फंक्शन की सीमा: x से x से x… क्या करें? (नैतिकताओं के साथ उदाहरण)

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जिज्ञासा के रूप में, मैं फ़ंक्शन की सीमा की गणना करूंगा:

गणनाओं से अधिक दिलचस्प वे दो नैतिकताएँ हैं जो उनसे निकाली जा सकती हैं। लेकिन नैतिकताएँ अंत में होती हैं (क्या किसी ने शुरुआत में नैतिकता वाली कहानी देखी है)? अब, मैं गणना कर रहा हूँ:

शुरुआत में, मैं देखता हूँ कि यह किस दिशा में जा रहा है, और मेरे पास है:

यानी मुझे नहीं पता कि यह किस दिशा में जा रहा है, क्योंकि मुझे तो यह भी नहीं पता कि किस दिशा में जा रहा है (यह एक अपरिभाषित प्रतीक है), और इस तरह की विचित्रता के बारे में तो और भी नहीं पता: .

हालांकि, ऐसा लगता है कि कोसाइन के साथ कोई समस्या नहीं है, इसलिए मैं साइड में गणना करता हूँ कि यह स्वयं किस दिशा में जा रहा है:

मैं ल’हॉस्पिटल का तरीका इस्तेमाल करूंगा (मैंने अपने कोर्स में इसे विस्तार से समझाया है), यानी मैं सूत्र () का उपयोग करूंगा:

लेकिन अभी भी अच्छा नहीं है, क्योंकि मेरे पास अभी भी गुणांक में अपरिभाषित प्रतीक है, इसलिए मैं इसे दूसरी बार बदलता हूँ:

अब मैं शांति से काम कर सकता हूँ। मैं साइड में गणना करता हूँ:

, इसलिए मेरे पास अपरिभाषित प्रतीक है इसलिए मैं ल’हॉस्पिटल का उपयोग करता हूँ:

यानी मैंने साइड में गणना की है कि: .

इसलिए, सीमा पर लौटते हुए:

अब मुझे पता है कि मैं इस स्थिति में हूँ:

यानी यह पता चला कि:

इसलिए, मेरी पूरी सीमा है:

और कोसाइन सिर्फ दिखावा था।

इस कहानी से नैतिकताएँ

दो हैं।

1. कठिन सीमाओं में, आप हमेशा और कभी-कभी इसे साइड में ले जाकर इसकी दिशा की गणना कर सकते हैं।
2. कभी-कभी, सीमा सूत्र के कुछ भाग इस कोसाइन की तरह जोड़े जा सकते हैं। यह पता चला कि मुझे इसके साथ कुछ नहीं करना पड़ा, बस अंत में शून्य डाल दिया।