubed x end root end fraction

  20. Mike pisze:

    Dzień dobry, chciałem zwrócić uwagę na błąd, gdy w pochodnej funkcji sqrt(3^3 -2) wynikiem jest ((3^x)log(3))/(2(sqrt(3x-2))), gdzie w miejscu log powinno być ln.Pozdrawiam

  21. Justyna pisze:

    Witam, w ostatniej lekcji z kursu pochodnych robił Pan przykład x/lnx, Moje pytanie brzmi skąd w wykresie 2 pochodnej wziął się punkt 1. wklejam juz policzoną 2 pochodną

  22. Mateusz pisze:

    Dzień dobry Panie Krystianie!Czy mógłby mi Pan pomóc w obliczeniu pochodnej z: left parenthesis sin x plus cos x \right parenthesis to the power of 5* fifth root of vertical line a r c sin x plus a r c cos x vertical line end root?

    1. y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r s c i n x plus a r c cos x close vertical bar end root

      Wiadomo, że pochodna liczby stałej wynosi zero:

      C apostrophe equals 0, o ile C equals c o n s t space open parentheses s t a ł a close parentheses

      Obliczymy:

      open parentheses a r c sin x plus a r c cos x close parentheses apostrophe equals open parentheses a r c sin x close parentheses apostrophe plus open parentheses a r c cos x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction plus open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction close parentheses equals 0

      Stąd mamy, że a r c sin x plus a r c cos x equals C

      Liczba stała nie zależy od x. Obliczymy ją:

      a r c sin x plus a r c cos x equals C equals a r c sin 0 plus a r c cos 0 equals 0 plus \pi over 2 equals \pi over 2

      Wtedy funkcja

      y equals open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5 times fifth root of open vertical bar a r c sin x plus a r c cos x close vertical bar end root equals fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 5,

      i jej pochodna

      (wg wzoru dla funkcji złożonej:  open parentheses triangle to the power of 5 close parentheses apostrophe equals 5 triangle to the power of 4 times open parentheses triangle close parentheses apostrophe   )

      wynosi:

      y apostrophe equals fifth root of \pi over 2 end root times 5 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses sin x plus cos x close parentheses apostrophe equals

      fifth root of \pi over 2 end root times open parentheses sin x plus cos x close parentheses to the power of 4 times open parentheses cos x minus sin x close parentheses

       

  23. Kasia pisze:

    Witam, potrzebuję obliczyć pierwszą pochodną funkcji. Jak to zrobić?i(x) = 3e^2x *lnx

    1. y equals 3 e to the power of 2 x end exponent times ln x

      Stosuję wzory: open parentheses C times y close parentheses apostrophe equals C times y apostrophe (gdzie C – stała) oraz open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe, a także

      open parentheses e to the power of triangle close parentheses apostrophe equals e to the power of triangle times triangle apostrophe

      y apostrophe equals 3 times open square brackets open parentheses e to the power of 2 x end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close square brackets equals 3 times open square brackets e to the power of 2 x end exponent times open parentheses 2 x close parentheses apostrophe times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times 1 over x close square brackets equals

      3 times open parentheses e to the power of 2 x end exponent times 2 times ln x plus e to the power of 2 x end exponent times 1 over x close parentheses equals 3 times e to the power of 2 x end exponent times open parentheses 2 ln x plus 1 over x close parentheses

  24. Leszek pisze:

     Witam,nie wiem czy kalkulator dobrze liczy ale wychodzi że (ln(x))’ = 1/x i to jest dobrze ale wpisując ln(2x) podaje wynik też 1/x czy to jest aby dobrze? Czy nie powinno być 2/x ?Proszę o szybką odpowiedź.

    1. Tutaj wynik jest poprawny, pochodna open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over x
      Bierze się to z tego, że jest to złożenie dwóch funkcji  – nie ma Pan samego “x” w logarytmie tylko coś więcej. Przy liczeniu takich pochodnych, najpierw robimy pochodną tej funkcji “zewnętrznej” i domnażamy do niej pochodną funkcji w środku, tej “wewnętrznej”. 

      Ogólnie na wzorach to idzie tak: left parenthesis f \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis apostrophe space equals space f apostrophe \left parenthesis g \left parenthesis x \right parenthesis \right parenthesis space times space g apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis

      Przy naszych danych to pójdzie tak: open parentheses ln \left parenthesis increment \right parenthesis close parentheses apostrophe equals 1 over increment times increment apostrophe  , gdzie za ten increment biorę funkcję wewnętrzną.

      Stąd ostatecznie: open parentheses ln \left parenthesis 2 x \right parenthesis close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times open parentheses 2 x close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 x end fraction times 2 times 1 equals fraction numerator 2 over denominator 2 x end fraction equals 1 over x

  25. Michał pisze:

    Witam mógłby mi ktoś pomóc obliczyć pochodną funkcji y=cube root of x to the power of 5 end root ln x

    1. y equals cube root of x to the power of 5 end root times ln x equals x to the power of 5 over 3 end exponent times ln x

      Stosuję wzór: open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe

      y apostrophe equals open parentheses x to the power of 5 over 3 end exponent close parentheses apostrophe times ln x plus x to the power of 5 over 3 end exponent times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals 5 over 3 times x to the power of 5 over 3 minus 1 end exponent times ln x plus x to the power of 5 over 3 end exponent times 1 over x equals

      5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of \begin display style 5 over 3 end style end exponent over x equals 5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of 5 over 3 minus 1 end exponent equals 5 over 3 times x to the power of 2 over 3 end exponent times ln x plus x to the power of 2 over 3 end exponent equals

      x to the power of 2 over 3 end exponent times open parentheses 5 over 3 ln x plus 1 close parentheses equals cube root of x squared end root times open parentheses 5 over 3 ln x plus 1 close parentheses

  26. marco pisze:

    jak obliczyć pochodna funkcjiy= 4x^1/3 * (5 + 2*4^3^x)/x^2 + 1

    1. y equals fraction numerator 4 cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator x squared plus 1 end fraction equals 4 times fraction numerator cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator x squared plus 1 end fraction

      Stosuję wzory:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe v minus u v apostrophe over denominator v squared end fraction oraz (pochodna funkcji złożonej) open parentheses 4 to the power of triangle close parentheses apostrophe equals 4 to the power of triangle times ln 4 times open parentheses triangle close parentheses apostrophe, a także

      open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe

      y apostrophe equals 4 times fraction numerator open square brackets cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses close square brackets apostrophe times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times open parentheses x squared plus 1 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 times fraction numerator open square brackets open parentheses cube root of x close parentheses apostrophe times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses apostrophe close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times open parentheses 2 x plus 0 close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 times fraction numerator open square brackets open parentheses x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent close parentheses apostrophe times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus cube root of x times open parentheses 0 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times open parentheses 3 to the power of x close parentheses apostrophe close parentheses close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus cube root of x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 times fraction numerator open square brackets \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses plus x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent times 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times 3 to the power of x times ln 3 close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus x to the power of \begin display style 1 third end style end exponent times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 times fraction numerator \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open square brackets 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 3 x times 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 close square brackets times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus \begin display style 1 third end style x to the power of negative \begin display style 2 over 3 end style end exponent times 3 x times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses times 2 x over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 times 1 third x to the power of negative 2 over 3 end exponent times fraction numerator open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 close parentheses times open parentheses x squared plus 1 close parentheses minus 6 x squared times open parentheses 5 plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent close parentheses over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 over 3 x to the power of negative 2 over 3 end exponent times fraction numerator 5 x squared plus 5 plus 2 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x cubed times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 minus 30 x squared minus 12 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent over denominator open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      4 over 3 times fraction numerator negative 25 x squared plus 5 minus 10 x squared times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 2 times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent plus 6 x cubed times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times 3 to the power of x times ln 4 times ln 3 plus 6 x times 4 to the power of 3 to the power of x end exponent times ln 4 times ln 3 over denominator x to the power of \begin display style 2 over 3 end style end exponent times open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared end fraction

       

  27. Klaudia pisze:

    Witam, jak obliczyć pochodną funkcji f(x)= e^(2x+1)/(x-2)

  28. Sylwia pisze:

    Witam, czy mógłby mi Pan wytłumaczyć jak rozwiązać taką pochodną:f(x)=xsinxlnx ?z góry dziękuje i pozdrawiam 🙂

    1. f open parentheses x close parentheses equals x times sin x times ln x

      Znany jest wzór dla pochodnej iloczynu:

      open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe

      Spróbujemy otrzymać wzór dla iloczynu trzech czynników:

      open parentheses u times v times w close parentheses apostrophe equals open square brackets u times open parentheses v times w close parentheses close square brackets apostrophe equals u apostrophe times open parentheses v times w close parentheses plus u times open parentheses v times w close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v times w plus u times open parentheses v apostrophe times w plus v times w apostrophe close parentheses equals

      u apostrophe times v times w plus u times v apostrophe times w plus u times v times w apostrophe

      Wtedy:

      f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses x times sin x times ln x close parentheses apostrophe equals x apostrophe times sin x times ln x plus x times open parentheses sin x close parentheses apostrophe times ln x plus x times sin x times open parentheses ln x close parentheses apostrophe equals

      1 times sin x times ln x plus x times cos x times ln x plus x times sin x times 1 over x equals sin x times ln x plus x times cos x times ln x plus sin x

  29. radek pisze:

    (2x-1)^4=8(2x-1)^3 dlaczego tak????

  30. Jack pisze:

    Jak to obliczyć ? f(x)= open parentheses fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction minus 1 close parentheses x squared

  31. Iza pisze:

    f(x)=x^2*(x-2)^2Wytłumaczysz mi jak to policzyłeś, trochę inaczej mam rozpisane z zajęć i się pogubiłam…? Z góry dziękuję 🙂

    1. f open parentheses x close parentheses equals x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared

      Stosuję wzór:

      open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe oraz (pochodna funkcji złożonej) open parentheses triangle squared close parentheses apostrophe equals 2 triangle times open parentheses triangle close parentheses apostrophe

      f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open square brackets x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe times open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus x squared times open square brackets open parentheses x minus 2 close parentheses squared close square brackets apostrophe equals 2 x times open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus

      plus x squared times 2 times open parentheses x minus 2 close parentheses times open parentheses x minus 2 close parentheses apostrophe equals 2 x times open parentheses x squared minus 4 x plus 4 close parentheses plus 2 x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses times open parentheses 1 minus 0 close parentheses equals

      2 x cubed minus 8 x squared plus 8 x plus 2 x cubed minus 4 x squared equals 4 x cubed minus 12 x squared plus 8 x

      Można było inaczej:

      f open parentheses x close parentheses equals x squared times open parentheses x minus 2 close parentheses squared equals open square brackets x times open parentheses x minus 2 close parentheses close square brackets squared equals open parentheses x squared minus 2 x close parentheses squared equals x to the power of 4 minus 4 x cubed plus 4 x squared

      Wtedy:

      f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses x to the power of 4 minus 4 x cubed plus 4 x squared close parentheses apostrophe equals 4 x cubed minus 4 times 3 x squared plus 4 times 2 x equals 4 x cubed minus 12 x squared plus 8 x

    1. michalaczek pisze:

      czy moge zapisac w postaci log subscript e e to the power of 5 equals 5  ???

  32. michalaczek pisze:

    1) f(x)=e to the power of negative x end exponent2) f(x)=ln to the power of 8 x3) f(x)=ln(5 x to the power of 4 minus x plus 9)

  33. michalaczek pisze:

    odp do f(x)=square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root  to  fraction numerator 14 x cubed over denominator square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction   ???

    1. f open parentheses x close parentheses equals square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root

      Stosuję wzór na pochodne funkcji złożonej:

      open parentheses square root of triangle close parentheses apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of triangle end fraction times open parentheses triangle close parentheses apostrophe

      f apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction times open parentheses 4 x to the power of 7 plus 1 close parentheses apostrophe equals fraction numerator 4 times 7 x to the power of 6 plus 0 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction equals fraction numerator 28 x to the power of 6 over denominator 2 square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction equals fraction numerator 14 x to the power of 6 over denominator square root of 4 x to the power of 7 plus 1 end root end fraction

    1. Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złożonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu e to the power of x tylko e to the power of c o ś end exponent
      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe .

      Stąd: open parentheses e to the power of 8 x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times open parentheses 8 x close parentheses apostrophe equals e to the power of 8 x end exponent times 8 times 1 equals 8 e to the power of 8 x end exponent 

  34. michalaczek pisze:

    square root of blank end root da wpisać się do kalkulatora?

    1. Tak, “pierwiastek” można wpisać na dwa sposoby

      1) wpisując: \sqrt(…)  , np \sqrt(2x) oznacza square root of 2 x end root

      2) wpisując potęgę ułamkową , tzn. (…)^(1/2)  , np (x)^(1/2) oznacza square root of x

  35. michalaczek pisze:

    jak rozwiazac:1) f(x)=bevelled fraction numerator a r c space cos space x over denominator x end fraction2) f(x)=bevelled fraction numerator a r c space sin space x over denominator x end fractionz góry bardzo dziękuje!

    1. 1. f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator a r c cos x over denominator x end fraction

      Skorzystam ze wzoru:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe v minus u v apostrophe over denominator v squared end fraction

      f apostrophe open parentheses x close parentheses equals open parentheses fraction numerator a r c cos x over denominator x end fraction close parentheses apostrophe equals fraction numerator open parentheses a r c cos x close parentheses apostrophe times x minus a r c cos x times open parentheses x close parentheses apostrophe over denominator x squared end fraction equals

      fraction numerator negative \begin display style fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction end style times x minus a r c cos x times 1 over denominator x squared end fraction equals negative fraction numerator \begin display style fraction numerator x over denominator square root of 1 minus x squared end root end fraction end style plus a r c cos x over denominator x squared end fraction equals

      negative fraction numerator x plus square root of 1 minus x squared end root times a r c cos x over denominator x squared times square root of 1 minus x squared end root end fraction

  36. Karolina pisze:

    czy mógłby ktoś mi pomóc z rozwiązaniem pochodnej: (x^2)/(2-x) ?
    Kalkulator wylicza to jako: [-(x-4)x]/[(x-2)^2]
    Ja wyliczam już czwarty raz i za każdym wychodzi mi taki sam wynik [(4-x)x]/[(2-x)^2], niestety inny niż kalkulatora 🙁
    proszę o pomoc!

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Oba wyniki są poprawne i oba są identyczne 🙂

      Po prostu ten z kalkulatora wyliczony “wyciągnął” jeszcze minusy z każdego z wyrażeń.

      Przekształcę więc je tak, że na górze wciągnę go z powrotem, a na dole jakby go wyciągnę jeszcze raz (bo podniesiony do kwadratu się zredukował). Proszę popatrzeć:

      \displaystyle \frac{{-(x-4)x}}{{{{{(x-2)}}^{2}}}}=\frac{{(-x+4)x}}{{{{{\left[ {-(-x+2)} \right]}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(-1)}}^{2}}{{{(2-x)}}^{2}}}}=\frac{{(4-x)x}}{{{{{(2-x)}}^{2}}}}

      No i wyszedł Pani wynik 🙂

    2. Karolina pisze:

      jeju, rzeczywiście, ale głupi błąd! 😛
      Bardzo dziękuje, juz rozumiem 😉

  37. Julia pisze:

    Witam, nie rozumiem dlaczego pochodna ln2x^2 to y'(x) = (2 log(2 x))/x

  38. Matematyk pisze:

    Bardzo pomocny kalkulator pochodnych funkcji, przydatny szczególnie do sprawdzania wyników.

  39. Paulina pisze:

    Witam 🙂 Dlaczego pochodna z e^(2^x)=2^x*e^(2^x)*log2?

    1. Tutaj jest do policzenia pochodna funkcji złozonej, czyli argumentem nie jest sam „x” tylko coś więcej, nie ma po prostu e to the power of x tylko e to the power of c o ś end exponent.
      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co „na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam „x”), czyli jakby open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe

      Stąd: open parentheses e to the power of 2 to the power of x end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times open parentheses 2 to the power of x close parentheses apostrophe equals e to the power of 2 to the power of x end exponent times 2 to the power of x times ln 2 , gdyż wprost z wzorku  open parentheses a to the power of x close parentheses apostrophe equals a to the power of x times ln a .

  40. studentekonomi pisze:

    Witam. Mam problem z zadaniem: f(x1,x2)=1/2ln(5×1^2-2×2). Jak mogę narysować krzywe w punktach 0, 1 i 2? Wytyczenie pochodnej i całki również by się przydało…

  41. Iulia pisze:

    Dzień dobry, bardzo prosiłabym o pomóc z przykładem [((arctgX^2)^3)/((e^3)*x+3^x)]^(arctg(x^4-ln(2x^8+1) Czyli iloraz w tym kwadratowym nawiasie podnosimy do potęgi i z tego wszystkiego policzyć pochodną…wychodzą mi kosmiczne rozwiazania…Z góry dziękuję.

  42. Kasia pisze:

    Panie Krystianie,
    może jest mi Pan w stanie wytłumaczyć dlaczego pochodna z -arctg|x| ma pochodną -x/(|x^3|+|x|), a nie po prostu -1/(1+x^2)?

    Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc 🙂

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Pani Kasiu, gdyby do policzenia byłaby pochodna po prostu z \displaystyle -arctgxto byłaby równa rzeczywiście \displaystyle -\frac{1}{{1+{{x}^{2}}}}

      Jednak tutaj do policzenia jest pochodna \displaystyle -arctg\left| x \right|, czyli argumentem nie jest sam “x” tylko coś więcej – moduł z “x”.

      Postępujemy jak zawsze w takich przypadkach, czyli: pochodna tego co “na zewnątrz” pomnożyć razy pochodna funkcji wewnętrznej (coś więcej niż sam “x”), czyli jakby \displaystyle \left( {-arctg\Delta } \right)'\cdot \Delta '

      Pytanie, ile wynosi pochodna modułu z x ?

      Rozpisując moduł, wiem, że:
      open vertical bar x close vertical bar equals open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x comma space space space space space space space space x greater or equal than 0 end cell row cell negative x comma space space space space space x less than 0 end cell end table close

      Czyli odpowiednio pochodna byłby równa 1 lub -1.. Jednak potrzebuję pochodnej w ogólnym przypadku (nie na przedziałach).

      Dlatego uznaje się, że pochodna modułu to (warto zapamiętać ten wzór):

      \displaystyle \left( {\left| x \right|} \right)'=\frac{x}{{\left| x \right|}}

      Można sobie rozpisać na odpowiednich przedziałach i faktycznie wyjdzie 1 lub -1 😉

      Mając wszystko, liczę:

      \displaystyle \left( {-arctg\left| x \right|} \right)'=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \left( {\left| x \right|} \right)'=-\frac{1}{{1+{{{\left| x \right|}}^{2}}}}\cdot \frac{x}{{\left| x \right|}}=-\frac{x}{{\left| x \right|+{{{\left| x \right|}}^{3}}}}

  43. Kamil pisze:

    Mam wielką prośbę. Nie moge poradzić sobie z monotonicznością tej funkcji x^3/(x^2+-x-2) będę ogromnie wdzięczny za odpowiedz. Pozdrawiam 🙂

    1. Kamil pisze:

      x^3/(x^2-x-2) wyzej jest mały bląd

    2. Anna Zalewska pisze:

      Dana jest funkcja f \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator x cubed over denominator x squared minus x minus 2 end fraction.

      Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji.

      x squared minus x minus 2 not equal to 0
      capital delta equals \left parenthesis negative 1 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 2 \right parenthesis equals 9
      x subscript 1 equals fraction numerator 1 minus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 minus 3 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator 2 end fraction equals negative 1
      space x subscript 2 equals fraction numerator 1 plus square root of 9 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 1 plus 3 over denominator 2 end fraction equals 4 over 2 equals 2

      Zatem D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket.

      Przechodzimy do wyznaczania monotoniczności funkcji f. W tym celu obliczymy jej pochodną i sprawdzimy, kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.

      f apostrophe \left parenthesis x \right parenthesis equals fraction numerator open parentheses x cubed close parentheses apostrophe times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals
      equals fraction numerator 3 x squared times open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses minus x cubed times open parentheses 2 x minus 1 close parentheses over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals fraction numerator 3 x to the power of 4 minus 3 x cubed minus 6 x squared minus 2 x to the power of 4 plus x cubed over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction equals
      equals fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction

      Zbadamy teraz, kiedy pochodna przyjmuje wartości większe lub równe 0, a kiedy mniejsze lub równe 0.

      fraction numerator x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared over denominator open parentheses x squared minus x minus 2 close parentheses squared end fraction greater or equal than 0

      x to the power of 4 minus 2 x cubed minus 6 x squared greater or equal than 0

      x squared open parentheses x squared minus 2 x minus 6 close parentheses greater or equal than 0

      capital delta subscript 1 equals \left parenthesis negative 2 \right parenthesis squared minus 4 times 1 times \left parenthesis negative 6 \right parenthesis equals 28
      x subscript 1 equals fraction numerator 2 minus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 minus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 minus square root of 7
      x subscript 2 equals fraction numerator 2 plus square root of 28 over denominator 2 end fraction equals fraction numerator 2 plus 2 square root of 7 over denominator 2 end fraction equals 1 plus square root of 7
      wykres

      Pochodna przyjmuje wartości większe lub równe 0 dla x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater than oraz dla x element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis
      Pochodna przyjmuje wartości mniejsze lub równe 0 dla x element of less than 1 minus square root of 7 comma 1 plus square root of 7 greater than

       

      Należy pamiętać o założeniach dziedziny: D equals straight real numbers \backslash \left curly bracket negative 1 comma 2 \right curly bracket.

       

      Zatem podana funkcja jest rosnąca w przedziałach x element of \left parenthesis negative infinity comma 1 minus square root of 7 greater thanx element of less than 1 plus square root of 7 comma space plus infinity \right parenthesis oraz malejąca w przedziałach x element of less than 1 minus square root of 7 comma negative 1 \right parenthesisx element of open parentheses negative 1 comma 2 close parenthesesx element of \left parenthesis 2 comma space 1 plus square root of 7 greater than.

  44. Klaudia pisze:

    Witam! Mam taką funkcję :
    f(x) = (2x-x^2)^(2/3). Jak obliczyć pochodną takiej funkcji?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      By obliczyć pochodną z funkcji \displaystyle {{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}}}} stosuję wzór

      \displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)'=n\cdot {{x}^{{n-1}}}, gdzie jak zauważam, mam coś więcej niż sam “x”, mam dodatkową funkcję (zwaną funkcją wewnętrzną). W taki przypadku obliczoną pochodną przemnażamy przez pochodną funkcji wewnętrznej, czyli mam jakby:

      \displaystyle \left( {{{\Delta }^{n}}} \right)'=n\cdot {{\Delta }^{{n-1}}}\cdot \Delta '

      Mam więc:
      \displaystyle \left( {{{{(2x-{{x}^{2}})}}^{{\frac{2}{3}}}}} \right)'=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{\frac{2}{3}-1}}}\cdot (2x-{{x}^{2}})'=\frac{2}{3}{{(2x-{{x}^{2}})}^{{-\frac{1}{3}}}}\cdot (2-2x)=\frac{{2\cdot (2-2x)}}{{3\sqrt[3]{{2x-{{x}^{2}}}}}}

  45. Karim pisze:

    Witam wszystkich. I proszę o pomoc.
    Mam problem z taką pochodną
    f(x)=[1-sin(2x)]/[2x^4+7x^2-3] Zatrzymuje się w pewnym momencie i nie wiem co dalej. Kalkulator do pochodnych stworzonego przez Pana Krystiana błędnie odczytuje ostatnia część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga. Proszę o pomoc

    1. Joanna Grochowska pisze:

      To nie chodzi Panu o pochodną funkcji \displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+7{{x}^{2}}-3}}?

      A może \displaystyle \frac{{1-sin(2x)}}{{2{{x}^{4}}+{{7}^{{{{x}^{2}}-3}}}}}, czy jeszcze inaczej? Proszę może gdzieś nawias () wstawić dodatkowo, to co ma być ujęte w potędze, bo nie do końca rozumiem o co chodzi z
      “część 7x^2-3 zamiast zrobić wszystko w potędze obejmuje liczbę trzy od reszty za potęga”.

      Pozdrawiam

  46. aga pisze:

    Witam, mam problem z pochodną: e^(3x+2)*((x^6)+4). Nie mam pojęcia jak to rozwiązać, bardzo proszę o pomoc…

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Wykorzystuję tutaj wzór na iloczyn dwóch funkcji

      \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      Muszę również pamiętać o tym, że licząc pochodną funkcji złożonej, muszę domnożyć jeszcze razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego “coś więcej niż sam x” . to znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      No to rozwiązując przykład:
      \displaystyle \begin{matrix}\left( {{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)} \right)'=\left( {{{e}^{{3x+2}}}} \right)'\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot ({{x}^{6}}+4)'= \\ {{e}^{{3x+2}}}\cdot (3x+2)'\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot (6{{x}^{5}}+0)={{e}^{{3x+2}}}\cdot 3\cdot ({{x}^{6}}+4)+{{e}^{{3x+2}}}\cdot 6{{x}^{5}}= \\ 3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+4+2{{x}^{5}}} \right)=3{{e}^{{3x+2}}}\cdot \left( {{{x}^{6}}+2{{x}^{5}}+4} \right)\end{matrix}

  47. Andzia pisze:

    Pochodna z: cos^2\pierwiastek z x +sin^2\pierwiastek z x.

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Czyli chodzi o pochodną funkcji \displaystyle {{cos }^{2}}\sqrt{x}+{{sin }^{2}}\sqrt{x}?

      No to liczę:
      \displaystyle \begin{matrix}\left( {{{{cos }}^{2}}\sqrt{x}+{{{sin }}^{2}}\sqrt{x}} \right)'=2cos \sqrt{x}\cdot \left( {cos \sqrt{x}} \right)'+2sin \sqrt{x}\cdot \left( {sin \sqrt{x}} \right)'= \\ 2cos \sqrt{x}\cdot (-sin \sqrt{x})\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)'+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \left( {\sqrt{x}} \right)'= \\-2sin \sqrt{x}cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}+2sin \sqrt{x}\cdot cos \sqrt{x}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{x}}}=0\end{matrix}

  48. Misia pisze:

    Dzień dobry panie Krystianie, czy mogłabym liczyć na pomoc w policzeniu pochodnej e^-x^2
    Z góry dziękuję i pozdrawiam

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Pochodna funkcji \displaystyle y={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}

      Jest to funkcja złożona, licząc jej pochodną, liczę pochodną funkcji “zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . to znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      Mam:

      \displaystyle \left( {{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}} \right)'={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-{{x}^{2}}} \right)'={{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}\cdot \left( {-2x} \right)=-2x{{e}^{-}}^{{{{x}^{2}}}}

  49. ela pisze:

    Witam a jak to rozwiązać ? :/ (x+1)(x+4)

    1. Joanna Grochowska pisze:

      f(x)=(x+1)(x+4)

      Pochodną tego można policzyć tak na prawdę na dwa sposoby:

      I SPOSÓB – z pochodnej iloczynu \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      \displaystyle \begin{matrix}\left( {\text{(x+1)(x+4)}} \right)\text{ }!!'!!\text{ =(x+1) }!!'!!\text{ }\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(x+4) }!!'!!\text{ =(1+0)}\cdot \text{(x+4)}+\text{(x+1)}\cdot \text{(1+0)=}\text{x+4+x+1=2x+5}\end{matrix}

      II SPOSÓB – przemnożyć przez siebie te dwa nawiasy (bez problemu mogę, gdyż w jednym jak i w drugim jest wielomian) i potem policzyć pochodną otrzymanego wielomianu korzystając z wzoru \displaystyle \left( {{{x}^{n}}} \right)'=n\cdot {{x}^{{n-1}}}

      \displaystyle \text{(x+1)(x+4)}={{x}^{2}}+4x+x+4={{x}^{2}}+5x+4

      \displaystyle \left( {{{x}^{2}}+5x+4} \right)'=\left( {{{x}^{2}}} \right)'+\left( {5x} \right)'+\left( 4 \right)'=2x+5\cdot 1+0=2x+5

  50. Lidka pisze:

    Witam Panie Krystianie. Czy w wyznaczaniu pochodnych takie cos jak: e^pi , traktujemy jako liczbę czyli wynik to zero czy w inny sposób?

    Dziękuje za odpowiedz
    Pozdrawiam

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Tak dokładnie, traktujemy to wyrażenie jako liczbę (nie ma Pani tutaj żadnej zmiennej „x”, tylko same stałe), więc pochodna tego to zero 🙂

  51. Czy ktoś by mógł mi pomóc w rozwiązaniu tych pochodnych?

    y=e^(1/cosx)
    y=a/2(e^(x/a)+e^(-(x/a)))
    y=arcsin(e^4x )
    y=e^√(7x^2 )
    y=log_7cos√(1+x)

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Przykład pierwszy: \displaystyle y={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}

      Jest to funkcja złożona, liczę pochodną funkcji „zewnętrznej”, czyli e^(coś) i muszę domnożyć jeszcze ją razy pochodna funkcji wewnętrznej, tego „coś więcej niż sam x” . To znaczy

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      Mam:
      \displaystyle \left( {{{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}} \right)'={{e}^{{\frac{1}{{cos x}}}}}\cdot \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)'

      Pochodną \displaystyle \left( {\frac{1}{{cos x}}} \right)'można policzyć np z wzoru na iloraz dwóch funkcji
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}


      {e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{1' \cdot \cos x - 1 \cdot {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} = {e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\frac{{ - \left( \{ - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{e^{\frac{1}{{\cos x}}}}\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}

    2. Joanna Grochowska pisze:

      Przykład drugi: \displaystyle y=\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})

      Jak rozumiem, liczbę “a” traktuję jako pewną stałą?

      No to liczę pochodną, stosując wzór: \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      \displaystyle y'=\left( {\frac{a}{2}({{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}})} \right)'=\frac{a}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}+{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)'=\frac{a}{2}\left[ {\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}} \right)'+\left( {{{e}^{{-\frac{x}{a}}}}} \right)'} \right]=
      \displaystyle \frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\left( {\frac{x}{a}} \right)'+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {-\frac{x}{a}} \right)'} \right]=\frac{a}{2}\left[ {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}\cdot \frac{1}{a}\cdot 1+{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\cdot \left( {-\frac{1}{a}} \right)\cdot 1} \right]=
      \displaystyle \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{a}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)

      Można ewentualnie trochę przekształcić wynik i otrzymać:
      \displaystyle \frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}-\frac{x}{a}}}}}}-{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}} \right)=\frac{1}{2}{{e}^{{^{{-\frac{x}{a}}}}}}\left( {{{e}^{{^{{\frac{{2x}}{a}}}}}}-1} \right)

    3. Joanna Grochowska pisze:

      Przykład trzeci: chodzi o \displaystyle y=arcsin({{e}^{4}}\cdot x) czy może \displaystyle y=arcsin({{e}^{{4x}}})

      Pierwszy przypadek:

      \displaystyle \left( {arcsin({{e}^{4}}\cdot x)} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{4}}\cdot x} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{4}}\cdot x)}}^{2}}}}}}\cdot {{e}^{4}}\left( x \right)'=\frac{{{{e}^{4}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{8}}{{x}^{2}}}}}}

      Drugi przypadek:

      \displaystyle \left( {arcsin({{e}^{{4x}}})} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{{({{e}^{{4x}}})}}^{2}}}}}}\cdot \left( {{{e}^{{4x}}}} \right)'=\frac{1}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}\cdot {{e}^{{4x}}}\left( {4x} \right)'=\frac{{4{{e}^{{4x}}}}}{{\sqrt{{1-{{e}^{{8x}}}}}}}

    4. Joanna Grochowska pisze:

      Przykład czwarty: \displaystyle y={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}

      Mamy tutaj złożenie kilku funkcji, dlatego korzystam z następujących wzorów:

      \displaystyle \left( {{{e}^{\Delta }}} \right)'={{e}^{\Delta }}\cdot \Delta '

      \displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)'=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta '

      gdzie znaczek \displaystyle \Delta oznacza po prostu “coś więcej niż sam x”.

      \displaystyle y'=\left( {{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}} \right)'={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \left( {\sqrt{{7{{x}^{2}}}}} \right)'={{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot \left( {7{{x}^{2}}} \right)'=\frac{{{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{2\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}\cdot 7\cdot 2x=\frac{{7x{{e}^{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}}}}{{\sqrt{{7{{x}^{2}}}}}}

    5. Joanna Grochowska pisze:

      Przykład piąty: \displaystyle lo{{g}_{7}}cos\sqrt{{1+x}}

      Tym razem mamy pochodną logarytmu, gdzie pod wyrażeniem logarytmowanym jest coś więcej niż sam x (oznaczam to przez \displaystyle \Delta ). Funkcja jest złożona i to kilkukrotnie. Dlatego stosuję na początku wzór :

      \displaystyle \left( {{{{log }}_{a}}\Delta } \right)'=\frac{1}{{\Delta ln a}}\cdot \Delta'

      Obliczając kolejne pochodne, Mam więc:

      \displaystyle \left( {{{{log }}_{7}}cos \sqrt{{1+x}}} \right)'=\frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {cos \sqrt{{1+x}}} \right)'=

      \displaystyle \frac{1}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \left( {-sin \sqrt{{1+x}}} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1+x}}} \right)'=

      \displaystyle -\frac{{sin \sqrt{{1+x}}}}{{cos \sqrt{{1+x}}\cdot ln 7}}\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {1+x} \right)'=

      \displaystyle -tg\sqrt{{1+x}}\cdot \frac{1}{{2\cdot ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}\cdot \left( {0+1} \right)=-\frac{{tg\sqrt{{1+x}}}}{{2ln 7\cdot \sqrt{{1+x}}}}

  52. paulina pisze:

    dlaczego pochodna z -x/(x-1)^2 wychodzi y'(x) = (x+1)/(x-1)^3

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Stosuję tutaj wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}

      No to rozpisując przykład:
      \displaystyle \left( {\frac{{-x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}} \right)'=\frac{{\left( {-x} \right)'\cdot {{{(x-1)}}^{2}}-\left( {-x} \right)\cdot \left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]'}}{{{{{\left[ {{{{(x-1)}}^{2}}} \right]}}^{2}}}}=\frac{{\left( {-1} \right)\cdot {{{(x-1)}}^{2}}+x\cdot 2\cdot (x-1)\cdot (x-1)'}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-{{{(x-1)}}^{2}}+2x\cdot (x-1)\cdot 1}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{(x-1)\cdot \left[ {-(x-1)+2x} \right]}}{{{{{(x-1)}}^{4}}}}=\frac{{-x+1+2x}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}=\frac{{x+1}}{{{{{(x-1)}}^{3}}}}

  53. Tomek pisze:

    Cześć
    Mam prośbę w sprawie rozwiązania równania różniczkowego metodą analityczną (krok po kroku):
    y`-0,5y=xe^(2x)
    z góry dziękuję

  54. dominika pisze:

    Chciałabym dowiedzieć się jak wyszedł ten wynik:y'(x) = 3 x^2 cos(1-x^2)+2 x^4 sin(1-x^2) z funkcji x^3cos(x^2-1)

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Tutaj by obliczyć pochodną podanej funkcji, wykorzystuję wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji:
      \displaystyle \left( {f\cdot g} \right)'=f'\cdot g+f\cdot g'

      Jedną z niech jest \displaystyle f={{x}^{3}}, drugą zaś \displaystyle g=cos ({{x}^{2}}-1), która jest funkcją złożoną.

      No to liczymy pochodną:
      \displaystyle \left( {{{x}^{3}}cos ({{x}^{2}}-1)} \right)'=\left( {{{x}^{3}}} \right)'\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)+\left( {{{x}^{3}}} \right)\cdot \left( {cos ({{x}^{2}}-1)} \right)'=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)+{{x}^{3}}\cdot \left( {-sin ({{x}^{2}}-1)} \right)\cdot ({{x}^{2}}-1)'=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-{{x}^{3}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)\cdot 2x=3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)

      Wynik jest jednak odrobinę inny od tego wskazanego w WolframAlpha
      http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3*cos%28x%5E2-1%29%29%27

      Widać, że wyrażenie w nawiasie – wielomian jest przedstawiony “odwrotnie”, jakby z minusem, co oczywiście można zrobić, czyli \displaystyle cos ({{x}^{2}}-1)=cos (-(1-{{x}^{2}}))lub też \displaystyle sin ({{x}^{2}}-1)=sin (-(1-{{x}^{2}}))
      I w tym miejscu korzystając z własności funkcji trygonometrycznych kąta ujemnego:
      \displaystyle \begin{matrix} cos (-\alpha )=cos (\alpha )sin (-\alpha )=-sin (\alpha )\end{matrix}

      Otrzymuję wynik zgodny z tym wskazanym z kalkulatorze:
      \displaystyle 3{{x}^{2}}\cdot cos ({{x}^{2}}-1)-2{{x}^{4}}\cdot sin ({{x}^{2}}-1)=3{{x}^{2}}\cdot cos (-(-{{x}^{2}}+1))-2{{x}^{4}}\cdot sin (-(-{{x}^{2}}+1))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})-2{{x}^{4}}\cdot (-sin (1-{{x}^{2}}))=3{{x}^{2}}\cdot cos (1-{{x}^{2}})+2{{x}^{4}}\cdot sin (1-{{x}^{2}})

  55. Karol pisze:

    Witam. Dostałem na egzaminie dwa przykłady, skorzystałem z kalkulatora on je oczywiście obliczył ale ja nadal nie wiem skąd wziął się wynik, oto one :
    1) (niestety nie wiem do czego dąży x bo się zamazało ale chyba do nieskończoności) lim(lm(1+4x^2))/x
    2) (też x chyba dąży do nieskończoności) lim(1-e^2x)/tg(x)
    Pozdrawiam Karol

  56. Marlena pisze:

    Dzień dobry.
    Pewnie pisze pod złym postem, forum, czy nie wiem jak to nazwać. Jednakże mam zadanie które nie bardzo wiem, jak rozwiązać. Liczę na Pańską pomoc 🙂

    Zad.: Dowieść,że dla xcR prawdziwa jest nierówność:
    a) 2xarctgx > ln(1+x^2)
    b) |arctgx – arctgy| <= |x-y|

    Dodam jeszcze, iż wiem, że jest to związane z Twierdzeniem Lagrange'a ale nawet z tą wiedzą nic mądrego mi nie wychodzi 🙁

  57. Anna pisze:

    Dzień dobry!

    Muszę policzyć pierwszą i drugą pochodną z y=lnx/√x wygląda niewinnie ale jest niezwykle uciążliwa. Bardzo proszę o pomoc Panie Krystianie

    1. Kamil Kocot pisze:

      y equals fraction numerator ln x over denominator square root of x end fraction

      Należy skorzystać ze wzoru na dzielenie

      open parentheses f over g close parentheses to the power of apostrophe equals fraction numerator f apostrophe g minus f g apostrophe over denominator g squared end fraction

      Dostaniemy

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe end cell equals cell fraction numerator open parentheses ln x close parentheses apostrophe times square root of x minus ln x times open parentheses square root of x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses square root of x close parentheses squared end fraction equals fraction numerator \begin display style 1 over x end style times square root of x minus ln x times \begin display style fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x end fraction end style over denominator x end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style fraction numerator square root of x over denominator x end fraction minus fraction numerator ln x over denominator 2 square root of x end fraction end style over denominator x end fraction times fraction numerator 2 square root of x over denominator 2 square root of x end fraction equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 2 x over denominator x end fraction minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style 2 minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction end cell end table

      I druga pochodna

      table attributes columnalign \right center \left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe end cell equals cell open parentheses fraction numerator \begin display style 2 minus ln x end style over denominator 2 x square root of x end fraction close parentheses to the power of apostrophe equals fraction numerator \begin display style open parentheses 2 minus ln x close parentheses apostrophe times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times open parentheses 2 x square root of x close parentheses apostrophe end style over denominator open parentheses 2 x square root of x close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style open parentheses negative 1 over x close parentheses times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times open parentheses 2 x to the power of bevelled 3 over 2 end exponent close parentheses apostrophe end style over denominator open parentheses 2 x to the power of \begin display style bevelled 3 over 2 end style end exponent close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style open parentheses negative 1 over x close parentheses times 2 x square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times 2 times 3 over 2 x to the power of bevelled 1 half end exponent end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 2 square root of x minus open parentheses 2 minus ln x close parentheses times 3 square root of x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 2 square root of x minus 6 square root of x plus 3 square root of x ln x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style negative 8 square root of x plus 3 square root of x ln x end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style square root of x open parentheses 3 minus 8 ln x close parentheses end style over denominator 4 x cubed end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator \begin display style 3 minus 8 ln x end style over denominator 4 x squared square root of x end fraction end cell end table

  58. Tomasz W. pisze:

    Witam. Mam problem z obliczeniem pochodnej dla f(x) = arcsin√1-x/1+x. Całe wyrażenie dzielenia jest pod pierwiastkiem.

  59. damian pisze:

    y=e^2x + x^2 + cos(4x^3-6)

    przy e jest do potęgi 2x.

    potrzebuje pomocy

  60. Aleksandra K. pisze:

    A dlaczego pochodna z ctgx+x=-ctg^2x ????????????

  61. pilarczyk123 pisze:

    chcialbym zapytac jako co traktujemy a/t przy funkcji cos t/a

  62. Paulina pisze:

    Mam pytanie
    dlaczego √x(1-2x^2) ma pochodną 1-10x^2/2√x ? Prosze o wytłumaczenie. Z gódy dziękuje 🙂

  63. Kasia pisze:

    Pomoże ktoś mam do obliczenia 2 pochodne : (sinx / sinx-cosx) i pierwiastek z 5 tgx -2ctgx. Z góry dziękuje za odpowiedź 🙂

  64. Karolina pisze:

    Dzień dobry, jak policzyć pochodną (x-1)^3(x-2) krok po kroku i dlaczego wyznacza się 3 przed nawias? Nie rozumiem tego. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie. Pozdrawiam

  65. KASIA pisze:

    pochodna sin(x^x) – krok po kroku, proszę !

  66. Dominik pisze:

    Mam pytanie, ile wynosi pochodna z \sqrt(2x-sinx(cos(x))^3)

  67. Michał pisze:

    Mama pytanie, jak bedzie wygladala pochodna z arcsin(2x-1)? Czy po tym jak “trafi” pod pierwiastek to (2x-1)^2 nalezy rozwinac jak rownanie kwadratowe?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pójdzie tak:

      {{left( arcsin left( 2x-1 right) right)}^{prime }}=frac{1}{sqrt{1-{{left( 2x-1 right)}^{2}}}}{{left( 2x-1 right)}^{prime }}=frac{1}{sqrt{1-left( 4{{x}^{2}}-4x+1 right)}}cdot 2=

      =frac{2}{sqrt{1-4{{x}^{2}}+4x-1}}=frac{2}{sqrt{-4{{x}^{2}}+4x}}=frac{2}{sqrt{4left( -{{x}^{2}}+x right)}}=frac{2}{sqrt{4}sqrt{x-{{x}^{2}}}}=

      =frac{2}{2sqrt{x-{{x}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{x-{{x}^{2}}}}

      Polecam: Kurs Pochodnych

  68. Kasia Peczyńska pisze:

    Hej:)
    Mam problem z policzeniem pochodnych II rzędu.
    Przykład wygląda tak:
    f(x,y)= 7- 4x/y – 2x^4y^3

    Byłabym wdzięczna za pomoc:)
    Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Hej. To pójdzie tak:

      f\left( x,y \right)=7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}}

      Pochodne cząstkowe I-go rzędu:

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-\frac{4}{y}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-2{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=

      =0-\frac{4}{y}-2{{y}^{3}}\cdot 4{{x}^{3}}=-\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}}

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7-\frac{4x}{y}-2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( 7 \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 2{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)=0-4x\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{y} \right)-2{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=

      =-4x\left( -\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)-2{{x}^{4}}\cdot 3{{y}^{2}}=\frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}}

      Pochodne cząstkowe II-go rzędu:

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=0-8{{y}^{3}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{3}} \right)=-8{{y}^{3}}\cdot 3{{x}^{2}}=-24{{x}^{2}}{{y}^{3}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y}-8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( -\frac{4}{y} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 8{{y}^{3}}{{x}^{3}} \right)=-4\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{1}{y} \right)-8{{x}^{3}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{3}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial x}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)-6{{y}^{2}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{4}} \right)=\frac{4}{{{y}^{2}}}-24{{x}^{3}}{{y}^{2}}

      \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}}-6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{4x}{{{y}^{2}}} \right)-\frac{\partial }{\partial y}\left( 6{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=4x\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{-2}} \right)-6{{x}^{4}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}} \right)=-\frac{8x}{{{y}^{3}}}-12{{x}^{4}}y

      Polecam także mój Kurs Video: Kurs Funkcje Wielu Zmiennych

  69. Katarzyna pisze:

    Mam takie zadanie i nie umię go rozwiązać prosze o pomoc Z góry dziękuję 🙂
    Znaleźć:
    ∂z/∂y dla danej funkcji:
    z=x^2 √((x+y)/(x-y))

  70. Ania pisze:

    mam pare zadan i nie wiem jak je rozwiazac

  71. Jolanta Lokajczyk pisze:

    Proszę o pomoc w obliczeniu pochodnej z funkcji f(x)=〖log〗_2^5 (x+x^3)/arctgx (tzn f(x)=log stopnia 2 w potędze 5 z ((x+x^3)/arctgx) ). Radzę sobie z takim zadaniem, gdy log nie jest w potędze. W tym przypadku nie mam pewności jak to ma być prawidłowo obliczone.

  72. Klaudia pisze:

    Panie Krystianie zwracam się z ogromną prośbą…:) Otóż chodzi mi o zbadanie funkcji(tzn.zb.wartości,gdzie funkcja rośnie,gdzie maleje) ,ekstrema,punkty stałe, maksima i minima:
    a)f(x)=Ax/(1+x),A>=2
    b)f(x)=2/3x+1/3A,A>=11

    1. Krystian Karczyński pisze:

      a) ‘A’ traktować trzeba jak stałą. Stosuję zasady i umowy podane w moim Kursie: Kurs Pochodne na Akademii

      f\left( x \right)=\frac{Ax}{1+x},\quad A\ge 2

      Najpierw dziedzina funkcji:

      {{1}^{0}}\quad Df:x\in R\backslash \{ -1 }

      {{2}^{0}}\quad {f}'\left( x \right)=\frac{{{\left( Ax \right)}^{\prime }}\left( 1+x \right)-Ax{{\left( 1+x \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A\left( 1+x \right)-Ax}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A+Ax-Ax}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=\frac{A}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}

      {{3}^{0}}\quad \frac{A}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}=0\quad /\cdot {{\left( 1+x \right)}^{2}}– mogę wykonać to mnożenie, ponieważ {{\left( 1+x \right)}^{2}}jest zawsze nieujemne

      A=0

      Ale stała A nie może być równa 0, ze względu na założenie na początku zadania A\ge 2. Czyli równanie nie ma rozwiązań, czyli pochodna nie ma miejsc zerowych.

      {{4}^{0}}Rysuję jej przybliżony wykres:

      Wykres pochodnej

      i piszę odpowiedź:

      {{5}^{0}}Odp. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, tzn. x\in R\backslash \{ -1 }.

      Nie osiąga żadnych ekstremów.

  73. kamil pisze:

    Witam, mam pytanie ile wynoszą pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z x^lny.

  74. zustek pisze:

    Co się stało z możliwością, zobaczenia krok po kroku jak jest wyliczana pochodna

  75. jonsi pisze:

    Panie Krystianie, a ile wynosi pochodna z f(x)=ln(x+/(ax-1))?

  76. Karcia20 pisze:

    Wiatm
    Mój problem polega na tym że kompletnie zapomniałam jak liczyło się pochodne, przykład podam napewno banalnie prosty, ale może uda mi się jakoś odświeżyć pamieć.
    [latex] cos^2[/latex](x) – [latex] sinus^2[/latex](x) .
    Z góry dziękuję za pomoc

  77. Paweł pisze:

    Witam
    Mam problem z obliczeniem całki x^3*e^(-2x^4). Jak sie do tego zabrac? Jak na razie ani przez podstawienie ani przez częsci nic nie wychodzi chocbym nie wiem jak kombinował. Bardzo proszę o pomoc. Chciałbym jeszcze zapytac jak narysowac wykres takiego “cuda”?

  78. adam pisze:

    czy przypadkiem współczynnik przy drugiej pochodnej nie powinien być (1/a)(1/a-1) ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, że powinien, gamoń ze mnie. Poprawiłem, wielkie dzięki za korektę…

  79. ola pisze:

    nie ma pojęcia, jaki może być wzór na n-tą pochodną pierwiastka (dowolnego stopnia). Czy mogę liczyć na pomoc?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Policzę kilka “pierwszych” pochodnych i zauważę ogólny wzór, O.K.?

      \sqrt[a]{x}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{a}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}{{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}{{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-1}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\prime \prime \prime }}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}}

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( 4 \right)}}={{\left( \frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right){{\left( {{x}^{\tfrac{1}{a}-3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\left( \tfrac{1}{a}-3 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-4}}

      I myślę, że jest już dosyć jasne, że pochodna dowolnego rzędu n z pierwiastka stopnia a równa jest:

      {{\left( \sqrt[a]{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-\left( n-1 \right) \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}=\frac{1}{a}\left( \tfrac{1}{a}-1 \right)\left( \tfrac{1}{a}-2 \right)\cdot \ldots \cdot \left( \tfrac{1}{a}-n+1 \right){{x}^{\tfrac{1}{a}-n}}

    2. ola pisze:

      super, dzięki

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Nie ma za co, zwłaszcza, że zrobiłem błąd przy liczeniu (już poprawiłem). Przepraszam!

  80. Kamil pisze:

    y(x)=2^ln|ax-1| oblicz y'(x)

    Mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?

  81. Karolina pisze:

    mam problem z obliczeniem pochodnej ((e^x)((x^2)-2x))/(x^4)

  82. Kasia pisze:

    jak obliczyć pochodną drugiego rzędu z x^(1/2)*lnx?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jeżeli dobrze zrozumiałem wyrażenie:

      y=\sqrt{x}ln x

      {y}'={{\left( \sqrt{x}ln x \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}ln x+\sqrt{x}{{\left( ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}ln x+\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}=

      =\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{1}}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{2\sqrt{x}}=\frac{2+ln x}{2\sqrt{x}}

      {y}''={{\left( \frac{2+ln x}{2\sqrt{x}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( 2+ln x \right)}^{\prime }}2\sqrt{x}-\left( 2+ln x \right){{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x}\cdot 2\sqrt{x}-\left( 2+ln x \right)2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{{{\left( 2\sqrt{x} \right)}^{2}}}=

      =\frac{\frac{2{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{x}^{1}}}-\frac{2+ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{2+ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{\frac{-ln x}{\sqrt{x}}}{4x}=\frac{-ln x}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{4x}=\frac{-ln x}{4x\sqrt{x}}

  83. Hubert pisze:

    Witam, mam pewien problem z pochodną z definicji w której i w liczniku i w mianowniku jest x. a mianowicie wygląda to tak : 2x-5/x-2 w punkcie 5. Czy mógłby Pan zapisac mi tylko początek ?
    Ogólnie mam tak:
    1) ta pochodna do oblicznia w pukcie x0=3
    2) i tę samą do oblicznia normlnie z definicji
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pokażę w punkcie {{x}_{0}}=5, dobrze?

      Poleci to tak:

      {f}'\left( 5 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{f\left( 5+\Delta x \right)-f\left( 5 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{2\left( 5+\Delta x \right)-5}{5+\Delta x-2}-\frac{2\cdot 5-5}{5-2}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{10+2\Delta x-5}{3+\Delta x}-\frac{5}{3}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{5+2\Delta x}{3+\Delta x}-\frac{5}{3}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{3\left( 5+2\Delta x \right)}{3\left( 3+\Delta x \right)}-\frac{5\left( 3+\Delta x \right)}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{15+6\Delta x-15-5\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\frac{\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\Delta x}{3\left( 3+\Delta x \right)}\frac{1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{1}{3\left( 3+\Delta x \right)}=\frac{1}{9}

  84. Agnieszka pisze:

    Pochodna jakaś kosmos – na kalkulatorze wychodzi ładny wynik, ale dochodzę do pewnego momentu i koniec :[
    (1/x)*e^(2x^2)
    Pomocy proszę!

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To poleci tak (metodami z mojego Kursu) :

      {{left( frac{1}{x}{{e}^{2{{x}^{2}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}{{e}^{2{{x}^{2}}}}+frac{1}{x}{{left( {{e}^{2{{x}^{2}}}} right)}^{prime }}=-frac{1}{{{x}^{2}}}{{e}^{2{{x}^{2}}}}+frac{1}{x}{{e}^{2{{x}^{2}}}}cdot {{left( 2{{x}^{2}} right)}^{prime }}=

      =-frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}+frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{x}cdot 4x=-frac{{{e}^{2{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}+4{{e}^{2{{x}^{2}}}}

  85. Grzegorz pisze:

    Jaka pochodna wyjdzie z y=(lnx)^ (1/x) ?

  86. Cezary Lech pisze:

    Witam mam problem z obliczeniem długości łuku spirali i nie wiem zbytnio jak za to się zabrać. Wychodzę do pana z zapytaniem o pomoc 😀 Zadanie brzmi następująco 😀 20. Oblicz długość łuku spirali o równaniu r=ae^k(fi), gdzie a>0,k>0 oraz w przedziale 0<(fi)<2\pi. Załącz szkic tego łuku. Z góry dziękuje za pomoc 😀

  87. Iga pisze:

    Witam Panie Krystianie,
    mam okropny problem w postaci policzenia ekstrema lokalnego funkcji f(x,y)=(x^2-y^2)e^x
    Nie wychodzi mi policzenie pochodnej po df/dx i df/dy 🙁
    Proszę o pomoc! 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}} \right)=\left[ \frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]{{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\frac{\partial }{\partial x}{{e}^{x}}=2x{{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}}={{e}^{x}}\left( 2x+{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right){{e}^{x}} \right)={{e}^{x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)={{e}^{x}}\left( -2y \right)=-2y{{e}^{x}}

  88. Piotrek pisze:

    witam, potrzebne obliczenie pochodnej jak dla mnie strasznej.
    f(x) = log2(3^x+x^1/3)*arcsinx/2

  89. Natalia pisze:

    Witam. Czy mógłby mi pan pomóc wyznaczyć ekstrema lokalne i calke nieoznaczoną funkcji f(x)=xexp(x)? Mam wielki problem z “exp”..

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. Te całe wielkie “exp” to po prostu funkcja edo tego co tam jest w nawiasie, czyli ma tu Pani funkcję: f\left( x \right)=x{{e}^{x}}.

  90. Ania pisze:

    Witam 🙂 mam problem z taką dziedziną : arcsin√9-x^2 + 1/sinπx, to pod pierwiastkiem wiadomo, jeśli chodzi o arcsin po rozpatrzeniu dwóch przypadków wyszły mi wszystkie liczby rzeczywiste o ile się nie mylę i nie jestem pewna co z sinusem… będę bardzo wdzięczna za pomoc 🙂

  91. Marcin pisze:

    Witam serdecznie :>

    czy w Pańskich kursach znajdują się gdzieś rzeczy dotyczące różniczkowalności funkcji w danym punkcie i zadania z parametrem z tym związane ?

    Z góry dziękuję za odpowiedź.

    Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, w Kursach nie ma, ale jest coś o tym na tym Wykładzie na blogu:

      https://blog.etrapez.pl/pochodne/badanie-istnienia-pochodnej-funkcji/

  92. Ola pisze:

    WItam 😀 Borykam się z przykładowym zadaniem z egzaminu, dotyczącego badania przbeiegu funkcji. Wygląda tak: sinx – sin^2x. Dziedzina = R. Pochodna to cosx – 2sinx cosx dziedzina pochodnej też rzeczywiste.. Problem mam z przyrównaniem do zera, nie wiem jakie bedą rozwiązania, proszę o pomoc!:)

  93. Magda pisze:

    Witam 🙂 nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  94. Grzesiek pisze:

    Witam .
    Mam problem z granicą lim x->infinity (x-x^2 *ln(1+1/x))
    Próbowałem ja na różne sposoby , wychodziło mi 2, lub 0 . Opowiedz w książce jak i na wolframie to 1/2
    Pozdrawiam

    1. Grzesiek pisze:

      Nieaktualne, rozwiązałem

  95. witek pisze:

    Witam, mam problem z pochodną
    (1/x+linx)^1/2 /3x^4+x^3+1
    proszę o pomoc

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      y equals fraction numerator square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root over denominator 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 end fraction

      Rozwiązanie:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe times v minus u times v apostrophe over denominator v squared end fraction

      y apostrophe equals fraction numerator open parentheses square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root close parentheses apostrophe times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses minus square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator 2 square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction end style times open parentheses \begin display style 1 over x end style plus ln x close parentheses apostrophe times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses minus square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root times open parentheses 12 x cubed plus 3 x squared plus 0 close parentheses over denominator open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator 2 square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction end style times open parentheses negative \begin display style 1 over x squared end style plus \begin display style 1 over x end style close parentheses times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses minus open parentheses 12 x cubed plus 3 x squared close parentheses times square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root over denominator open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator 2 square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction end style times \begin display style fraction numerator negative 1 plus x over denominator x squared end fraction end style times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses minus open parentheses 12 x cubed plus 3 x squared close parentheses times square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root over denominator open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses x minus 1 close parentheses times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses minus 2 x squared times open parentheses 12 x cubed plus 3 x squared close parentheses times open parentheses \begin display style 1 over x end style plus ln x close parentheses over denominator 2 x squared times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses squared times square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction equals

      equals fraction numerator 3 x to the power of 5 plus x to the power of 4 plus x minus 3 x to the power of 4 minus x cubed minus 1 minus 24 x to the power of 4 minus 6 x cubed minus open parentheses 24 x to the power of 5 plus 6 x to the power of 4 close parentheses times ln x over denominator 2 open parentheses x times open parentheses 3 x to the power of 4 plus x cubed plus 1 close parentheses close parentheses squared times square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction equals

      equals fraction numerator 3 x to the power of 5 minus 26 x to the power of 4 minus 7 x cubed plus x minus 1 minus open parentheses 24 x to the power of 5 plus 6 x to the power of 4 close parentheses times ln x over denominator 2 times open parentheses 3 x to the power of 5 plus x to the power of 4 plus x close parentheses squared times square root of \begin display style 1 over x end style plus ln x end root end fraction

  96. Krystian pisze:

    Dzień dobry.

    Czy w Pańskich kursach znajdę coś takiego jak “ZASTOSOWANIE CAŁEK” ? Chodzi mi głównie o :
    – Pole obszaru ograniczonego przez funkcje (krzywe, sinusoidy, parabole pionowe/poziome itd.)
    – Długość łuku krzywej
    – Objętość bryły/bryły obrotowej,
    – Pole powierzchni bryły obrotowej.

    Pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      Tak. To jest w Kursie Całek Oznaczonych, Niewłaściwych i Zastosowań Całek. Zapraszam:

      https://etrapez.pl/wybor-kursu/kurs-calki-oznaczone-niewlasciwe-i-zastosowania-calek/

  97. Tomek pisze:

    WItam, mam problem z pochodną czastkową (x + y) ^y . Jaka będzie wartość pochodnej po x i po y? Bardzo prosze o pomoc

  98. Agata pisze:

    Witam. Czy mógłby mi Pan podpowiedzieć jak obliczyć pochodną wyrażenia: Lnx^Lnx ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam. No cóż, tą samą metodą co każdą sytuację typu (funkcja)^(funkcji), czyli:

      {{\left( {{\left( ln x \right)}^{ln x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}} \right)}^{\prime }}={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}{{\left( ln x\cdot ln \left( ln x \right) \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( {{\left( ln x \right)}^{\prime }}ln \left( ln x \right)+ln x{{\left( ln \left( ln x \right) \right)}^{\prime }} \right)={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( \frac{1}{x}\cdot ln \left( ln x \right)+ln x\frac{1}{ln x}{{\left( ln x \right)}^{\prime }} \right)=

      ={{e}^{ln x\cdot ln \left( ln x \right)}}\left( \frac{ln \left( ln x \right)}{x}+\frac{1}{x} \right)={{\left( ln x \right)}^{ln x}}\left( \frac{ln \left( ln x \right)+1}{x} \right)=\frac{{{\left( ln x \right)}^{ln x}}\left( ln \left( ln x \right)+1 \right)}{x}

    2. Agata pisze:

      Dziękuję za odpowiedź. Nieoceniona jest Pana pomoc w postaci kursów, podpowiedzi i zadań.

  99. Marek pisze:

    Mógłby Pan wytłumaczyć dlaczego pochodna z x(x-1)^3 wynosi (x-1)^2(4x-1)^3 a nie 3x^2+6x+3? Moje rozumowanie: pochodna=3(x-1)^2*1

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tutaj na początku trzeba skorzystać z wzoru na pochodną mnożenia. Polecam mój Kurs , tam powolutku tłumaczę od podstaw 🙂

  100. Magda pisze:

    Witam 🙂 nie mogę sobie dać rady z dwoma przykładami z równań różniczkowych i proszę o pomoc: 1. y’=2y*(x-2) 2. y”-(x^2+1)=2xy’
    Będę wdzięczna za pomoc POZDRAWIAM Magda

  101. Jakub pisze:

    Witam, mam do obliczenia następującą pochodną

    .

    w przykładzie zamias “log” jest “ln” niewiem czy to coś zmienia, a już kompletnie nie wiem jak się za to zabrać :/ Z góry dziękuję za pomoc, szczególnie jeżeli ktoś mi to rozpisze. Pozdrawiam 🙂

  102. Paweł pisze:

    Witam.Mam do obliczenia kilka pochodnych, ogólnie wzory,rozkład mam obcykane co i jak się robi.Jednak problem zaczyna pojawiać się wtedy kiedy zamiast literki x pojawiają się t,v,z itp.Nie do końca wiem jak mam się zachować w takim przykładzie jak : lnsqrt(1+t)/(1-t). Kiedy mam te literki traktować jako stałe a kiedy jako zmienne?

  103. monika pisze:

    Witam Panie Krystianie ! mam problem z obliczeniem 1 i 2giej pochodnej z lnx/sqrt(x). 🙁 potrzebne mi to do punktow przegiecia i wypukłości.. wynik z kalkulatora mi nie pomaga, ani nawet kroki.. prosze o pomoc

  104. Sylwia pisze:

    Witam. mam do obliczenia pochodną arcctg(1/sqrt(x)) jest to funkcja złożona wiadomo , gdy wstawiłam do kalkulatora wychodzi na początku inny wynik http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427ehf53quid60
    ale gdy wciskam step by step solution to na końcu jest inny wynik (ten mi wyszedł) jak z tamtego przejść na ten wynik z linku ?

  105. Ania pisze:

    Witam,
    czy mógłby mi ktoś powiedzieć ( i wytłumaczyć)
    ile wynosi pochodna z f(x)=log 10x ?
    Chyba nie umiem tego wpisać do kalkulatora pochodnych albo czegoś nie rozumiem.
    Z góry dziękuje za pomoc

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pochodna z log 10xto pochodna z logarytmu o podstawie 10 , liczymy ją ze wzoru: {{\left( {{log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{xln a}, czyli:

      {{\left( log 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10xln 10}{{\left( 10x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{10xln 10}\cdot 10=\frac{1}{xln 10}

      Problem z kalkulatorem jest taki, że on czyta “po amerykańsku”, a tam logoznaczana logarytm NATURALNY (a u nas ln).

      Trzeba więc kalkulatorowi “zapodać” odpowiednią podstawę, np. wpisując: log_10(x)

  106. aga pisze:

    mam pewien problem robię zadanie z fizyki i mam wzór ogólny: I=1/8md^2. Muszę obliczyc pochodną I/d oraz I/m czy może mo ktoś pomóc ????Proszę

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To będzie tak:

      l=\frac{1}{8}m{{d}^{2}}

      \frac{\partial l}{\partial d}=\frac{\partial }{\partial d}\left( \frac{1}{8}m{{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}m\frac{\partial }{\partial d}\left( {{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}m\cdot 2d=\frac{1}{4}dm

      \frac{\partial l}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial m}\left( \frac{1}{8}m{{d}^{2}} \right)=\frac{1}{8}{{d}^{2}}\frac{\partial }{\partial d}\left( m \right)=\frac{1}{8}{{d}^{2}}

  107. Justyna pisze:

    Witam, czy byłaby możliwość pomocy z taką pochodną, bo za nic nie mogę jej wyliczyć, próbowałam sto razy i wychodzą mi jakieś dziwne, do niczego nie podobne wyniki.

    Pochodna:
    U(q)=D(1-e^(-S(q-q_0)))^2

    Z góry dziękuję za pomoc.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Niestety, nie bardzo rozumiem zapis. D i S to są jakieś funkcje? Wiadomo, jakie? {{q}_{_{0}}}to stała?

    2. Justyna pisze:

      D,s,q0 to stałe. Przepraszam bardzo. Zapomniałam dopisać.

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Ok. Czyli całość wygląda, jak rozumiem, tak:

      U\left( q \right)=D{{\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)}^{2}}

      No to wystarczy teraz nie spanikować i spokojnie policzyć pochodną:

      {U}'\left( q \right)=2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right){{\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)}^{\prime }}=2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right){{\left( -S\left( q-{{q}_{0}} \right) \right)}^{\prime }}=

      =2D\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)\left( -S \right){{\left( q-{{q}_{0}} \right)}^{\prime }}=2DS{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}}\left( 1-{{e}^{-S\left( q-{{q}_{0}} \right)}} \right)

    4. Justyna pisze:

      dziękuję bardzo.

  108. Paula pisze:

    Mógłby mi Pan pomóc w krotkim zadanku y=\sqrt((a+bx)/(a-bx)) y’=? tzn wynik wiem jaki wyjść powinien jednak przy obliczeniach wychodzi mi zupełnie co innego

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne:

      y=\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}

      ={{\left( \sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}{{\left( \frac{a+bx}{a-bx} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\frac{\sqrt{a+bx}}{\sqrt{a-bx}}}\frac{{{\left( a+bx \right)}^{\prime }}\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right){{\left( a-bx \right)}^{\prime }}}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{\sqrt{a-bx}}{2\sqrt{a+bx}}\frac{b\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right)\left( -b \right)}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{a+bx}}\frac{ba-{{b}^{2}}x+ba+{{b}^{2}}x}{{{\left( a-bx \right)}^{\frac{3}{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{a+bx}}\frac{2ba}{\sqrt{a-bx}\left( a-bx \right)}=

      =\frac{ba}{\sqrt{a+bx}\sqrt{a-bx}\left( a-bx \right)}=\frac{ba}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}{{x}^{2}}}\left( a-bx \right)}

      Żeby wykombinować taką postać, jaka jest w WolframAlpha można polecieć tak:

      y=\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}

      {y}'={{\left( \sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}{{\left( \frac{a+bx}{a-bx} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{{{\left( a+bx \right)}^{\prime }}\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right){{\left( a-bx \right)}^{\prime }}}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{b\left( a-bx \right)-\left( a+bx \right)\left( -b \right)}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{ba-{{b}^{2}}x+ba+{{b}^{2}}x}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}\frac{2ba}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}}=

      =\frac{ba}{{{\left( a-bx \right)}^{2}}\sqrt{\frac{a+bx}{a-bx}}}

  109. Łukasz pisze:

    Przepraszam, co oznacza skrót “sec” i “csc”? przy obliczniu pochodnych z 1/cos^x i – 1/sin^x

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Funkcja sec to tzw. “secans”. sec x=\frac{1}{cos x}

      Funkcja csc to tzw. “cosecans” csc x=\frac{1}{sin x}

  110. Katarzyna pisze:

    widzę, że niestety źle musiałam wpisać formułę, więc wpisuję pochodną jeszcze raz:
    f(x)=cosx^sinx^3 (czyli cos x podniesiony do potęgi sinx^3)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, zakładam, że chodzi o funkcję: fleft( x right)={{left( cos x right)}^{sin {{x}^{3}}}}

      Jedziemy, sposobem z mojego Kursu Video:

      {f}'left( x right)={{left( {{left( cos x right)}^{sin {{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( {{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}} right)}^{prime }}={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}{{left( sin {{x}^{3}}ln cos x right)}^{prime }}=

      ={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}left( {{left( sin {{x}^{3}} right)}^{prime }}ln cos x+sin {{x}^{3}}{{left( ln cos x right)}^{prime }} right)={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}left( cos {{x}^{3}}cdot {{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}ln cos x+sin {{x}^{3}}frac{1}{cos x}{{left( cos x right)}^{prime }} right)=

      ={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}left( 3{{x}^{2}}cos {{x}^{3}}ln cos x+sin {{x}^{3}}frac{1}{cos x}left( -sin x right) right)={{e}^{sin {{x}^{3}}ln cos x}}left( 3{{x}^{2}}cos {{x}^{3}}ln cos x-tgxsin {{x}^{3}} right)

      Z pochodną drugiego rzędu już wymiękłem, przepraszam, p. Katarzyno.

    2. Katarzyna pisze:

      Dziękuję za odpowiedź. Nie spodziewałam się, że to jest aż TAKIE trudne, szczególnie, że nie jestem na studiach matematycznych. Bardzo mi Pan pomógł.
      Pozdrawiam, Katarzyna

  111. Katarzyna pisze:

    Witam, mam problem z pochodną: f(x)=cos[latex] x^sin[latex] x^3[/latex][/latex]. Muszę obliczyć pochodne 1 i 2 stopnia.
    Proszę o pomoc

  112. Paulina pisze:

    Witam, mam taki problem próbuję wyliczyć pochodną z y=x^2*2^x*sinx, kompletnie nie wiem jak się do tego zabrać. Bardzo proszę o pomoc.

  113. Ada pisze:

    Potrzebuje pomocy obliczyć drugą pochodną funkcji: f(x)=e^3x^2+2x, wszystko po “e” jest w jej potędze.?

    1. Michał pisze:

      jeżeli chodzi Ci o pochodną z czegoś takiego [e^(3x)]^(2+2x) to po prostu mnożysz wykładniki i masz e^[3x*(2+2x)] a z tego to już nie problem pochodną wziąć 😉

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Jeżeli miało być tak:

      f\left( x \right)={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}

      to będzie tak:

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 6x+2 \right)

      {f}''\left( x \right)={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 6x+2 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{3{{x}^{2}}+2x}} \right)}^{\prime }}\left( 6x+2 \right)+{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 3{{x}^{2}}+2x \right)}^{\prime }}\left( 6x+2 \right)+{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{\prime }}={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}{{\left( 6x+2 \right)}^{2}}+6{{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}=

      ={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left[ {{\left( 6x+2 \right)}^{2}}+6 \right]={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 36{{x}^{2}}+24x+4+6 \right)={{e}^{3{{x}^{2}}+2x}}\left( 36{{x}^{2}}+24x+10 \right)

  114. kacper pisze:

    (sin(2x-1))’
    dlaczego w wyniku jest 2cos(1-2x), a nie 2cos(2x-1)??

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To ten sam wynik.

      Cosinus jest funkcją parzystą, czyli cos x=cos \left( -x \right).

      Czyli: cos \left( 2x-1 \right)=cos \left[ -\left( 2x-1 \right) \right]=cos \left( -2x+1 \right)=cos \left( 1-2x \right)

      Niestety, taki wątpliwy “urok” kalkulatorów, że czasami przedstawiają wynik nie w tej postaci, w której nam wychodzi z “naszych” algorytmów liczenia.

    2. kacper pisze:

      Dzięki !!
      Jakie to proste 😀

  115. Ania pisze:

    Dzień dobry. Mam do obliczenia takie pochodne sin^2*3x oraz cos^2*3x. W książce odpowiedź do pierwszej funkcji 6sin6x, a do drugiej -6sin6x, kiedy mnie cały czas uparcie wychodzi 6sin3xcos3x oraz 6cos3xsin3x. Nie mam pojęcia co dzieję się w obu przypadkach z cosinusem,jaki wzór tu zastosowano… Bardzo proszę o pomoc!

  116. Krystian pisze:

    Mam pytanie , dla mnie dosyć ważne x^2*2^x*sinx jak obliczyć z tego pochodną , aby wyszło coś takiego y'(x) = 2^x x (x cos(x)+(x log(2)+2) sin(x)) . Nie mam pojęcia z jakiego wzoru pan to obliczył , gdyż w kursie w drugiej lekcji nie było żadnego przykładu z pochodną z trzema czynnikami pomnożone przez siebie , próbowałem ze wzoru na mnożenie ale mi nie wyszło PROSZĘ O POMOC

    1. Damian M pisze:

      Ziom, wzór na pochodna 3 czynnikow wydlada tak, mniej wiecej. fx-1czynnik, gx-2czynnik, tx-3czynnik
      a więc masz y’= fx’*gx*tx + fx*gx’*tx + fx*gx*tx’

  117. Dominika pisze:

    Witam, mam prośbę, męcze się z zadaniem już pare dni i nie moge rozwiązać, mogę liczyć na pomoc?
    Obliczyć pochodną:
    (a/b)^x * (b/x)^a * (x/a)^b , gdzie a,b>0

  118. Magda pisze:

    witam, mam problem z obliczeniem pochodnych arcsin^9 4x i log3(cosx) . Moge liczyc na pomoc?

  119. Dominika pisze:

    Witam Mam mały problem z matematyką .
    Mianowicie dostałam zadanie na pierwszym roku studiów i mam z nim ogromny kłopot.
    Lim=(1/x-1/sinx) oczywiscie x dąży do zera. Czy mogę liczyć na szczegółowe rozwiązanie z wytłumaczeniem krok po kroku ?

  120. Piotrek pisze:

    Witam Panie krystianie czy mógłbym liczyć na pomoc w zadaniach nr 36,37 z kursu pochodnych ? mianowicie chodzi mi o przykład
    (lnx)^x oraz (1+x)^sinx . Z góry Dziękuje i Pozdrawiam

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      Pierwszy przykład rozwiązany został tutaj:

      https://blog.etrapez.pl/pochodne/kalkulator-do-pochodnych/#comment-59660

      Drugi liczymy w sposób analogiczny:

      y equals open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of sin x end exponent equals e to the power of ln open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of sin x end exponent end exponent equals e to the power of sin x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses end exponent

      y apostrophe equals e to the power of sin x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses end exponent times open parentheses sin x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses close parentheses apostrophe equals e to the power of sin x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses end exponent times open parentheses open parentheses sin x close parentheses apostrophe times ln open parentheses 1 plus x close parentheses plus sin x times open parentheses ln open parentheses 1 plus x close parentheses close parentheses apostrophe close parentheses equals

      e to the power of ln open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of sin x end exponent end exponent times open parentheses cos x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses plus sin x times fraction numerator 1 over denominator 1 plus x end fraction times open parentheses 1 plus x close parentheses apostrophe close parentheses equals

      equals open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of sin x end exponent times open parentheses cos x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses plus fraction numerator sin x over denominator 1 plus x end fraction times open parentheses 0 plus 1 close parentheses close parentheses equals

      open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of sin x end exponent times open parentheses cos x times ln open parentheses 1 plus x close parentheses plus fraction numerator sin x over denominator 1 plus x end fraction close parentheses

  121. Kamil pisze:

    Witam
    mam wzór g=4pi^2*n^2(l+d/2)/t^2 mam niepewność pomiaru oszacować metodą rożniczkowania wzoru, delta g=|dg/dt|* delta t + |dg/dd| * delta d+ |dg/dl|* delta l = ?
    mam wzór dg/dt=-8pi^2n^2(l+d/2)/t^3. a jak policzyc |dg/dd| i |dg/dl| czy mógłby mi ktoś pomóc ?

  122. konrad pisze:

    Mam wielki problem z przykładem z mojego kolokwium, mianowicie: Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: y= 2x/x^2+1, oraz funkcji y= x*sqrt(4 – x^2). W pierwszej funkcji znak “/” zastępuje kreskę ułamkową. Bardzo proszę o pomoc z tymi przykładami. Będę bardzo wdzięczny.

  123. Łukasz pisze:

    hmm to teraz wszystko jasne, nie wiedziałem, że ln10 to stała. Dziękuje za rozwiązanie.

  124. Łukasz pisze:

    Witam, nie mogę rozwiązać przykładu 7 z Twierdzenia de L’Hospitala, a mianowicie: lim x->nieskończoność x^3/10^x.
    W mianowniku wychodzi mi jakieś 10^x razy ln10 z wzoru na pochodną a^x. Kolejna pochodna z tego to jakieś cuda na kiju :D.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Eeeeee tam, jakie cuda na kiju, prościutka pochodna. ln10 to jest zwykła stała, taka sama jak 2 , albo 15 .

      Robi się tak:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{x}^{3}}}{{{10}^{x}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3{{x}^{2}}}{{{10}^{x}}ln 10}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{{{\left( 3{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{10}^{x}}ln 10 \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{3{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{ln 10{{\left( {{10}^{x}} \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{6x}{{{10}^{x}}{{\left( ln 10 \right)}^{2}}}\underset{H}{\overset{\left[ \tfrac{\infty }{\infty } \right]}{\mathop{=}}}\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{6}{{{10}^{x}}{{\left( ln 10 \right)}^{3}}}=0

  125. michał pisze:

    Panie Krystianie, skorzystałem z Pana kalkulatora dla przykładu pochodnej y=ln(x+\sqrt(x^2+1)) i otrzymałem prawidłowy wynik (skonfron\towałem go z odpowiedzią w mojej książce do analizy matematycznej). Z przykładem tym męczę się już jakiś czas i nie wiem jak dojść do końcowego, najbardziej uproszczonego wyniku wyniku. Bardzo proszę o pomoc i pozdrawiam serdecznie, ten kalkulator to wspaniała sprawa : )

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, już pokazuję krok po kroku:

      y=ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)
      {y}'={{\left( ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( {{\left( x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \right)=
      =\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( {{\left( x \right)}^{\prime }}+{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }} \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }} \right)=
      =\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\cdot 2x \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=\frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\frac{x}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=
      =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\frac{x}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}

    2. michał pisze:

      Serdecznie dziękuję Panu za pomoc. Pozdrawiam.

  126. anna pisze:

    czy mogłby ktoś napisać ile wynosi pochodan po x1 i po x2 ze wzroru (x1 do potęgi 1/3 + x2 do potęgi 1/3 )^3

    1. Krystian Karczyński pisze:

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{2}}^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}

    2. anna pisze:

      Dziękuję bardzo za odpowiedż, z tym, że nie rozumiem dlaczego pochodna po x1 (x1 do potegi 1/3+x2 do potęgi1/3 ) to jest 1/3x1do potęgi2/3 a nie do potęgi (-2/3 )? wydawało mi się że wzór to alfa x alfa-1

    3. anna pisze:

      i jeszcze mam pytanie (K+L)do potęgi 1/2 to pochodna po K to 1/2(K+L)do potęgi(-1*/2)*1?
      a pochodna po L to 1/2 (K+L)do potęgi(-1/2)*1?

    4. Krystian Karczyński pisze:

      Bo mi się pomyliło… Powinno być oczywiście (tak jak Pani pisze):

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}}{\sqrt[3]{{{x}_{1}}^{2}}}

      \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{3}} \right)=3{{\left( {{\left( {{x}_{1}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}} \right)}^{2}}\cdot \frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)=3{{\left( {{x}_{1}}^{\tfrac{1}{3}}+{{x}_{2}}^{\tfrac{1}{3}} \right)}^{2}}\cdot \frac{1}{3}{{x}_{1}}^{-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( \sqrt[3]{{{x}_{1}}}+\sqrt[3]{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}}{\sqrt[3]{{{x}_{2}}^{2}}}

  127. aldan5 pisze:

    Witam,
    Trochę poza tematem, ale może ktoś pomoże w rozwiązaniu zadań:
    Witam, czy ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu kilku zadań? Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi:
    a) x+27y=27, y=0, x=-3, x=2
    b) y=x/27, y=0, x=-2, x=-1
    wystarczy podać co ma być pod całką, dalej już łatwo pójdzie.
    a także:
    wierzchołki figury są w punktach:
    A1 (27; 3;6); A2( 2; 27; 1) ; A3(-27;0; 1) i A4(-4; 6;-27).
    znaleźć:
    1. długość krawędzi A1A2
    2. kąt między krawędziami A1A1 i A1A3
    3. równanie krawędzi A1A4
    4. równanie ściany A1,A2,A3
    5. kąt pomiędzy krawędzią A1A4 a ścianą A1,A2
    6. pole ściany A1,A2,A3
    7. pojemność figury
    Jeżeli ktoś ma jakiś podobny przykład rozwiązany może być, najważniejsze mi poznać zasadę rozwiązania takiego typu zadania…
    Będę bardzo bardzo wdzięczna za pomoc.

  128. aldan5 pisze:

    i jeszcze jedno pytanko:
    z=lnx+cos27y-(27x/27y) czy pochodna z’=(1/x)-(1/y)? 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie. To jest funkcja dwóch zmiennych (x i y). Będzie miała zatem dwie pochodne cząstkowe:

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}

      \frac{\partial z}{\partial y}=-27sin \left( 27y \right)+\frac{x}{{{y}^{2}}}

  129. Natalia pisze:

    Czy ktoś może mi podpowiedzieć jaka będzie pochodna po x1 z lnx1+x2 oraz pochodna po x2 z tej samej funkcji?

  130. aldan5 pisze:

    jak policzyć pochodną układu? y= {x=ln(27+t^2), y=2sin^28t

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To nie jest układ, to jest JEDNA funkcja dana w postaci parametrycznej 🙂

      W kalkulatorze na tej stronie się nie da, ale można użyć tego:

      Kalkulator do pochodnych funkcji parametrycznych

    2. aldan5 pisze:

      dzięki za pomoc 🙂

  131. Natalia pisze:

    jak w tym programie policzyć pochodną po x1 z lnx1+x2 oraz pochodna po x2 z tej samej funkcji?

  132. angelika pisze:

    Witam,

    mam problem z pochodną cząstkową z/y:
    z=x^2*pierwiastek z (x+y/x-y)

    Bardzo proszę o pomoc,
    pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, bardzo proszę:

      z={{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2}}\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)={{x}^{2}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\sqrt{\tfrac{x+y}{x-y}}}\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=

      ={{x}^{2}}\frac{1}{2\tfrac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x-y}}}\frac{\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x+y \right)\left( x-y \right)-\left( x+y \right)\tfrac{\partial }{\partial y}\left( x-y \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=

      =\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{x-y+x+y}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{x-y}}{2\sqrt{x+y}}\frac{2x}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}{{\left( x-y \right)}^{2}}}

      Jakby coś było niejasne, proszę dać znać 🙂

    2. Mateusz pisze:

      Witam. Panie Krystianie od 2 dni nurtuje mnie pewien problem, który polega na pewnych pochodnych. Otóż mam problem z rozwiązanie pochodnych cząstkowych ( I i II rzędu ) oczywiście potrzebnych do obliczenia eksteremum funkcji. Oto funkcja :

      z = e ^ – x ( y ^ 2 – 2x ). Nie wychodzą mi pochodne cząstkowe. Drugi problem to : Oblicz ekstermum funkcji : z = x ^ 4 + y ^ 4 – 2 x ^ 2 – 2 y ^ 2 + 4xy. Dostalem takie zadanie na egzmainie i do dzisiaj nie mogę się z tym uporać.

      Bardzo proszę o pomoc. Pozdrawiam.

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Co do pierwszego przykładu, to trochę się rozmachnąłem i zrobiłem cały. Mam nadzieję, że dobrze odczytałem Pana zapis.

      Jak rozumiem, chodzi o funkcję: z={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)

      Liczę:

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=

      =-{{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right)+{{e}^{-x}}\left( -2 \right)={{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x \right) \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( {{y}^{2}}-2x \right)=2y{{e}^{-x}}

      Teraz układ równań:

      \{ \begin{matrix}
      & {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=0\quad /:{{e}^{-x}}\\
      & 2y{{e}^{-x}}=0\quad /:{{e}^{-x}}\end{matrix}

      \{ \begin{matrix}
      & -{{y}^{2}}+2x-2=0 \\
      & 2y=0\quad \Rightarrow \ y=0 \end{matrix}

      Czyli biorąc pierwsze równanie:

      -{{0}^{2}}+2x-2=0

      2x-2=0

      2x=2\quad /:1

      x=1

      Mój punkt stacjonarny ma zatem współrzędne: {{P}_{1}}\left( 1,0 \right)

      Teraz druga część zadania:

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]=

      =\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial x}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=

      =-{{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)+{{e}^{-x}}\cdot 2={{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right)

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left[ {{e}^{-x}}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right) \right]={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( -{{y}^{2}}+2x-2 \right)=-2y{{e}^{-x}}

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)=2y\frac{\partial }{\partial x}\left( {{e}^{-x}} \right)=-2y{{e}^{-x}}

      \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial y\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y{{e}^{-x}} \right)={{e}^{-x}}\frac{\partial }{\partial y}\left( 2y \right)=2{{e}^{-x}}

      Tworzę z tych pochodnych cząstkowych drugiego rzędu odpowiedni wyznacznik:

      W=\left| \begin{matrix}
      {{e}^{-x}}\left( {{y}^{2}}-2x+4 \right) & -2y{{e}^{-x}} \\
      -2y{{e}^{-x}} & 2{{e}^{-x}} \end{matrix} \right|

      Podstawiam do niego współrzędne punktu stacjonarnego:

      W\left( {{P}_{1}} \right)=\left| \begin{matrix}
      {{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1+4 \right) & -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} \\
      -2\cdot 0\cdot {{e}^{-1}} & 2{{e}^{-1}} \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}
      2{{e}^{-1}} & 0 \\
      0 & 2{{e}^{-1}} \end{matrix} \right|={{\left( 2{{e}^{-1}} \right)}^{2}}

      Wyznacznik jest większy od zera, a \frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}w tym punkcie także przyjmuje wartość większą od zera, zatem w punkcie {{P}_{1}}\left( 1,0 \right)funkcja osiąga minimum.

      {{z}_{min }}={{e}^{-1}}\left( {{0}^{2}}-2\cdot 1 \right)=-2{{e}^{-1}}=-2\cdot \frac{1}{e}=-\frac{2}{e}

    4. Mateusz pisze:

      Bardzo dziękuję panie Krystianie odpowiedż otrzymałem dzień przed egzamine poprawkowym co pomoglo rozwiązać jeden problem 🙂 Pozdrawiam serdecznie !!!

    5. Krystian Karczyński pisze:

      No to dorzucę jeszcze ekstremum do tego drugiego przykładu i gratuluję (jak rozumiem) poprawkowego:

  133. Iza pisze:

    Dzień Dobry Panie Krystianie

    Mam wielki problem z równaniem różniczkowym: y’ – 2xy = x
    dochodzę do momentu obliczenia pochodnej i dalej ani rusz
    Bardzo proszę Pana o pomoc

    Pozdrawiam serdecznie

    1. Iza pisze:

      jest tu ktoś?

  134. Marcin pisze:

    Dobry Wieczór Panie Krystianie!

    Męczy mnie ostatnio dość pewnie prosta ale dla mnie nie typowa całka mianowicie:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%281%2F%28x\sqrtx%29%29dx+

    Całka 1/x\sqrtx dx

    Za pomocą jakiej metody można ten przykład rozwiązać?

    Pozdrawiam serdecznie!

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      To rzeczywiście nietrudna całka:

      \int{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{1}{x\cdot {{x}^{\tfrac{1}{2}}}}dx=}\int{\frac{1}{x\cdot {{x}^{\tfrac{1}{2}}}}dx}=\int{\frac{1}{{{x}^{\tfrac{3}{2}}}}dx}=\int{{{x}^{-\tfrac{3}{2}}}dx}=\frac{1}{-\tfrac{3}{2}+1}{{x}^{-\tfrac{3}{2}+1}}+C=

      =\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}{{x}^{-\tfrac{1}{2}}}+C=-2\cdot \frac{1}{{{x}^{\tfrac{1}{2}}}}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C

      Przykład w WolframAlpha

  135. Ela pisze:

    Witam serdecznie Panie Krystianie!
    Nie mogę sobie poradzić z przykładem z zakresu pochodnych cząstkowych

    z = xlny – rozumiem że tu należy skorzystać ze wzoru na mnożenie pochodnych , lecz dalej stoję i nie wiem jak to ciachnąć
    z= sin(xy)/x tak samo z tym

    Prosiłabym o jakąś dobrą porade.
    Pozdrawiam

    1. Ela pisze:

      Poradziłam sobie z przykładem z=xlny 🙂
      więc jeszcze ten 2 🙂

    2. Krystian Karczyński pisze:

      No to liczę 🙂

      Po zmiennej x:

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{sin \left( xy \right)}{x} \right)=\frac{\tfrac{\partial }{\partial x}\left( sin \left( xy \right) \right)x-sin \left( xy \right)\tfrac{\partial }{\partial x}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=

      =\frac{cos \left( xy \right)\cdot \tfrac{\partial }{\partial x}\left( xy \right)\cdot x-sin \left( xy \right)\cdot 1}{{{x}^{2}}}=

      \frac{xycos \left( xy \right)-sin \left( xy \right)}{{{x}^{2}}}

      Po zmiennej y:

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{sin \left( xy \right)}{x} \right)=\frac{1}{x}\frac{\partial }{\partial y}\left( sin \left( xy \right) \right)=\frac{1}{x}cos \left( xy \right)\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right)=

      =\frac{1}{x}cos \left( xy \right)\cdot x=cos \left( xy \right)

      Wynik możemy sprawdzić w WolframAlpha

      Wynik po zmiennej x

      Wynik po zmiennej y

    3. Ela pisze:

      a paskudztwo takie jak z=yx^(2y)

      Dziękuje Panu bardzo ! Pochodne II rzędu wyszły bez żadnego problemu 😉

    4. Ela pisze:

      po zmiennej y to jakas czarna magia

    5. Krystian Karczyński pisze:

      Jedziemy:

      z=y{{x}^{2y}}

      \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( y{{x}^{2y}} \right)=y\frac{\partial }{\partial x}\left( {{x}^{2y}} \right)=y\cdot 2y{{x}^{2y-1}}=2{{y}^{2}}{{x}^{2y-1}}

      \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( y{{x}^{2y}} \right)=\frac{\partial }{\partial y}\left( y \right){{x}^{2y}}+y\frac{\partial }{\partial y}\left( {{x}^{2y}} \right)={{x}^{2y}}+y{{x}^{2y}}ln x\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left( 2y \right)=

      ={{x}^{2y}}+2y{{x}^{2y}}ln x={{x}^{2y}}\left( 1+2yln x \right)

      Wyniki można sprawdzić znowu w WolframAlpha:

      Wynik pochodnej po x

      Wynik pochodnej po y

  136. Kasia pisze:

    Błagam o pomoc!!
    Nie mogę poradzić sobie z równaniem różniczkowym:

    y’ = ( (x+1)/x )y = 3x ^2 e^ -x

    Błagam o pomoc!!!!:(

    1. Krystian Karczyński pisze:

      O.K. ale albo jest jakiś błąd w formule, albo to są dwa równania, Pani Kasiu.

      Jedno z nich to:

      y’ = ( (x+1)/x )y

      a drugie:

      ( (x+1)/x )y = 3x ^2 e^ -x

      ?

  137. Martyna pisze:

    Panie Krystianie a jak wpisać w ten kalkulator pierwiastek piątego stopnia ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Trzeba podnieść do potęgi \frac{1}{5}, np: (sin(x))^(1/5)

  138. Kornelia pisze:

    Mam pytanie dlaczego jak wpisuję y=pi + 3t nie wychodzi mi wynik… \pi jest jako stała? A z kolei jak wpisuję y= 4t to w ogóle nic nie wychodzi..
    .. Pozdrawiam 😉

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Kalkulator jest ustawiony na zmienną x, a nie zmienną t. Niech Pani wpisze y=pi+3x i y=4x, wszystko ładnie wyjdzie.

  139. Miko pisze:

    Witam, mam pytanie, dlaczego przy liczeniu ekstremum po obliczeniu pochodnej z xlnx wynik jest równy logx+1 a x wychodzi wg odpowiedzi 1/e?

    1. Miko pisze:

      to już wiem, tylko nie wiem teraz dlaczego zbiór f(maleje) (0,1) suma z (1,e) przy y=x/lnx tego to całkiem nie pojmuje

  140. Kamil pisze:

    Witam, egzamin tuż tuż a mam problem z zadaniem takiego typu:

    Wyprowadź z definicji wzór na pochodną funkcji f(x) = 2x^2 + 1.

    Próbowałem rozwiązać to korzystając z Pańskich filmików lecz nie potrafię się za to zabrać.
    Byłbym wdzięczny za odpowiedz.
    Pozdrawiam.

    1. Kamil pisze:

      Znam już odpowiedz do tego zadania, tak jak sądziłem była banalna.
      Pozdrawiam.

  141. Adam pisze:

    Witam mam problem z taką pochodną:

    x*a^x/a^x-1

    liczyłem ją już kilka razy i za każdym razem wychodzi mi nieskaczonosc a powinno wyjść 1.

    Prosze o pomoc.

    Pozdrawiam 🙂

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      y equals fraction numerator x times a to the power of x over denominator a to the power of x minus 1 end fraction, gdzie a – stała.

      Rozwiązanie:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe times v minus u times v apostrophe over denominator v squared end fraction, a także open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe

      y apostrophe equals fraction numerator open parentheses x times a to the power of x close parentheses apostrophe times open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses minus open parentheses x times a to the power of x close parentheses times open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses x apostrophe times a to the power of x plus x times open parentheses a to the power of x close parentheses apostrophe close parentheses times open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses minus open parentheses x times a to the power of x close parentheses times open parentheses a to the power of x times ln a minus 0 close parentheses over denominator open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator open parentheses 1 times a to the power of x plus x times a to the power of x times ln a close parentheses times open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses minus x times a to the power of x times a to the power of x times ln a over denominator open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator a to the power of 2 x end exponent minus a to the power of x plus x times a to the power of 2 x end exponent times ln a minus x times a to the power of x times ln a minus x times a to the power of 2 x end exponent times ln a over denominator open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses squared end fraction equals

      fraction numerator a to the power of 2 x end exponent minus a to the power of x minus x times a to the power of x times ln a over denominator open parentheses a to the power of x minus 1 close parentheses squared end fraction

       

  142. Kuba pisze:

    Witam, mam problem z policzenie pochodnej y=(lnx)^x

  143. Kuba pisze:

    Zupełnie nie mam pojęcia jak rozwiazać pochodna y=(lnx)^x

    1. Ryhor Abramovich pisze:

      y equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x

      Rozwiązanie:

      Najpierw skorzystamy ze wzorów:

      x equals e to the power of ln x end exponent , a także ln x to the power of y equals y times ln x i zapisujemy funkcję w postaci:

      y equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x equals e to the power of ln open parentheses ln x close parentheses to the power of x end exponent equals e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent

      Dopiero teraz liczymy:

      open parentheses e to the power of increment close parentheses apostrophe equals e to the power of increment times increment apostrophe

      open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe

      y apostrophe equals open parentheses e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals e to the power of x times ln open parentheses ln x close parentheses end exponent times open parentheses x times ln open parentheses ln x close parentheses close parentheses apostrophe equals e to the power of ln open parentheses ln x close parentheses to the power of x end exponent times open parentheses x apostrophe times ln open parentheses ln x close parentheses plus x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses close parentheses apostrophe close parentheses equals

      equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses 1 times ln open parentheses ln x close parentheses plus x times fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction times open parentheses ln x close parentheses apostrophe close parentheses equals open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses plus x times fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction times 1 over x close parentheses equals

      open parentheses ln x close parentheses to the power of x times open parentheses ln open parentheses ln x close parentheses plus fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction close parentheses

       

  144. p pisze:

    witam, proszę o pomoc jak odczytać z rysunku asymptoty i granice (jak je odróżnić). oraz bardzo proszę o jakiś materiał o obliczaniu granic funkcji. 🙂

  145. Mateusz pisze:

    Witam serdecznie, przerobiłem Pana kurs z geometrii analitycznej ciągi i pochodne…świetne przygotowanie do kolokwium.
    Miałem tylko problem z jedną pochodną i proszę o rozwiązanie
    y ‘ = arcsin(x^2) / pierwiastek z 2 – tgx

    1. Mateusz pisze:

      pod pierwiastkiem tylko 2
      z gory dziekuje

    2. Ryhor Abramovich pisze:

      y equals fraction numerator a r c sin open parentheses x squared close parentheses over denominator square root of 2 minus t g x end fraction

      Rozwiązanie:

      open parentheses u over v close parentheses apostrophe equals fraction numerator u apostrophe times v minus u times v apostrophe over denominator v squared end fraction

      y apostrophe equals fraction numerator open parentheses a r c sin open parentheses x squared close parentheses close parentheses apostrophe times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses minus a r c sin open parentheses x squared close parentheses times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus open parentheses x squared close parentheses squared end root end fraction end style times open parentheses x squared close parentheses apostrophe times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses minus a r c sin open parentheses x squared close parentheses times open parentheses 0 minus \begin display style fraction numerator 1 over denominator cos squared x end fraction end style close parentheses over denominator open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 1 over denominator square root of 1 minus x to the power of 4 end root end fraction end style times 2 x times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses minus a r c sin open parentheses x squared close parentheses times open parentheses negative \begin display style fraction numerator 1 over denominator cos squared x end fraction end style close parentheses over denominator open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses squared end fraction equals

      equals fraction numerator \begin display style fraction numerator 2 x open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses over denominator square root of 1 minus x to the power of 4 end root end fraction end style plus \begin display style fraction numerator a r c sin open parentheses x squared close parentheses over denominator cos squared x end fraction end style over denominator open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses squared end fraction equalsequals fraction numerator 2 x times cos squared x times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses plus square root of 1 minus x to the power of 4 end root times a r c sin open parentheses x squared close parentheses over denominator square root of 1 minus x to the power of 4 end root times open parentheses square root of 2 minus t g x close parentheses squared times cos squared x end fraction

  146. Piotr pisze:

    Dzień dobry. Czy mógłby mi Pan pomóc z pochodną:

    f(x) = 1/(2x) * ln(1+x^2) – arctgx

    tam jest na początku ułamek razy logarytm naturalny.

    Wynik przedstawić trzeba w najprostrzej postaci.

    1. Awesome pisze:

      Wrzucasz ln(…) na góre i zwykłe rozwiązanie na f(x)-g(x) na ln(,,,)/2x stosujesz f(x)/ g(x) wzor i masz… 😉

  147. Karolina pisze:

    WITAM przeszłam cały Pana kurs pochodny ale mam problem z jedną która występuje w Krysickim bardzo proszę o pomoc
    y=4^xln4arctgx + 4^x/1+x^2

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Niestety, mogłem źle zinterpretować, co jest przez co dzielone, co podniesione do czego i przemnożone przez co, ale strzeliłem, że chodzi pochodną z funkcji:

      y={{4}^{x}}ln left( 4arctgx right)+frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}}

      Ruszam więc, stosując wzory i metody z mojego Kursu Pochodnych:

      {y}'={{left( {{4}^{x}}ln left( 4arctgx right)+frac{{{4}^{x}}}{1+{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{4}^{x}} right)}^{prime }}ln left( 4arctgx right)+{{4}^{x}}{{left[ ln left( 4arctgx right) right]}^{prime }}+frac{{{left( {{4}^{x}} right)}^{prime }}left( 1+{{x}^{2}} right)-{{4}^{x}}{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{prime }}}{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}ln 4cdot ln left( 4arctgx right)+{{4}^{x}}frac{1}{4arctgx}{{left( 4arctgx right)}^{prime }}+frac{{{4}^{x}}ln 4cdot left( 1+{{x}^{2}} right)-{{4}^{x}}cdot 2x}{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}}=

      ={{4}^{x}}left[ ln 4cdot ln left( 4arctgx right)+frac{1}{4arctgx}4cdot frac{1}{1+{{x}^{2}}}+frac{left( 1+{{x}^{2}} right)ln 4-2x}{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}} right]=

      ={{4}^{x}}left[ ln 4cdot ln left( 4arctgx right)+frac{1}{left( 1+{{x}^{2}} right)arctgx}+frac{left( 1+{{x}^{2}} right)ln 4-2x}{{{left( 1+{{x}^{2}} right)}^{2}}} right]

    2. Karolina pisze:

      Tak wszystko się zgadza dziękuje bardzo za pomoc 🙂

  148. Marcin pisze:

    Witam Panie Krystianie!
    Mam problem z pochodną f(x) = arctg \sqrt1-x/1+x
    Czy mógłbym prosić Pana o pomoc.

    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne. Wynik w WolframAlpha jest tutaj:

      (arctg sqrt1-x/1+x)’

      A teraz dojdźmy do niego 🙂

      {{left( arctgfrac{1-x}{1+x} right)}^{prime }}=frac{1}{{{left( tfrac{1-x}{1+x} right)}^{2}}+1}{{left( frac{1-x}{1+x} right)}^{prime }}=frac{1}{tfrac{{{left( 1-x right)}^{2}}}{{{left( 1+x right)}^{2}}}+1}frac{{{left( 1-x right)}^{prime }}left( 1+x right)-left( 1-x right){{left( 1+x right)}^{prime }}}{{{left( 1+x right)}^{2}}}=

      =frac{-1left( 1+x right)-left( 1-x right)cdot 1}{left( tfrac{{{left( 1-x right)}^{2}}}{{{left( 1+x right)}^{2}}}+1 right){{left( 1+x right)}^{2}}}=frac{-1-x-1+x}{{{left( 1-x right)}^{2}}+{{left( 1+x right)}^{2}}}=frac{-2}{1-2x+{{x}^{2}}+1+2x+{{x}^{2}}}=

      =frac{-2}{2+2{{x}^{2}}}=frac{-2}{2left( 1+{{x}^{2}} right)}=-frac{1}{1+{{x}^{2}}}

      Jak ogólnie liczyć pochodne (także te z funkcji złożonych, jak tutaj), pokazałem w swoim Kursie:

      Kurs do Pochodnych Video

      A jak pomagać w tym sobie świetnym internetowym kalkulatorem można sprawdzić tutaj:

      WolframAlpha Praktyczny Przewodnik

      Pozdrawiam!

  149. Mateusz pisze:

    Witam,
    Ja również mam pytanie – czy mógłby mi Pan wytłumaczyć, dlaczego i w jaki sposób, z pochodnej : 3/x^4 wychodzi wynik : -12/x^5 ?
    Byłbym wdzięczny 🙂

    1. Konrad pisze:

      3/(x^4)=3*x^(-4);
      pochodnia z x^y=y*x^(y-1)
      stąd:
      pochodna z 3*x(-4)=3*(-4)*x^(-4-1)= -12*x^(-5)
      czyli
      -12/(x^5)
      Mam nadzieję, że jasne.
      Pozdrawiam,
      Student Politechniki

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki 🙂

  150. Arek pisze:

    Dzień dobry
    Ja mam nieco inne pytanie, na które ciężko znaleźć klarowną odpowiedź. Jak oblicza sie numerycznie (za pomoca kalkulatora czy komputera) pochodna funkcji jednej zmiennej?

    Z góry dziękuję za pomoc

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie bardzo wiem, szczerze mówiąc, nigdy tego nie robiłem…

  151. Paulina pisze:

    a ja mam trochę inne pytanie. Czy pochodna z zera wynosi zero, czy nie istnieje?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Istnieje i wynosi zero, tak samo jak z każdej innej liczby (stałej).

  152. Michał pisze:

    Witam, w kursie badania zmienności funkcji w ostatniej lekcji (rysowanie wykresu + tabelka) bada Pan zmienność funkcji e^(x)/x^(2)

    Mam wielki problem z obliczeniem drugiej pochodnej (potrzebnej do zbadania wklęsłości/wypukłości) tej funkcji, z pierwszą radzę sobie bez problemu, natomiast co do drugiej, to męczę się od dwóch godzin i za każdym razem wychodzi mi inny wynik, moi znajomi z kierunku też mają różne wyniki.
    Bardzo Pana proszę o pomoc, gdyż w czwartek mam egzamin właśnie z badania zmienności funkcji. Wynik znam, bo porównując mianownik tej pochodnej otrzymał Pan jedno rozwiązanie, którym jest zero. Natomiast jak dojść do tego wyniku? Bardzo proszę o poświęcenie mi chwili, gdyż nie umiem sobie poradzić, pozdrawiam 🙂

    ps: Wolfram niewiele pomaga

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Przepraszam, już trochę po ptokach (tzn. po czwartku), ale odpowiem.

      To jest mój ulubiony przykład, bo kiedyś udzielałem dużo korepetycji studentom Akademii Morskiej w Szczecinie i tam był taki bardzo znany profesor (może obejdźmy się bez nazwisk…) który zawsze na poprawkach dawał do rozwiązania TEN właśnie przykład. Było z tym trochę śmiechu zawsze.

      No ale do rzeczy. Dlaczego WolframAlpha nie pomaga? Proszę zerknąć, wystarczy prosta formuła:

      (e^x/x^2)”

      No a teraz dojdźmy do wyniku krok po kroku. Kluczem do sukcesu będzie stałe porządkowanie wyników (wyciąganie przed nawias).

      Liczę pierwszą pochodną:

      {{left( frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}=frac{{{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}}{{{left( {{x}^{2}} right)}^{2}}}=frac{{{e}^{x}}{{x}^{2}}-{{e}^{x}}cdot 2x}{{{x}^{4}}}=frac{{{e}^{x}}xleft( x-2 right)}{{{x}^{4}}}=frac{{{e}^{x}}left( x-2 right)}{{{x}^{3}}}

      Teraz drugą:

      {{left( frac{{{e}^{x}}left( x-2 right)}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{{{left[ {{e}^{x}}left( x-2 right) right]}^{prime }}{{x}^{3}}-{{e}^{x}}left( x-2 right){{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}}{{{left( {{x}^{3}} right)}^{2}}}=frac{left[ {{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}left( x-2 right)+{{e}^{x}}{{left( x-2 right)}^{prime }} right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}left( x-2 right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=

      =frac{left[ {{e}^{x}}left( x-2 right)+{{e}^{x}} right]{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}left( x-2 right)}{{{x}^{6}}}=frac{{{e}^{x}}left[ x-2+1 right]{{x}^{3}}-{{e}^{x}}left( x-2 right)3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=frac{{{x}^{3}}{{e}^{x}}left( x-1 right)-3{{x}^{2}}{{e}^{x}}left( x-2 right)}{{{x}^{6}}}=

      =frac{{{x}^{2}}{{e}^{x}}left[ xleft( x-1 right)-3left( x-2 right) right]}{{{x}^{6}}}=frac{{{e}^{x}}left[ {{x}^{2}}-x-3x+6 right]}{{{x}^{4}}}=frac{{{e}^{x}}left( {{x}^{2}}-4x+6 right)}{{{x}^{4}}}

      No i tyle, powodzenia, polecam wszystkim mój Kurs, na którym krok po kroku na filmikach Video pokazuję, jak się robi takie rzeczy:

      Kurs Pochodne i Badanie Przebiegu Zmienności Funkcji

  153. Kuba pisze:

    witam, mam problem z przykładem ((1/x)^(sinx))^lnx . Czy tutaj trzeba użyć tego wzoru a^b=e^(blna)?
    Oraz czy mógłby Pan pomóc z tym zadaniem : )
    Pozdrawiam : )

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, trzeba skorzystać z wzoru: {{a}^{b}}={{e}^{bln a}}, a rozpisując krok po kroku pójdzie to tak:

      {{\left[ {{\left( {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{sin x}} \right)}^{ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{sin x\cdot ln x}} \right]}^{\prime }}={{\left[ {{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}} \right]}^{\prime }}={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}{{\left( sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }}={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ {{\left( sin x \right)}^{\prime }}\left( ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)+sin x{{\left( ln x\cdot ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( {{\left( ln x \right)}^{\prime }}\cdot ln \tfrac{1}{x}+ln x\cdot {{\left( ln \tfrac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{1}{x}\cdot ln \tfrac{1}{x}+ln x\cdot \frac{1}{\tfrac{1}{x}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }} \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{ln \tfrac{1}{x}}{x}+ln x\cdot x\cdot \left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right) \right) \right]=

      ={{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+sin x\left( \frac{ln \tfrac{1}{x}}{x}-ln x\cdot \frac{1}{x} \right) \right]=

      {{e}^{sin x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}}}\left[ cos x\cdot ln x\cdot ln \tfrac{1}{x}+\frac{sin x\left( ln \tfrac{1}{x}-ln x \right)}{x} \right]

      No i mam tylko nadzieję, że dobrze odczytałem zapis na początku…

    2. Kamil pisze:

      Witam, tak spoglądałem na komentarze i zauważyłem jak Pan tutaj wyliczał pochodną. Chciałbym się spytać Pana o dwie rzeczy:
      1. W pierwszej linijce na końcu skąd (z jakiego wzoru/własności) pochodna z e^(sin(x)*ln(x)*ln(1/x)) to ta sama liczba pomnożona przez pochodną wykładnika liczby e?
      2. W drugiej linijce na początku, jak mamy pochodną (sinx*lnx*ln(1/x) to na jej zapisanie korzystamy ze wzoru [ f(x) * g(x) ]’= f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) tylko czemu nie potraktujemy (sin*ln(x)) jako czynnik 1, a lnx(1/x) jako drugi? tylko samo sin(x) jako czynnik 1?
      3. Czy w takich sytuacjach jak pytaniu 2 (kiedy mamy wiele iloczynów), po zastosowaniu przemienności mnożenia pochodne będą takie same?

      Pozdrawiam serdecznie 🙂

  154. Lena pisze:

    Witam,
    Mam obliczyć drugą pochodną z wyrażenia: 2^2+2x+lnx. I pierwsza pochodna wyszła mi taka: 4x+2+1/x. Licząc z tego drugą pochodną wychodzi 4+ ,,,, Własnie nie wiem jaka jest pochodna z 1/x 🙁

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry, obawiam się, że już pierwsza pochodna wyszła Pani nieprawidłowa…

      {{\left( {{2}^{2}}+2x+ln x \right)}^{\prime }}=2+\frac{1}{x}

      Pochodna z {{2}^{2}}równa jest zero, bo to pochodna z liczby, stałej (dwa do kwadratu to po prostu cztery). Pochodna z {{x}^{2}}równa jest 2x, ale pochodna z {{2}^{2}}równa się 0.

      Licząc dalej mamy:

      {{\left( 2+\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}

      …niech Pani zerknie np. na moje wzory do pochodnych – wzór numer 4.

  155. Adam pisze:

    Witam! Chcę tylko na początku dorzucić, że uwielbiam Pana i doceniam to co pan dla nas biednych studentów robi i dziękuję za to 🙂 I mam takie małe pytanie, przy obliczaniu pochodnej z a^x kalkulator wylicza a^x * log(2) a nie powinno byc a^x*ln(x)? ln zamiast log? bo to trochę zmienia postać rzeczy 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A dzięki, dzięki, ale kalkulator wylicza {{a}^{x}}log \left( a \right)jako wynik, a nie {{a}^{x}}log \left( 2 \right)

      No ale poza tym sprawa jest prosta i zwrócił Pan uwagę na ważny problem: w zachodnim zapisie matematycznym logx oznacza logarytm NATURALNY (czyli nasz lnx). Oni w ogóle nie używają zapisu lnx. Trzeba więc zawsze odpowiednio “tłumaczyć” wyniki.

      Więcej informacji o WolframAlpha może Pan zasięgnąć z mojego ebooka i filmików video:

      WolframAlpha – Praktyczny Przewodnik

  156. Sebastian Stulej pisze:

    Jak rozwiązać pochodzną x^x ?

    1. Adam pisze:

      Ponieważ nie ma takiego wzoru na pochodną jak x^x więc trzeba trochę pokombinować… można trzeba tez wzór rozpisać najlepiej jako e do jakiejś tam potęgi, a ponieważ a^(loga z b) = b więc e^(lnx)=x więc x już mamy i teraz to wszystko trzeba podnieść do potęgi x więc: (e^lnx)^x i korzystając z własności logarytmu wychodzi nam e^xlnx i liczysz jak pochodną funkcji złożonej e do. (e^xlnx)’ = e^xlnx * (lnx+x*(1/x)) (tam zastosowałem wzór na pochodną iloczynu) więc wychodzi ostatecznie
      (e^xlnx)*(lnx+1) ex można zamienić e^xlnx i wyjdzie prze arcy końcowy wynik: xlnx +x 🙂

    2. Adam pisze:

      ten prze racy końcowy wynik oczywiście źle podałem… 😉 ma być (x^x)lnx +(x^x)

  157. Bartek pisze:

    Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania mojego szalonego wykładowcy, który jak zwykle na ćwiczeniach i wykładach robił jedno a na
    egzaminie drugie 😛

    4. Dla jakiego n jest spełniona nierówność: [(x+n)/(x+1)]^x >7 Sorry, że to zadanie wrzuciłem pod stronę z kalkulatorem pochodnych, ale nie bardzo wiedziałem, gdzie indziej mogę o to zapytać. Z góry dzięki za pomoc

    1. Bartek pisze:

      x -> nieskończoności

    2. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      Jasne, rozumiem, że chodzi o nierówność:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}>7?

      Liczę sobie spokojnie granicę z lewej strony nierówności (poprzez dojście do wzoru na liczbę e):

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( \frac{x+1-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}=

      Na boku liczę granicę z wykładnika potęgi:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x}{x+1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\frac{x}{x\left( 1+\tfrac{1}{x} \right)}=1

      Liczyli mam granicę po lewej stronie nierówności policzoną:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}{{\left[ {{\left( 1+\frac{-1+n}{x+1} \right)}^{x+1}} \right]}^{\frac{x}{x+1}}}={{\left[ {{e}^{-1+n}} \right]}^{1}}={{e}^{-1+n}}

      Wracam się do nierówności:

      {{e}^{-1+n}}>7

      Jest to nierówność wykładnicza (z potęgą). Rozwiązuję ją logarytmując obie strony:

      {{e}^{-1+n}}>7\quad /ln \left \ldots \right)

      ln {{e}^{-1+n}}>ln 7

      \left( -1+n \right)ln e>ln 7

      -1+n>ln 7

      n>ln 7+1

      W zadaniu było gdzieś powiedziane, że nmusi być liczbą naturalną? Jeśli nie, to mam rozwiązanie, jeśli tak, to trzeba by jeszcze podumać nad tym, które liczby naturalne spełniają tą nierówność.

  158. Kasia pisze:

    Dziękuje bardzo za pomoc;)

  159. Kasia pisze:

    Wstawiłam pochodną z
    y=ln2 −x2 * arctgx
    i wyszło jakieś kompletne dziwactwo -2x^3 tan^-1 ?

    Proszę o pomoc Panie Krystianie

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wszystko jest chyba O.K. Rozumiem, że policzyć Pan chciał pochodną z: y= ln 2-{{x}^{2}}arctgx– czy dobrze rozumiem?

      No to policzmy “ręcznie”:

      {{\left( ln 2-{{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( ln 2 \right)}^{\prime }}-{{\left( {{x}^{2}}arctgx \right)}^{\prime }}=-left\( {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}arctgx+{{x}^{2}}{{\left( arctgx \right)}^{\prime }} \right)=

      =-2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}

      W tym momencie Wolfram bardzo się stara “ułatwić” nam życie i przekształca ten wynik dalej, do wspólnego mianownika:

      -2xarctgx-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2xarctgx\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-2xarctgx-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}

      W amerykańskim zapisie matematycznym funkcje odwrotne do trygonometrycznych nie zaznacza się tak jak u nas przez np. arctgx, tylko jako {{tan }^{-1}}x, czyli mamy Wolframowy:

      \frac{-2{{x}^{3}}arctgx-{{x}^{2}}-2xarctgx}{{{x}^{2}}+1}=\frac{-2{{x}^{3}}{{tan }^{-1}}x-{{x}^{2}}-2x{{tan }^{-1}}x}{{{x}^{2}}+1}

    2. Kasia pisze:

      miało być (ln2^-x^2) * arctgx
      ln2 do potęgi -x do potęgi 2 i to wszystko razy arctgx
      Więc przepraszam za błąd w zapisie i czy mogłabym jeszcze raz poprosić o pomoc ?

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Hmmm… Czyli w ten sposób: ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}arctgx?

    4. Kasia pisze:

      tak 😉

    5. Krystian Karczyński pisze:

      No to troszkę dziwnie, ale liczę (przed rzuceniem się na pochodne korzystam z własności logarytmu)…

      {{\left( ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}arctgx \right)}^{\prime }}={{\left( -{{x}^{2}}ln 2arctgx \right)}^{\prime }}=-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}ln 2\cdot \frac{1}{1+{{x}^{2}}}=-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}

      Tutaj niestety Wolfram znowu próbuje bardzo na siłę “ułatwić” Pani życie i sprowadza do wspólnego mianownika:

      -2x\cdot ln 2\cdot arctgx-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx\cdot \left( 1+{{x}^{2}} \right)}{1+{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot ln 2\cdot arctgx-{{x}^{2}}ln 2}{1+{{x}^{2}}}=\frac{-2x\cdot ln 2\cdot arctgx-2{{x}^{3}}\cdot ln 2\cdot arctgx+ln {{2}^{-{{x}^{2}}}}}{1+{{x}^{2}}}

      No i zamieniając kolejność w liczniku i pamiętając o tym, że w Stanach arctgx={{tan }^{-1}}xi ln x=log \left( x \right)mamy Wolframowy:

      \frac{-2{{x}^{3}}log \left( 2 \right)\cdot {{tan }^{-1}}x+log \left( {{2}^{-{{x}^{2}}}} \right)-2xlog \left( 2 \right){{tan }^{-1}}x}{1+{{x}^{2}}}

  160. Stanisław pisze:

    Witam Panie Krystianie,
    czy nie zna Pan jakiegoś kalkulatora do liczenia pochodnych cząstkowych wielu zmiennych?

    Dziękuję za pomoc i pozdrawiam:)

  161. Michał pisze:

    Ja mam problem z pochodną lnx-1/(lnx)^2 Jak to obliczyć ?
    proszę o pomoc i pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, trzeba najpierw skorzystać z wzoru na dzielenie, a potem na funkcję złożoną:

      {{\left( \frac{ln x-1}{{{ln }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( ln x-1 \right)}^{\prime }}{{ln }^{2}}x-left\( ln x-1 \right){{\left( {{ln }^{2}}x \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{ln }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{\tfrac{1}{x}{{ln }^{2}}x-left\( ln x-1 \right)2ln x\cdot \tfrac{1}{x}}{{{ln }^{4}}x}=

      =\frac{\tfrac{{{ln }^{2}}x}{x}-\tfrac{2ln x\left( ln x-1 \right)}{x}}{{{ln }^{4}}x}=\frac{{{ln }^{2}}x-2ln x\left( ln x-1 \right)}{x{{ln }^{4}}x}=\frac{ln x\left[ ln x-2\left( ln x-1 \right) \right]}{x{{ln }^{4}}x}=\frac{-ln x+2}{x{{ln }^{3}}x}

    2. Paweł pisze:

      jak wprowadzić funkcję xe^4x

  162. Łukasz pisze:

    Witam
    Mam pewien problem
    Bo zupełnie nie wiem dlaczego [latex] \frac{-1}{{{x}^{2}}+1}[/latex] ma pochodną [latex] \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}[/latex]?
    Prosiłbym o małą pomoc;)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzień dobry

      No trochę niezupełnie, pochodna z \frac{-1}{{{x}^{2}}+1}to \frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}, a nie \frac{2x}{{{x}^{2}}+1}.

      Bierze się to – na przykład – z elementarnego wzoru {{\left( \frac{a}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{a}{{{x}^{2}}}.

      Licząc z tego wzoru i traktując funkcję {{x}^{2}}+1jako funkcję wewnętrzną i przyjmując a=-1mam:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=-\frac{-1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}2x=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

      Można też skorzystać z normalnego wzoru na dzielenie:

      {{\left( \frac{-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{\prime }}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-left\( -1 \right){{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{0\cdot \left( {{x}^{2}}+1 \right)+2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}

  163. Basia pisze:

    Panie Krystianie,
    zupełnie nie wiem dlaczego pochodna z x^sinx wychodzi

    [x^(sinx-1)][sinx + lnxcosx]

    licząc tą pochodną zatrzymuję się w momencie: [x^sinx][sinx/x +cosxlnx], korzystam ze wzoru: a^b = e^blna

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A w tej tzw. “prawidłowej odpowiedzi” nie powinno być x przed lnxcosx? Tzn. xlnxcosx zamiast lnxcosx?