DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 5 Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


W tym poście będę kontynuował tematykę zagadnień ze szkoły średniej, na które – być może – nie miałeś położonego zbyt wielkiego nacisku, a które bardzo ułatwią Ci życie na studia.

To już część 5 – jeśli wskoczyłeś tutaj dopiero teraz możesz zerknąć na 4 poprzednie posty 🙂

Tutaj zajmę się obustronnym mnożeniem i dzieleniem nierówności.

Dzielenie nierówności? A to już chyba wiem, o co chodzi…

No tak. Wszyscy już wiemy (chociaż czasami zapominamy) o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu/dzieleniu jej przez liczbę ujemną.

Na przykład:

negative 2 x greater than 4 /:(-2)

x less than negative 2 (zmienił się znak nierówności, bo podzieliłem obie strony przez liczbę ujemną)

albo:

negative x less or equal than negative 1 /times open parentheses negative 1 close parentheses

x greater or equal than 1 (znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)

 

Co jednak z mnożeniem i dzieleniem nie przez LICZBĘ, tylko przez ZMIENNĄ, na przykład:

{x-1}/x<3 /times x

Możemy zrobić takie mnożenie i wyjść na:

x-1<3x

…?

Prawidłowa odpowiedź to: NIE, NIE MOŻEMY.

Pamiętamy zasadę: “Jeśli mnożymy przez dodatnią nie zmieniamy znaku, jeśli mnożymy przez ujemną zmieniamy”. Mnożąc przez zmienną x NIE WIEMY, czy mnożymy przez liczbę dodatnią, czy ujemną. Zmienna x może być równa -100, a może być równa także 15. To, że nie ma przed nią znaku minus niczego nie zmienia (może być i tak ujemna).

Jeśli tego nie wiemy, nie możemy przechodzić na…

x-1<3x

…bo na taką nierówność moglibyśmy wyjść tylko wtedy, kiedy mnożylibyśmy przez liczbę dodatnią (nie zmieniając znaku), a tego NIE WIEMY.

Analogiczna zasada obowiązuje w dzieleniu, nie możemy więc wykonać sobie czegoś takiego:

x open parentheses x minus 1 close parentheses greater than 0/:x

x minus 1 greater than 0

…bo, jeszcze raz powtórzmy: nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.

Podsumowując więc

Nie dzielimy obustronnie nierówności przez zmienne.

I jeszcze….

 

Ciekawostka

Jeżeli – skądinąd – mielibyśmy informację, że zmienna (albo całe wyrażenie) przez które obustronnie chcemy pomnożyć/podzielić JEST zawsze dodatnie (albo ujemne) możemy sobie śmiało mnożyć/dzielić.

Na przykład jeśli dziedziną (o dziedzinie będzie jeszcze post powtórkowy później) x jest zbiór liczb (0,+{infty}), to wiemy, że x jest na pewno dodatni.

Wtedy MOŻEMY machnąć sobie…

x open parentheses x minus 1 close parentheses greater than 0 /:x

x minus 1 greater than 0

…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę (wziąść z niego tylko x{in}(0,+{infty})).

 

 

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Pozostaw odpowiedź Bob Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Krystian Karczyński pisze:

    @Bob Tak, oczywiście, poprawiłem i dziękuję za zwrócenie uwagi.

  2. Bob pisze:

    W tym miejscu jest błąd

    albo:

    x less or equal than negative 1 /times open parentheses negative 1 close parentheses

    x greater or equal than 1 (znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)

     

    zakładam że miał Pan na myśli   –x less or equal than negative 1 na samym początku prawda ?

  3. Artur pisze:

    Na Pańskim kursie Liczb Zespolonych spotkałem się z obustronnym dzieleniem przez jednostkę urojoną “i”.

    I tak zastanawiam się jak to jest z tym dzieleniem. Skoro i^2 to -1, a i = \sqrt(-1), to do końca nie wiadomo czy dzieląc przez “i” dzielimy przez liczbę ujemną, bo przecież pierwiastek z takowej w rzeczywistych nie istnieje ;).

    No, ale jakbyśmy to sobie wszystko do kwadratu podnieśli (obie strony nierówności) i podzielili przez i^2 które przecież wynosi -1, to znak wypadałoby zmienić, prawda?

    Z góry dziękuję za odpowiedź, kurs fajny 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Cześć!

      Dzięki za pytanie. Serio jest gdzieś tam dzielenie przez “i”? Może jest ale na pewno w RÓWNOŚCI, a nie w NIERÓWNOŚCI.

      Mnożyć i dzielić równości przez liczby dodatnie, ujemne i takie, o których nie wiem, czy są dodatnie, czy ujemne można bez problemu (no chyba, że nie chcemy po takim pomnożeniu “zepsuć” wykresu funkcji po lewej stronie równania – jak pokazuję w moim Kursie Pochodnych).

      Problem jest tylko z dzieleniem i mnożeniem nierówności, w których nie możemy np. podzielić przez ‘x’, gdy nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.

      Z zespolonymi liczbami w ogóle nie bawimy się w nierówności – bo nie określamy liczb zespolonych nie-rzeczywistych jako “dodatnich”, albo “ujemnych”, albo “większych” albo “mniejszych” 🙂

    2. Artur pisze:

      O proszę.

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Ma Pan całkowitą rację, ten ostatnie przykład z Lekcji 7 absolutnie nie powinien znaleźć się w Kursie, bo wyszła z niego nierówność zespolona…

      Czyli cały przykład jest źle ułożony przeze mnie i nie da się go “rozwiązać”.

      Wszystkie wcześniejsze nierówności są O.K., bo rachują na sprzężeniach, częściach rzeczywistych i urojonych – czyli liczbach rzeczywistych.

      Przepraszam i bardzo dziękuję za świetne i trafne pytanie.

  4. Krystian Karczyński pisze:

    Tak, tak, zgadza się o to mi chodziło. Rozwiązanie nierówności x-1>0 to zbiór (1,+{infty}), dziedzina to zbiór (0,+{infty}), czyli rozwiązanie CAŁEJ nierówności to:
    (1,+{infty}) (część rozwiązania ostatniej nierówności i dziedziny)

  5. Mateusz pisze:

    …pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę:

    Mamy dwa warunki:
    x>1 i x należy (0, nieskończoność) więc rozwiązaniem będzie zbiór x należy (1, nieskończoność)

    To tak a propos ostatnich dwóch linijek…