blog

Skąd się wziął ten Pana patent w pierwiastkach zespolonych?

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Przy liczeniu pierwiastków drugiego stopnia w postaci kartezjańskiej (albo: algebraicznej) w moim Kursie Liczb Zespolonych pokazałem pewien patent, polegający na dopisaniu trzeciego równania do układu już dwóch istniejących, co w rezultacie gigantycznie skracało i upraszczało dalsze obliczenia.

Patent pokazałem, ale w żaden sposób nie uzasadniłem.

No i właśnie na tą okazję otrzymałem ostatnio maila o treści:

Witam

Czy mógłby Pan wyjaśnić dlaczego możemy użyć patentu na dodanie trzeciego równania podczas obliczania pierwiastka drugiego stopnia z liczby zespolonej?

x^2 + y^2 = moduł liczby której pierwiastek mamy obliczyć

Jest to BARDZO dobre pytanie i naprawdę błogosławieni w matematyce Ci, którzy nie wierzą profesorom na słowo, tylko cały czas pytają: “A skąd to się wzięło?” 🙂

Uzasadnienie

No to nie pozostało mi już nic, tylko uzasadnić ten patent na jeden z możliwych sposobów:

Po kilku pierwszych złożeniach w obliczaniu pierwiastka mamy sytuację:

(x+iy)^2=LICZBA

Skoro liczby (nie będę już za każdym razem pisał: “liczby zespolone”) po lewej i po prawej są równe, to ich moduły też muszą być równe (w drugą stronę to nie zachodzi, ale to nieważne), czyli:

delim{|}{(x+iy)^2}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

liczba do kwadratu to jest liczba razy liczba, czyli:

delim{|}{(x+iy)(x+iy)}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

Moduł liczby zespolonej ma własność: delim{|}{{z_1}{z_2}}{|}=delim{|}{z_1}{|}delim{|}{z_2}{|}, czyli po lewej stronie możemy zapisać:

delim{|}{x+iy}{|}delim{|}{x+iy}{|}=delim{|}{LICZBA}{|}

…no i licząc moduły po lewej mamy:

sqrt{x^2+y^2}sqrt{x^2+y^2}=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

(sqrt{x^2+y^2})^2=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

x^2+y^2=delim{|}{LICZBA}{|}

czyli:

BINGO

Dzięki za dobre pytanie!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Mateusz pisze:

    Witam. W tym wspaniałym dniu życzę Panu wszystkiego co najlepsze. Dużo zdrówka i dalszej motywacji do tego, aby nadal powstawały kolejne wspaniałe kursy i pojawiały się na tej stronie. Tutaj zawsze chętnie wracam:)
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Już po Świętach, ale bardzo dziękuję i pozdrawiam!

  2. Mateusz pisze:

    Zastosowałem w zeszłym roku ten patencik na zajęciach z liczb zespolonych. Profesor oczywiście znał ten myk ale wcześniej nam tego nie pokazał. Podzieliłem się z tym patentem z całą grupą. To bardzo dobry sposób jest. Profesorowi się to podobało. Myk na szybkie obliczenia pierwiastka np. z liczby minus 16 też przedstawiłem na tych zajęciach. Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Masz dobrego profesora, często nauczający źle reagują na takie patenty.

      Zresztą pamiętam, jak zaczynałem korepetycje, przez dobre kilka lat miałem coś takiego: uczniowie pokazywali mi jakieś wyniesione z zajęć patenty, czy sposoby – a ja i tak na upartego chciałem nauczyć ich “po swojemu” 🙂