श्रेणी: सीमाएँ

जिज्ञासा के रूप में, मैं फंक्शन की सीमा निकालूंगा: (x^x^x – cosx)।

गणनाओं से अधिक दिलचस्प वे दो नैतिकताएं हैं जो उनसे निकाली जा सकती हैं। लेकिन नैतिकताएं अंत में होती हैं (क्या किसी ने शुरुआत में नैतिकता वाली कहानी देखी है)?

जब हमें एक सीमा की गणना करनी होती थी, जिसमें किसी प्रकार का घटाव और मूल शामिल होता था (और जिसे स्पष्ट रूप से सरलता से गणना नहीं की जा सकती थी), जैसे: “कुछ – किसी चीज का मूल”, “किसी चीज का मूल – कुछ” या “किसी चीज का मूल – किसी चीज का मूल” के मामले में, हम एक चाल का उपयोग करते थे जिसे मैं “संयुग्मित से गुणा” कहता हूँ।

हम बस इस अभिव्यक्ति को उसके प्लस चिह्न वाले समकक्ष से गुणा करते थे, या अधिक सटीक रूप से, एक भिन्न से जिसमें यह समकक्ष अंश और हर में होता था।

जब मूल तीसरी शक्ति के होते हैं तो क्या करें?

अनुक्रम की सीमाओं में, कभी-कभी अभिव्यक्ति में लगातार प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों या घनों का योग होता है। तब क्या करें?

उत्तर सरल है: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों और घनों के योग के सूत्र। ये इस प्रकार हैं…

जैसा कि हम सभी जानते हैं (कम से कम मेरी सीमाओं के पाठ्यक्रम से), फंक्शन बिंदु 𝑥0 पर सतत होता है जब इस बिंदु पर फंक्शन का बाएँ हाथ का सीमा इस बिंदु पर फंक्शन के दाएँ हाथ के सीमा के बराबर होता है और इस बिंदु पर फंक्शन के मान के बराबर होता है।

यदि इनमें से कोई भी समानता पूरी नहीं होती है, तो फंक्शन f(x) बिंदु 𝑥0 पर सतत नहीं होता है, और इस बिंदु को असततता बिंदु कहा जाता है। इस नामकरण में, हम एक कदम और आगे बढ़ सकते हैं और असततता बिंदुओं के प्रकारों के बीच अंतर कर सकते हैं। देखें कि यह कैसे किया जाता है।

यह पोस्ट इस प्रश्न के उत्तर के रूप में है:
“मुझे कुछ समझ में नहीं आ रहा है और मुझे समझाने की ज़रूरत है, तुम ‘n’ को क्यों कम कर रहे हो? मेरा मतलब है कि n/n एक अनिश्चित प्रतीक है (अनंत पर अनंत) मदद करो क्योंकि मैं इस पर खो गया हूँ।”
समझना कि वास्तव में अनिश्चित प्रतीक क्या हैं, काफी परेशानी भरा हो सकता है। इसके अलावा यह भी कई सवाल उठाता है कि इनसे “क्या किया जा सकता है” और “क्या नहीं किया जा सकता है”।