Układy równań jednorodne (liczba rozwiązań przy użyciu rzędu macierzy)

---

Układy równań liniowych jednorodne to taki układy, w których wszystkie wyrazy wolne równe są 0. Wyglądają one tak:

Na przykład:

Możliwe liczby rozwiązań w układach równań liniowych

Przypomnijmy sobie, że w każdym układzie równań liniowych możliwe są trzy sytuacje:

1. Układ ma 1 rozwiązanie (kiedy rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej = liczba niewiadomych w układzie:  )

2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (kiedy rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od liczby niewiadomych w układzie )

3.Układ nie ma rozwiązań (kiedy rząd macierzy głównej nie jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej)

Macierz uzupełniona to macierz główna z dodaną kolumną wyrazów wolnych. W przypadku układu jednorodnego, będzie to kolumna z samymi zerami. Podczas liczenia rzędów można ją po prostu wykreślić i uzyskać w ten sposób samą macierz główną.

W naszym przykładzie rząd macierzy głównej równy jest:

A rząd macierzy uzupełnionej:

Na przykładzie widać, że    i widać, że tak będzie zawsze, w każdym układzie jednorodnym.

Możliwe liczby rozwiązań w układzie jednorodnym liniowym

Skoro tak, to w układzie równań jednorodnych zachodzić będą tylko sytuacje 1 lub 2. Układ zawsze będzie miał rozwiązania, pytanie tylko czy będzie to 1 rozwiązanie, czy nieskończenie wiele rozwiązań.

Idźmy dalej.

Zdefiniujmy sobie coś takiego, jak “rozwiązanie zerowe”. Rozwiązaniem zerowym nazwiemy takie rozwiązanie, w którym wartości wszystkich niewiadomych równe są 0.

Mówiąc o układach równań jednorodnych, zauważyć można, że:

Rozwiązanie zerowe jest zawsze rozwiązaniem układu jednorodnego.

Łatwo to sprawdzić: jeżeli za wszystkie niewiadome w równaniach wstawimy zera widać jasno, że każde równanie układu jednorodnego będzie spełnione, zawsze i w każdym układzie jednorodnym.

Jeżeli wiemy więc, że jednorodny układ równań liniowych ma 1 rozwiązanie (a jest tak, kiedy ), to wiemy także, że jest to na pewno rozwiązanie zerowe.

Jeżeli zaś wiemy, że jednorodny układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań (a jest tak, kiedy  ), to wiemy, że układ ma rozwiązanie zerowe, ale oprócz niego jakieś rozwiązania niezerowe.

Jeżeli w zadaniu mamy więc polecenie: “sprawdź, czy układ jednorodny ma rozwiązania niezerowe”, wystarczy wykazać, że jest to układ nieoznaczony, w którym rząd macierzy głównej i uzupełnionej jest mniejszy od liczby niewiadomych.

W niektórych układach jest to bardzo proste, na przykład tutaj:

Macierz główna układu miała by 4 wiersze i 5 kolumn, zatem jej rząd wyjdzie co najwyżej 4. Rząd macierzy uzupełnionej tak samo – wiemy już dlaczego. Liczba niewiadomych jest zaś równa 5. Od razu więc można stwierdzić, że układ jest nieoznaczony i że istnieją jakieś rozwiązania niezerowe tego układu.