Postać (prawie) trygonometryczna liczby zespolonej

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Rozwiązując zadania z liczb zespolonych należy mieć na uwadze, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

I tylko tak. Nie mniej, nie więcej.

Należy więc zwrócić uwagę na:

Kiedy liczba zespolona jest, a kiedy nie jest w postaci trygonometrycznej?

1. Liczba: JEST liczbą w postaci trygonometrycznej, w której moduł z liczby równy jest 1 (), bo oczywiście:
   
2. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus.
   Aby przekształcić tą liczbę do postaci trygonometrycznej, należy skorzystać ze wzorów trygonometrycznych:
   
   
   Korzystając z tych wzorów możemy przekształcić:
   
   Funkcje sinus i cosinus są -okresowe, zatem ich wartość jest taka sama co . Więcej na ten temat napisałem w: tym poście.
   Mamy więc na koniec:
   
   …a to już JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
3. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‘i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus, oraz przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
   Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
   
   Zamienić na boku liczbę na postać trygonometryczną (to już chyba umiemy…):
   
   A więc mamy mnożenie dwóch liczb w postaci trygonometrycznej:
   
   A mnoży się liczby w postaci trygonometrycznej mnożąc ich moduły i dodając argumenty (jest na to wzór), mamy więc:
   
   To już zaś JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
4. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
   Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
   
   Liczbę -1 należy zamienić na postać trygonometryczną (robiliśmy to w punkcie 3), tak samo na postać trygonometryczną należy zamienić liczbę (robiliśmy to w 2.).
   Otrzymamy:
   
   Czyli wykorzystując wzór na mnożenie funkcji trygonometrycznych:
   
   I wykorzystując okresowość funkcji sinus i kosinus:
   
5. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest jednostka urojona ‘i’ (a nie powinno jej tam być), a przed sinusem nie ma jednostki urojonej ‘i’.
   Należy skorzystać ze znanych ze szkoły średniej wzorów trygonometrycznych:
   
   
   Mamy więc:
   
   A to już JEST liczba zespolona w postaci trygonometrycznej.
6. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
   Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 4.
7. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
   Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 2.
8. Liczba: NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
   Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 3.

Powodzenia! 🙂