Skąd się wziął ten Pana patent w pierwiastkach zespolonych? Skąd to trzecie równanie podczas obliczania pierwiastka drugiego stopnia z liczby zespolonej?

---

Przy liczeniu pierwiastków drugiego stopnia w postaci kartezjańskiej (albo: algebraicznej) w moim Kursie Liczb Zespolonych pokazałem pewien patent, polegający na dopisaniu trzeciego równania do układu już dwóch istniejących, co w rezultacie gigantycznie skracało i upraszczało dalsze obliczenia.

Patent pokazałem, ale w żaden sposób nie uzasadniłem.

No i właśnie na tą okazję otrzymałem ostatnio maila o treści:

Witam

Czy mógłby Pan wyjaśnić dlaczego możemy użyć patentu na dodanie trzeciego równania podczas obliczania pierwiastka drugiego stopnia z liczby zespolonej?

x^2 + y^2 = moduł liczby której pierwiastek mamy obliczyć

Jest to BARDZO dobre pytanie i naprawdę błogosławieni w matematyce Ci, którzy nie wierzą profesorom na słowo, tylko cały czas pytają: “A skąd to się wzięło?” 🙂

Uzasadnienie

No to nie pozostało mi już nic, tylko uzasadnić ten patent na jeden z możliwych sposobów:

Po kilku pierwszych złożeniach w obliczaniu pierwiastka mamy sytuację:

Skoro liczby (nie będę już za każdym razem pisał: “liczby zespolone”) po lewej i po prawej są równe, to ich moduły też muszą być równe (w drugą stronę to nie zachodzi, ale to nieważne), czyli:

liczba do kwadratu to jest liczba razy liczba, czyli:

Moduł liczby zespolonej ma własność: , czyli po lewej stronie możemy zapisać:

…no i licząc moduły po lewej mamy:

czyli:

czyli:

czyli:

BINGO

Dzięki za dobre pytanie!