Post jest jakąś formą odpowiedzi na pytanie w komentarzach do powyższego filmiku na Youtubie ( link do komentarza ):
czegoś nie rozumiem i proszę o wytłumaczenie, czemu skracasz „n” ? chodzi mi o to że n/n jest to symbol nieoznaczony (nieskończoność przez nieskończoność) help bo już się tym pogubiłem
Zrozumienie, czym NAPRAWDĘ są symbole nieoznaczone sprawia wiele kłopotów. Rodzi się także wiele pytań o to, co „wolno” z nimi robić, a czego „nie wolno”.
Mała powtórka
Przypomnijmy je najpierw:
![delim{[}{{infty}/{infty}}{]},delim{[}{0/0}{]},delim{[}{0*{infty}}{]},delim{[}{{infty}-{infty}}{]},delim{[}{1^{infty}}{]},delim{[}{{infty}^0}{]},delim{[}{0^0}{]}](https://blog.etrapez.pl/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_fa5aef55252caee9422f26c8cc41b2eb.png "delim{[}{{infty}/{infty}}{]},delim{[}{0/0}{]},delim{[}{0*{infty}}{]},delim{[}{{infty}-{infty}}{]},delim{[}{1^{infty}}{]},delim{[}{{infty}^0}{]},delim{[}{0^0}{]}")
Jak już na pewno wiele razy słyszeliście w symbolach nieoznaczonych:
– znaczek 
nie oznacza tutaj jakiejś „liczby”, ani w ogóle jakiegoś obiektu matematycznego, tylko SYMBOLIZUJE rozbieganie do nieskończoności (nieskończoność nie jest liczbą!)
– znaczek 
nie oznacza wcale liczby , tylko SYMBOLIZUJE zbieganie do zera
– znaczek 
nie oznacza wcale liczby , tylko SYMBOLIZUJE zbieganie do 1
– symbol nieoznaczony 
nie oznacza wcale dzielenia jakiejś „liczby” przez jakąś „liczbę”, tylko SYMBOLIZUJE sytuację, w której licznik i mianownik rozbiegają do nieskończoności
– itd.
Mając więc do policzenia granicę:
…możemy powiedzieć, że mamy w niej symbol nieoznaczony , ponieważ licznik i mianownik w wyrażeniu rozbiegają do 
.
W wyrażeniu NIE możemy sobie nieskończoności „skrócić”, ponieważ w wyrażeniu nieoznaczonym NIE oznaczają one w ogóle liczb, które można by „skracać’ ,wykonywać na nich działania itp.
W wyrażeniu również nie możemy na starcie czegoś „skrócic”, ale nie dlatego, że są jakieś przyczyny formalne – ale po prostu dlatego, że nic się nie skraca 🙂
Trzeba więc stosować jakieś metody (w tym przypadku akurat wyciągać przed nawias – co opisałem w moim Kursie Granic), kombinować itd.
Weźmy jednak trywialną granicę:
Jest to właściwie również granica, w której mamy symbol nieoznaczony – bo licznik i mianownik dążą do nieskończoności.
W wyrażeniu również NIE możemy sobie nieskończoności „skrócić”, ale tym razem…
Skróty możemy wykonać i to jak najbardziej w wyrażeniu .
‚n’ jest to jak najbardziej zmienna matematyczna, na której można wykonywać operacje arytmetyczne, skracać itd. (w odróżnieniu od symbolu ). Czyli 
i wszystko jest czysto i legalnie.
Podsumowując
Na obiektach 
W SYMBOLACH NIEOZNACZONYCH nie można wykonywać operacji arytmetycznych, skracać ich itp.
Na obiektach 
W WYRAŻENIACH, z których liczymy granicę ciągów i funkcji zdecydowanie można wykonywać operacje matematyczne, skracać je itd.
Mam nadzieję, że nie zamotałem Cię jeszcze bardziej, ClumsyFriday, powodzenia z granicami!
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Napisałem do Pana list. Nie otrzymałem odpowiedzi. Dalej pracuję nad swoją stroną Internetową prowadząc swoje opracowania w plikach. Zabezpieczył Pan swój komputer przed kim? Mam problemy z odbiorem pańskich plików. Podpisuję się tak jak się nazywam. Nikogo nie okłamuję i nie oszukuję. Na Google łatwo mnie znaleść, pisząc moje imię jak w komentarzu. Chcę Pana zainteresować moimi opracowaniami. Nie chodzi o zarabianie pieniędzy, lecz o odpowiedni zapis matematyczny, aktualny moich opracowań. Nie wiem, czy stać Pana na bezinteresowną pomoc w kwestii dopracowania moich opracowań? Chciałbym znać Pana odpowiedź.
Panie Kazimierzu, przepraszam, że nie odpowiedziałem na maile.
Niestety, w ogóle się nie orientuję w tematyce Pańskich opracowań, nie potrafię Panu w żadne sposób pomóc., bardzo mi przykro.
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Serdecznie Panu dziękuję za odpowiedź na mój list. Niestety, nie pozwolę łatwo się Panu wyłgać z tego. Oczywiście zażartowałem sobie. Wobec tego mam dla Pana zadanie do obliczenia. Najpierw krótki opis. Na kartce papieru z lewej strony zaznaczyłem punkt K. Od tego punktu rysuję linię poziomą. Będę operował jm (wymiar liniowy – jedn.miary). Kolejny punkt ma 10 jm. Ten punkt jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego, którego podstawa leży na tej linii. Podstawa ma bok 1 jm. Stąd wynika, że drugi wierzchołek tego trójkąta leży oddalony od punktu K o 10 jm+1jm=11 jm. Jak widać powstał trójkąt prostokątny, który ma podstawę o wym. 10,5 jm; wysokość 0,75 jm. Dwa odcinki wychodzące z punktu K w tym trójkącie tworzą kąt ostry, który trzeba obliczyć.
PYTANIE: 1. Czy mógłby Pan podać wymiary kolejnych podstaw trójkątów równobocznych, które pragną się ze sobą stykać, zachowując przy tym ten sam kąt ostry?
2. Czy da się, w związku z tym, opracować logiczny ciąg liczbowy stanowiący efekt pracy?
Z poważaniem i uznaniem Kazimierz Barski z Koszalina dn.06.11.2011r
ClumsyFriday napisał
Jestem naprawdę mile zaskoczony, że odpowiadasz na tak banalne pytania(teraz takie mi się już wydają). Zakupiłem kurs wszystko jest jasne jak słońce. To co robisz wychodzi Ci świetnie. Serdecznie dziękuje. 🙂 Polecam wszystkim kursy, naprawdę warto, idealnie uzupełniają to czego nie zrozumiałeś do końca na wykładzie.
Na banalne pytania w matematyce najtrudniej się odpowiada, serio 🙂
Dzięki za zakup Kursu i za polecenia, cieszę się, że się przydaje.
Łukasz napisał
Ja mam pytanie odnośnie monotoniczności funkcji. Zabrakło mi tam działań z pierwiastkami i np. nie wiem jak wyciągnąć mam „iks” z pierwiastka 2 stopnia z x(2) + x + 1 ;/
Sorry, ale nie do końca zakumałem.
Chodzi o wyciąganie „x” przed nawias w jakiejś granicy? Czy o rozwiązanie równania:
Mógłbyś zapodać całe zadanie z poleceniem?
torpeda121 napisał
Witam Panie Krystianie, super tłumaczy Pan pojęcia matematyczne, ale pojawił się mi dylemat, czy ile wynosi granica wyrażenia: A/0, przy założeniu, że A jest dodatnie, a ile gdy ujemne?
Pozdrawiam i proszę o odpowiedź
To zależy od tego, czy w mianowniku jest liczba dodatnia, czy ujemna.
Bo z tym, że w mianowniku nie ma dokładnie równo liczby 0 to się zgadzamy? 🙂
https://blog.etrapez.pl/granice/granica-ciagu/dzielenie-przez-zero/
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Panie Krystanie czekam na odpowiedź. Być może nie zrozumiał Pan mojego zadania. Przestawię je inaczej. Mam dwa sznurki, które wychodzą z punktu K. Jeden naciągnięty jest w poziomie, a drugi jest naciągnięty pod skosem, czyli kątem ostrym (alfa). Mam siedem cudownych trójkątów równobocznych, które bardzo się lubią, jak popuszki nierosłączki. Wsuwam więc, po linii poziomej pierwszy trójkąt, aż górny wierzchołek dotknie górnego sznurka. Cudowność tych trójkątów polega na tym, że za każdym razem gdy dosunę na styk następny trójkąt, trójkąt ten rośnie, do momentu zetknięcia się z górnym szurkiem. Rzecz w tym, że podczas rośnięcia cały czas zachowuje cechy trójkąta równobocznego. Żeby łatwiej się liczyło przyjąłem długość boku 1 jm. Proszę przyjąć dowolną odległość od punktu K do wierzchołka podstawy. Dla mnie jest wszystko jedno. Z poważaniem inż. Kazimierz Barski z Koszalina
A może ktoś pańskich gości spróbował by rozwiązać to zadanie. Zapraszam.
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Drogi Mateuszu. Za kilka dni kończę 66 lat. Miałem niewielką firmę. Firma specjalizowała się w izolacjach termicznych, pod blachę. Na rynku pracy jest niedosyt blacharzy traserów. Traserzy rysują i wycinają elementy płaszczy ochronnych izolacji. Nie są zainteresowani przekazywaniem swojej wiedzy kolegom. Boją się konkurencji. Często stawieją warunki płacowe, nie do przyjęcia. Po 39 latach pracy zakończyłem działalność gospodarczą. Zdrówko. Otrzymałem rentę i wkrótce otrzymałem emaryturę. Postanowiłem pomóc młodym ludziom nauczenia się traserki, poprzez publikowanie plików [pdf]. Robię to od 2006r. Tylko dwóch ludzi po 300zł udzieliło mi kompensaty za poniesione koszty. Oczywiście, z własnej inicjatywy. Pan Krystian też na swoim trapezie, nieżle się nagimnastykuje. Tacy ludzie jak pan Krystian są wspaniali i życzliwi. Mało jest takich wśród nas. Potrafię takich ludzi docenić.
Moja geometria jest nową geometrią. Na pierwszy planie jest wyobraźnia i skojarzenia. Obok podąża fantazja. Dopiero potem w kolejce jest matematyka. Zadanie o którym piszę, jest efektem wyobraźni. Powstała „MENORA”. A jak Pan wie Mateuszu, podobną nazwę ma siedmioramienny świecznik, używany przez Żydów, podczas obrządków religijnych. Żeby coś o mnie wiedzieć, trzeba spróbować myśleć moimi kategoriami. Ostatnio nie udzielam się na swojej stronie internetowej. Przygotowałem sporo opracowań. Na razie, nie publikuje je. Mam nadzieję, że przyjdzie czas na moje prace. To tyle, co mogę o sobie powiedzieć. Życzę Panu szczęścia w poznawaniu PRAWDY.
Mateusz napisał
Szanowny Panie inż. Kazimierzu Barski z Koszalina:)
Jestem jednym z gości Pana Krystiana a zarazem wielkim fanem serwisu etrapez. Przeglądałem Panu stronę internetową. Absolutnie nie spotkałem się z tak obszernym materiałem z geometrii na studiach, nie studiuję kierunku typowo matematycznego. Szczerze mówiąc mam problem z odczytaniem treści tych zeszytów. Może wynika to z tego, że wszystko jest bardzo ze sobą zbite. Czasami nie wiem jaki jest problem w tych zadaniach do rozwiązania. Proszę mi napisać, ale tak bardzo przystępnie w jaki sposób to co zawarte jest na Pana stronie internetowej wykorzystuje Pan w praktyce? Bardzo mnie to ciekawi. Myślę, że tematyka kursów na tej stronie odbiega od tematyki na Pana stronie internetowej. Kursy na tej stronie stronie są na szczęście przystępnie tłumaczone. Tutaj może wejść każdy i zrozumieć matematykę. Ja osobiście na Pana stronie nie mogę się odnaleźć. Dziwi mnie też fakt, że zadanie geometryczne przedstawia Pan tutaj za pomocą opisu. Pozdrawiam. Mateusz
Mateusz napisał
Szanowny Panie Kazimierzu. Dziękuję za odpowiedź. Teraz zrozumiałem o co chodzi. Próbowałem materiały na Pana stronie skojarzyć z konkretnym zawodem. Wcześniej zakładałem, że to coś w rodzaju Pana hobby i tylko hobby. Również bardzo szanuję ludzi, którzy chcą pomagać innym i dzielą się swoją wiedzą. Napisał Pan, że na rynku jest niedosyt blacharzy traserów. No tutaj Panu wierzę w 100% ponieważ tematyka Pańskich opracowań jest na prawdę obszerna i za pewne mało jest chętnych, którzy chcą te materiały zgłębiać. Powodzonka i pozdrawiam
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Panie Mateuszu. Muszę coś dodać, by do końca zrozumiał, co ja tu robię na trapezie. Technikum Wodno-Melioracyjne ukończyłem w 1966r. Po 9 latach rozpocząłem studia zaoczne na WSI (1975-1980). Na głęboką wodę zostałem wrzucowy jak wielu Polaków, po zmianach ustrojowych. Otwarłem firmę pn. „BARPOL” w 1990. Musiałem udawać fachowca, że się na wszystkim znam. Na początku pracowałem fizycznie, by poznać instalacje sanitarne. Żeby mieć pracę, jako firma, musiałem osobiście wymieniać dyrektorom sracze, umywalki itd, za symboliczne wynagrodzenie. Najgorszy okres hiperinflacji przetrwałem. Potem było już lepiej. Na instalacjach zrobiło się gęsto, więc przeszedłem na izolacje pod blachę. W to wszedłem. Przez niecały rok poznałem traserkę. Metodą wykreślną nauczyłem swoich pracowników trasować dennicę wypukłą. Wcześniej sam pobierałem od nich lekcje. Na emeryturze nauczyłem się, metodą prób i błędów, program M.Excel. Najpierw nauczyłem się tworzyć rysunki, potem zakładać formuły matematyczne. Z czasem stałem się w tym biegły. Gdy prowadzę jakieś obliczenia robię to w sposób zwarty. Chyba to jest mój błąd. Dla większości jest to prawdopodobnie „papka”, nie do skonsumowania. Przy tych pracach doszedłem do takiego poziomu, że uznałem, iż powinienem się przesiąść na wierzchowca naukowego. W ten sposób przybliżę praktykę do teorii, którą to przestrzeń uważam za niezagospodarowaną. Panie Mateuszu, nie da się porównać stanu nauki 1980r, ze stanem obecnym. Ja już nie założę tornistra na plecy, by dostosować opisy matematyczne, do moich opracowań. Stąd moja tu obecność. Piszę, że zajmuje się „nową geometrią”. Moja geometria jest istotnie nowa, bo od niej oczekuję rozwój wyobraźni, skojarzeń i fantazji. To właśnie będzie powodować rozwój umysłu ludzkiego, śmiałości podejmowania decyzji, nabrania pewności siebie. Matematyka, ma dopiero podążać za tym wszystkim. Jeżeli komuś się wydawało, że chodzi o „Świętą Geometrię”, to go rozczaruję. Przeciętny grzesznik jaki ja, nie dostąpi takiego zaszczytu. Poza tym, wydaje mi się, że „Święta Geometria” jest produktem fantazji ludzkiej. Jednak uważam, że coś tam jest. Dziwne, 66 letni człowiek w ciągu nie całego 1 roku zbudował nową geometrię. Tylko jej część jest poznana poprzez Internet. To jest mój ostatni komentarz na etrapezie. Przechodzę na swój blog (nowa geometria). Pod hasłem: „Kazimierz Barski z Koszalina” ukazuje się fujara, który nie radzi sobie z ciągami liczbowymi i symbolami. Tak to odbieram. Pozdrawiam Ciebie Mateuszu, Pana Krystiana i wszystkich gości i pasjonatów matematyki. Za błędy w pisowni przepraszam. Nigdy nie byłem dobrym polonistą. Za młodu byłem rozrabiaką. A może wina leży także, po stronie uczących.
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Szanowny Panie Krystianie. Jak byłby nazwał Pan osobę, która wyrywa zdanie z kontekstu i je upubicznia? Jest takie określenie. Doskonale Pan o tym wie. Nigdy nie da się zbudować dobrych fundamentów kariery używając tego rodzaju „budulca”. Polecam Panu mój plik [pdf] B.Zeszyt.000. Znajdzie go Pan na mojej stronie Inrernetowej.
Mimo to, nie gniewam się na Pana. Przyjdzie czas, że zmierzy się Pan z uczuciem pokory i wtedy może na czym polega filozofia życia.
Łączę pozdrowienia inż. Kazimierz Barski z Koszalina
1. Kłopoty z symbolami nieoznaczonymi
http://www.etrapez.pl/blog/granice/…/klopoty-z-symbolami-nieoznaczony...
3 Lis 2011 – Przechodzę na swój blog (nowa geometria). Pod hasłem: „Kazimierz Barski z Koszalina” ukazuje się fujara, który nie radzi sobie z ciągami …
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Proszę o mnie zapomnieć, tak jak ja zapomiałem o Panu. Jest to najlepsze rozwiązanie. Wykasowałem wszystkie pańskie opracowania. Po to, by nigdy z nich nie korzystać. Zioną złośliwością.
Kazimierz Barski z Koszalina dnia 29.12.2011r.
Kazimierz Barski z Koszalina napisał
Zeszyt.000.(BAJKA. Lekcja zerowania)
Bardzo dawno temu w Japonii, a może w Chinach, pewnie w Kambodży, nieważne, a może nawet w Indiach, ta bajka ma swój początek. Wspaniała stolica. Władca, który władał swoim państwem, był przez wszystkich poddanych lubiany. Zawdzięczał to swojej mądrości i postępowaniu. Gdy miał trudny problem do rozwiązania, zwracał się z pytaniem do wielkiego mistrza. Ten, służył mu radą. Czas szybko leciał. Stary mistrz stawał się coraz słabszy. Postanowił udać się do pałacu i stanąć przed swoim władcą. Mój czas się kończy, Panie. Jestem już za stary, by Ci dalej służyć. Zrozumiał to władca. Każdy mistrz widział, kiedy kończy się jego „tunel życia”. Władca kazał wysłać zaproszenia na zjazd wszystkich mędrców i uczonych, o osobiste stawiennictwo, przed najczcigodniejszym mędrcem i mistrzem. W tym momencie bajki, muszę opuścić stolicę, władcę i czcigodnego mistrza, by ponownie powrócić. Daleko, daleko od stolicy, w niewielkiej prowincji żył młody człowiek. Uczył się pilnie, aż zdobył wiedzę, jaką powinni posiadać mistrzowie. Któregoś dnia przybył na prowincję inny, starszy wiekiem, doświadczony mistrz. Gdy do szkoły przyszli uczniowie, doświadczony mistrz zaczął zadawać im, trudne pytania. Nie na wszystkie pytania potrafili odpowiedzieć uczniowie. Wtedy, mistrz zaczął się z nich śmiać, a nawet kpić. Wyraźnie dawał im do zrozumienia, że są nic nie warci i nie są godni jego nauki. Młody mistrz widział to i słyszał. Kiedy wyjechał jego kolega, po fachu, wezwał swoich uczni do siebie i oznajmił im, iż musi na jeden tydzień wyjechać z prowincji? Nikt nie wiedział, dokąd się udał, lecz uczynił to, jak powiedział. Tymczasem młody mistrz udał się do świątyni, gdzie zdarzały się cuda. Pragnął jednego. Chciał być dobrym nauczycielem. Nie spodobała mu się lekcja, jaką poprowadził jego kolega. W czasie medytacji zadawał sobie mnóstwo pytań i próbował sobie na nie odpowiedzieć. Nie wiedział, że upłynęło od chwili rozpoczęcia medytacji kilka dni. Wydawało mu się, że są to godziny. W pewnym momencie skupił swoją uwagę na własnym „EGO”. To tu, po raz pierwszy odczuł pogardę do siebie samego. Im dłużej nad tym rozmyślał, tym bardziej nabierał pewności, iż nie należy szczycić się sukcesami. Dotarł ze swoimi przemyśleniami do punktu zerowego, gdzie traci się własne ego, a zyskuje się spokój duchowy, dar wysłuchania ludzi i dar głębokiej analizy, dar widzenia, wyobraźni i tworzenia. Radość z osiąganych sukcesów, niech pozostaje ukryta w głębi serca, by pobudzać, do dalszych działań. Tak stało się z młodym mistrzem. Od tego momentu upłynęło wiele lat. Do prowincji przybył posłaniec, który dostarczył zaproszenie do stolicy, na zjazd mistrzów. W tym momencie moja bajka wraca do stolicy. A konkretnie, do pałacu władcy. Władca zajmował centralne miejsce, z którego dobrze widać przesłuchiwanych, zaproszonych gości. Goście poczynili wiele starań, by w oczach władcy i wielkiego mistrza wypaść dobrze. Mieli na sobie przepiękne stroje, bogato wyszywane haftami z jedwabnych nici. Koronkowa robota. Sam przepych. Głowy mięli przyozdobione fantastycznymi okryciami. Widać było, że mistrzowie nie należeli do ubogich. Kiedy przybyli do pałacu, każdy z mistrzów starał się być, jak najbliżej wielkiego mistrza? Mieli przy sobie bardzo bogate wachlarze. Wachlarz nie tylko służył jego właścicielom, dla ochłody, lecz dodawał splendoru. Mistrzowie zajęli miejsca przy wielkim mistrzu. W pewnej chwili, przy wejściu do sali, pojawił się mistrz Jakuta z prowincji. Widać było po nim głębokie zmęczenie. Przebył pieszo bardzo długą drogę. Po mistrzach przeszedł szmer. Nie wszystkim podobał się, wygląd mistrza nędzarza. Jego wypłowiałe szaty dawno utraciły swój blask świeżości i świetności. Nie mniej, były czyste. Kiedy wyciągnął swój wachlarz, wszyscy mistrzowie parsknęli śmiechem. Śmiech udzielił się, nawet władcy. Wachlarz był bardzo stary. Okrągła, jedyna plama, utraciła swój kolor. Na wachlarzu nie było zapisanych mądrości, jakie zawierały pozostałe wachlarze mistrzów. Brakowało też złotych, delikatnych okuć na rączkach wachlarza. Wszystko to, stawiało mistrza Jakutę, w nie najlepszej pozycji. Jego spokój duchowy sprawił, że nie utracił wiary, w swoje postępowanie. Gdy przyszła kolej przesłuchania mistrza Jakuty, mistrz najpierw złożył głęboki ukłon władcy, a potem siadł przed wielkim mistrzem z lekko pochyloną głową. Nie spodobało się to mistrzom. Zachowanie Jakuty także. Wielkiemu mistrzowi należy się głęboki pokłon. Tak ocenili mistrzowie, nauczyciela z prowincji. Wielki mistrz zadał tylko jedno pytanie mistrzowi Jakucie. Dlaczego masz taki ubogi wachlarz? Nauczyciel Jakuta odpowiedział staremu wielkiemu mistrzowi pytaniem: Czy godzi się nauczać małych uczniów, gdy ukrywają, że mają puste brzuszki? Stary mistrz zerwał się na równe nogi i stanął jak wryty. Przemknęła mu myśl. Oto stoję przed kimś, co więcej widzi, niż my wszyscy mędrcy razem.
Tutaj moja bajka się kończy. Nie pamiętam, kogo wybrał stary, wielki mistrz na swojego następcę. Nie pamiętam też państwa, o którym opowiadałem bajkę. Wkrótce, zapomnę nawet o tej bajce.
inż. Kazimierz Barski Koszalin dnia 08.12.2011r
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Szanowny Panie Krystianie. Ciesze się, że usunął Pan zdjęcie z osiołkiem. Nieraz miałem chęć Panu „dokopać”, lecz cierpliwość zwyciężyła. Każdy z nas popełnia błędy. Wielkość pańskiego błędu, została zapisana w postaci czasu niezbędnego, do jego usunięcia. Stąd proszę się nie dziwić, że zacząłem od – przesłania (bajka o mistrzu Jakucie). Napisałem ją, po odebraniu przekazu, który miałem podczas snu. Kiedy „bajkę” opublikowałem nie wiedziałem jeszcze, że jest to starożytny przekaz mistrzów (ludzi uczonych). Tę wiedzę otrzymałem od osoby, która potrafi nawiązać kontakt z … Resztę nie piszę, by nikogo nie urazić. Jednego jestem pewien. Nigdy nie byłem i nie jestem żadnym mistrzem Jakutą, ze względu na mój impulsywny charakter. Wczoraj zakończyłem swoją wędrówkę z Geometria Kulową (Sferyczną) w praktyce (gk). Teraz przyszła pora by się pożegnać… A, jednak mój fraktal kulowy, wymyślony i narysowany przeze mnie, ciągu liczb, 13^n, gdzie n=0; 1; 2; 3 … musi na Panu robić wrażenie. Życzę Panu wszystkiego najlepszego w swoim życiu. Proszę Go tylko, nie spasteryzować. Niech zawsze będzie świeże.