fbpx
blog

Postać (prawie) trygonometryczna liczby zespolonej

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Rozwiązując zadania z liczb zespolonych należy mieć na uwadze, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

I tylko tak. Nie mniej, nie więcej.

Należy więc zwrócić uwagę na:

Kiedy liczba zespolona jest, a kiedy nie jest w postaci trygonometrycznej?

  1. Liczba:   JEST liczbą w postaci trygonometrycznej, w której moduł z liczby równy jest 1 (), bo oczywiście:
  2. Liczba:   NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę do postaci trygonometrycznej, należy skorzystać ze wzorów trygonometrycznych:

    Korzystając z tych wzorów możemy przekształcić:
    Funkcje sinus i cosinus są -okresowe, zatem ich wartość jest taka sama co . Więcej na ten temat napisałem w: tym poście.
    Mamy więc na koniec:

    …a to już JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  3. Liczba:  NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus, oraz przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:

    Zamienić na boku liczbę na postać trygonometryczną (to już chyba umiemy…):

    A więc mamy mnożenie dwóch liczb w postaci trygonometrycznej:
    A mnoży się liczby w postaci trygonometrycznej mnożąc ich moduły i dodając argumenty (jest na to wzór), mamy więc:

    To już zaś JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  4. Liczba:    NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:

    Liczbę -1 należy zamienić na postać trygonometryczną (robiliśmy to w punkcie 3), tak samo na postać trygonometryczną należy zamienić liczbę  (robiliśmy to w 2.).
    Otrzymamy:

    Czyli wykorzystując wzór na mnożenie funkcji trygonometrycznych:

    I wykorzystując  okresowość funkcji sinus i kosinus:
  5. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest jednostka urojona ‘i’ (a nie powinno jej tam być), a przed sinusem nie ma jednostki urojonej ‘i’.
    Należy skorzystać ze znanych ze szkoły średniej wzorów trygonometrycznych:

    Mamy więc:

    A to już JEST liczba zespolona w postaci trygonometrycznej.
  6. Liczba:  NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 4.
  7. Liczba:  NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 2.
  8. Liczba:  NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 3.

Powodzenia! 🙂

Bestsellery

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Równania Różniczkowe

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Ekonometria

Studia / Autor: mgr Joanna Grochowska

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.