Rząd macierzy z parametrem

Weźmy do policzenia rząd macierzy:

Rozwiązanie

Można się za to zabrać na klika sposobów, a najszybciej chyba będzie pomnożyć piątą kolumnę przez -1 i dodać do pierwszej, drugie, trzeciej i czwartej, uzyskując w ten sposób:

Weźmy teraz wyznacznik macierzy 4-tego stopnia:

Wyznacznik, którego wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0 jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej (kiedyś to jeszcze wykażę któregoś dnia 🙂 ), zatem:

Wyznacznik ten jest różny od zera dla wszystkich a różnych od 1. Zatem dla takich a rząd naszej macierzy, który mamy obliczyć równy będzie 4 (bo można z niej wyodrębnić niezerowy minor 4 stopnia, a większego już się nie da).

A co z przypadkiem, w którym . Uzyskamy wtedy rząd macierzy (wstawiam za a jedynkę):

A ten rząd równy jest 1 (można np. znowu podziałać piątą kolumną na pozostałe i wykreślić zerowe kolumny).

Zatem dla a różnego od 1 rząd macierzy równy jest 4, a dla a równego 1 rząd macierzy równy jest 1.