fbpx
blog

Postać (prawie) trygonometryczna liczby zespolonej

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Rozwiązując zadania z liczb zespolonych należy mieć na uwadze, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

[pmath]z=delim{|}{z}{|}(cos{varphi}+isin{varphi})[/pmath]

I tylko tak. Nie mniej, nie więcej.

Należy więc zwrócić uwagę na:

Kiedy liczba zespolona jest, a kiedy nie jest w postaci trygonometrycznej?

  1. Liczba: [pmath]cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12}[/pmath] JEST liczbą w postaci trygonometrycznej, w której moduł z liczby równy jest 1 ([pmath]delim{|}{z}{|}=1[/pmath]), bo oczywiście:
    [pmath]cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12}=1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})[/pmath]
  2. Liczba: [pmath]cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę do postaci trygonometrycznej, należy skorzystać ze wzorów trygonometrycznych:
    [pmath]cosx=cos(~-x)[/pmath]
    [pmath]sinx=-sin(~-x)[/pmath]
    Korzystając z tych wzorów możemy przekształcić:
    [pmath]cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=cos(~-{pi}/12)-delim{[}{~-isin(~-{pi}/12)}{]}=cos(~-{pi}/12)+isin(~-{pi}/12)[/pmath]
    Funkcje sinus i cosinus są [pmath]2{pi}[/pmath]-okresowe, zatem ich wartość jest taka sama co [pmath]2{pi}[/pmath]. Więcej na ten temat napisałem w: tym poście.
    Mamy więc na koniec:
    [pmath]cos(~-{pi}/12)+isin(~-{pi}/12)=cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi}[/pmath]
    …a to już JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  3. Liczba: [pmath]~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus, oraz przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
    [pmath]~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=-1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})[/pmath]
    Zamienić na boku liczbę [pmath]-1[/pmath] na postać trygonometryczną (to już chyba umiemy…):
    [pmath]-1=cos{pi}+isin{pi}[/pmath]
    A więc mamy mnożenie dwóch liczb w postaci trygonometrycznej:
    [pmath]-1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})=(cos{pi}+isin{pi})(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})[/pmath]
    A mnoży się liczby w postaci trygonometrycznej mnożąc ich moduły i dodając argumenty (jest na to wzór), mamy więc:
    [pmath](cos{pi}+isin{pi})(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})=cos{1{1/12}pi}+isin{1{1/12}pi}[/pmath]
    To już zaś JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  4. Liczba: [pmath]~-cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
    [pmath]~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=-1(cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12})[/pmath]
    Liczbę -1 należy zamienić na postać trygonometryczną (robiliśmy to w punkcie 3), tak samo na postać trygonometryczną należy zamienić liczbę [pmath]cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}[/pmath] (robiliśmy to w 2.).
    Otrzymamy:
    [pmath]-1(cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12})=(cos{pi}+isin{pi})(cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi})[/pmath]
    Czyli wykorzystując wzór na mnożenie funkcji trygonometrycznych:
    [pmath](cos{pi}+isin{pi})(cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi})=cos{2{11/12}pi}+isin{2{11/12}pi}[/pmath]
    I wykorzystując [pmath]2{pi}[/pmath] okresowość funkcji sinus i kosinus:
    [pmath]cos{2{11/12}pi}+isin{2{11/12}pi}=cos{{11/12}pi}+isin{{11/12}pi}[/pmath]
  5. Liczba: [pmath]sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest jednostka urojona ‘i’ (a nie powinno jej tam być), a przed sinusem nie ma jednostki urojonej ‘i’.
    Należy skorzystać ze znanych ze szkoły średniej wzorów trygonometrycznych:
    [pmath]cosx=sin({pi}/2-x)[/pmath]
    [pmath]sinx=cos({pi}/2-x)[/pmath]
    Mamy więc:
    [pmath]sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12}=cos({pi}/2-{{pi}/12})+isin({pi}/2-{{pi}/12})=cos{5/12{pi}}+isin{5/12{pi}}[/pmath]
    A to już JEST liczba zespolona w postaci trygonometrycznej.
  6. Liczba: [pmath]~-sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 4.
  7. Liczba: [pmath]sin{{pi}/12}-icos{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 2.
  8. Liczba: [pmath]~-sin{{pi}/12}-icos{{pi}/12}[/pmath] NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 3.

Powodzenia! 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nie wyobrażam sobie już studiowania bez eTrapez ! Nareszcie kończą się moje problemy z matematyką.. Na studiach wykładowca tłumaczy szybko i często niezrozumiałym językiem. Tutaj wszystko jest wytłumaczone PROSTYM/ LUDZKIM JĘZYKIEM i na spokojnie Żałuję, że nie znalazłam kursu wcześniej, pomógł mi zrozumieć wiele rzeczy. Szczerze polecam wszystkim, którym matematyka spędza sen z powiek !

Klaudia

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.